2021_2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)案新人教A版必修4

1、2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解用坐標(biāo)表示兩向量共線的條件(難點(diǎn))2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線，并掌握三點(diǎn)共線的判斷方法(重點(diǎn))3.兩直線平行與兩向量共線的判定(易混點(diǎn))通過平面向量共線的坐標(biāo)表示及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使ab.(2)如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b(b0)共線思考：兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的坐標(biāo)條件能表示成嗎？提示不一定，x2，

2、y2有一者為零時(shí)，比例式?jīng)]有意義，只有x2y20時(shí)，才能使用1已知A(2，1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()A(2,1)B(6，3)C(1,2)D(4，8)D(1,2)，根據(jù)平行條件知選D.2下列各對(duì)向量中，共線的是()Aa(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(，1)，b(1，)Da(1，)，b(，2)DA，B，C中各對(duì)向量都不共線，D中ba，兩個(gè)向量共線3已知a(3,2)，b(6，y)，且ab，則y_.4ab，解得y4.4若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y_.9(8,8)，(3，y6)，A，B，C三點(diǎn)共線，即，8(y6)830，解得

3、y9.向量共線的判定與證明【例1】(1)下列各組向量中，共線的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？思路點(diǎn)撥：(1)利用“縱橫交錯(cuò)積相減”判斷(2)(1)DA中，26340，B中33220，C中114(2)70，D中(3)(4)260.故選D.(2)解(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2)又22410，.又(2,6)，(2,4)，24260，A，B，C不共線，AB與CD不重合，ABCD.向量

4、共線的判定方法提醒：向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對(duì)的，因此要理解并記熟這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減1已知A(1，3)，B，C(9,1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線證明，(91,13)(8,4)，7480，且，有公共點(diǎn)A，A，B，C三點(diǎn)共線.已知平面向量共線求參數(shù)【例2】已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？思路點(diǎn)撥：法一：可利用b與非零向量a共線等價(jià)于ba(0，b與a同向；0，b與a反向)求解；法二：可先利用坐標(biāo)形式的等價(jià)條件求k，再利用ba判定同向還是反向解法一：(共線向量定理法)k

5、abk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，這時(shí)kabab(a3b)，因?yàn)?，所以kab與a3b反向法二：(坐標(biāo)法)由題知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.這時(shí)kab(a3b)，所以當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，并且反向利用向量平行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理ab(b0)列方程組求解(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10直

6、接求解2已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，則_.由題可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.故答案為.向量共線的綜合應(yīng)用【例3】(1)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)，且ab，則2sin cos 等于()A3B3C D.(2)如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)思路點(diǎn)撥：(1)先由ab推出sin 與cos 的關(guān)系，求tan ，再用“1”的代換求2sin cos .(2)要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出向量的坐標(biāo)，由與共線得到，利用與共線的坐標(biāo)表示求出即可；也可設(shè)P(x，y)，由及，列出關(guān)于x

7、，y的方程組求解(1)C因?yàn)閍b，所以cos 1(2)sin 0，即cos 2sin ，tan ，所以2sin cos .(2)解法一：(定理法)由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)，(2,6)由與共線得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)法二：(坐標(biāo)法)設(shè)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，則得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟3.如圖所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，AD與BC相

8、交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解因?yàn)?0,5)，所以C.因?yàn)?4,3)，所以D.設(shè)M(x，y)，則(x，y5)，.因?yàn)椋詘2(y5)0，即7x4y20.又，因?yàn)?，所以x40，即7x16y20.聯(lián)立解得x，y2，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.共線向量與線段分點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算探究問題1設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)？提示：如圖所示，P為P1P2的中點(diǎn)，()，線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)是.2設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是什么？提示：點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，()；當(dāng)時(shí)，

9、().3當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？提示：()，(x1，y1)(x2，y2)，P.【例4】已知點(diǎn)A(3，4)與點(diǎn)B(1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)思路點(diǎn)撥：點(diǎn)P在直線AB上，包括點(diǎn)P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長(zhǎng)線上，因此應(yīng)分類討論解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，|2|.當(dāng)P在線段AB上時(shí)，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,8)綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(5,8)1若將本例條件“|2|”改為“3”其他條件不變，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解因?yàn)?，所以(x3，y4)3(1x,2y)，所以解得所以點(diǎn)P的坐

10、標(biāo)為.2若將本例條件改為“經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，且|3|”，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)解由題設(shè)知，A，B，P三點(diǎn)共線，且|3|，設(shè)A(x,0)，B(0，y)，點(diǎn)P在A，B之間，則有3，(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,9)點(diǎn)P不在A，B之間，則有3，同理，可求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，(0，9)綜上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,9)或，(0，9)求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)注意的問題(1)設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若點(diǎn)P是P1P2的中點(diǎn)時(shí)，則P(x，y)為(2)求線段P1P2上或延長(zhǎng)線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，不必過分強(qiáng)調(diào)公式的記

11、憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后列出方程組求解，同時(shí)要注意分類討論.(3)若01時(shí)，P在線段P1P2上；1時(shí)，P與P2重合；1時(shí)，點(diǎn)P在線段P1P2延長(zhǎng)線上；,0時(shí)，點(diǎn)P在線段P1P2反向延長(zhǎng)線上.1兩個(gè)向量共線條件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)當(dāng)b0時(shí)，ab.(2)x1y2x2y10.(3)當(dāng)x2y20時(shí)，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例2向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用兩向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，可分為兩個(gè)方面(1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線聯(lián)系平面幾何平行、共線知識(shí)，可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問題要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行的不同(2)已知兩個(gè)向量共線，求點(diǎn)

12、或向量的坐標(biāo)，求參數(shù)的值，求軌跡方程，要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù)1下列說法不正確的是()A若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a與b共線，則.B若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y1，則a與b不共線C若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量，都是共線向量D若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y9.AA中，x2或y2為零時(shí)，比例式無意義，B、C很明顯都正確；D中，由(8,8)，(11，y2)，則8(y2)8110，解得y9.D正確2已知兩點(diǎn)A(2，1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a可以是()A(1，2)B(9,3)C(2,4) D(4，8)D由題意，得(1,2)，所以a(，2)(其中0)符合條件的只有D項(xiàng)，故選D.3已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b等于_(4，8)ab，1m(2)20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)