中點坐標(biāo)法解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題

1、-精選文檔 -另辟蹊徑解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復(fù)雜， 知識覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點坐標(biāo)公式來解決這一類題1 兩個結(jié)論，解題的切入點數(shù)學(xué)課標(biāo)， 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點。1.1線段中點坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)

2、系中，點A 坐標(biāo)為 (x 1 ,y1 )，點 B 坐標(biāo)為 (x2,y2) ，則線段 AB 的中點坐標(biāo)為x1x2,y1y2).(22證明 ： 如圖 1，設(shè) AB 中點 P 的坐標(biāo)為 (xP,yP).由 xP-x1=x 2-x P，得 xP= x1x2 ，同理2yP=y1y2，所以線段 AB 的中點坐標(biāo)為 (x1x2 ,y1y 2 ).2221.2平行四邊形頂點坐標(biāo)公式圖 1ABCD 的頂點坐標(biāo)分別為A(xA ,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，則：xA+ xC=x B+ xD；yA+ y C=y B+ yD.證明：如圖 2 ，連接 AC、 BD，相交于點E圖 2點 E

3、 為 AC 的中點， 點坐標(biāo)為 (xA xC,y AyC ).E22可編輯-精選文檔 -又點 E 為 BD 的中點，xBxDy ByD).E 點坐標(biāo)為 (2,2xA + xC=x B+ xD； yA + yC=y B+ yD.圖 3即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等2一個基本事實，解題的預(yù)備知識如圖 3 ，已知不在同一直線上的三點A、 B、 C，在平面內(nèi)另找一個點D，使以 A、 B、C、 D 為頂點的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB 為對角線的 ACBD1 ，以 AC 為對角線的 ABCD 2，以 BC 為對角線的 ABD 3 C3兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1三

4、個定點、一個動點，探究平行四邊形的存在性問題例 1已知拋物線y=x 2- 2 x+a (a 0）與 y 軸相交于點A，頂點為M .直線 y= 1 x-a 分2別與 x 軸、 y 軸相交于 B、C 兩點，并且與直線AM 相交于點 N .(1) 填空：試用含a 的代數(shù)式分別表示點M 與 N 的坐標(biāo)，則M (), N ()；(2) 如圖 4 ，將NAC 沿 y 軸翻折，若點 N 的對應(yīng)點 N 恰好落在拋物線上， AN 與 x 軸交于點 D，連接 CD，求 a 的值和四邊形 ADCN 的面積；(3) 在拋物線 y=x 2- 2 x+a (a 0 ）上是否存在一點 P，使得以 P、A、C、N 為頂點的四

5、邊形是平行四邊形？若存在，求出點P 的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由 .解： (1) M (1, a- 1) ， N ( 4 a ,- 1 a )； (2) a=-9；S 四邊形 ADCN=189 ；33416(3) 由已知條件易得 A(0, a)、 C(0, -a )、 N ( 4 a ,- 1 a ).設(shè) P( m ,m 2- 2 m + a).33當(dāng)以 AC 為對角線時，由平行四邊形頂點坐標(biāo)公式（解題時熟練推導(dǎo)出），得：004mm5a23,.1 am215aa2m aa38可編輯-精選文檔 -P1 ( 5 ,- 5 )；28當(dāng)以 AN 為對角線時，得 :04 a0mm53,2 (不合題意，舍

6、去 ).a1 aa m22m aa1538當(dāng)以 CN 為對角線時，得 :04a0mm132 .1 a,aa m22maa338P2 (-17,).28在拋物線上存在點P1(5,- 5)和 P2 (- 1,7)，使得以 P、 A、C、 N 為頂點的四邊形是2828平行四邊形 .反思：已知三個定點的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個頂點的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形頂點坐標(biāo)公式列方程（組）求解.這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論.3.2兩個定點、兩個動點，探究平行四邊形存在性問題例 2如圖 5 ，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(- 1,0),

7、B(3,0), C(0, -1) 三點 .（ 1）求該拋物線的表達(dá)式；（ 2）點 Q 在 y 軸上，點 P 在拋物線上，要使以點Q、 P、 A、 B 為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點P 的坐標(biāo) .解 ：（1 ）易求拋物線的表達(dá)式為 y= 1 x 22 x1 ；圖 53 3(2) 由題意知點 Q 在 y 軸上，設(shè)點 Q 坐標(biāo)為 (0, t)；點 P 在拋物線上，設(shè)點 P 坐標(biāo)為 (m , 1m22m 1 ).33盡管點 Q 在 y 軸上，也是個動點，但可理解成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了可編輯-精選文檔 -當(dāng)以 AQ 為對角線時，由四個頂點的橫坐標(biāo)公式得：- 1+0= 3 +m

8、，m=- 4 ，P1 (-4,7) ；當(dāng)以 BQ 為對角線時，得：- 1 +m= 3 + 0 ，m= 4 ，P (4,5)；23當(dāng)以 AB 為對角線時，得：- 1+3 =m+ 0 ，m= 2 ，P3(2,- 1).綜上，滿足條件的點 P 為 P(- 4,7) 、 P(4, )、 P(2, - 1).12533反思： 這種題型往往特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x 軸（ y 軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上設(shè)出拋物線上的動點坐標(biāo)，另一個動點若在x 軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點縱坐標(biāo)公式；若在y 軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點橫坐標(biāo)公式該動點哪個坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式本例中點

9、 Q 的縱坐標(biāo) t 沒有用上，可以不設(shè)另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論.例 3如圖 6 ，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(- 4,0), B(0,- 4),C(2,0) 三點（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）若點 M 為第三象限內(nèi)拋物線上一動點， 點 M 的橫坐標(biāo)為 m ，AMB 的面積為 S求S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式，并求出S 的最大值；（ 3）若點 P 是拋物線上的動點，點Q 是直線 y= -x 上的動點，判斷有幾個位置能使以點 P、 Q、 B、 O 為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q

10、 的坐標(biāo)解：（1 ）易求拋物線的解析式為y= 1 x2 + x- 4；2（ 2） s=-m 2-4 m (-4 m 0) ； s 最大 =4 （過程略）；（ 3）盡管是直接寫出點Q 的坐標(biāo)，這里也寫出過程由題意知O(0,0) 、 B(0,- 4).由于點 Q 是直線 y=-x上的動點，設(shè)Q(s,-s )，把 Q 看做定點；設(shè) P( m , 1m 2+ m -4).2當(dāng)以 OQ 為對角線時，可編輯-精選文檔 -0s0m0s41m2m 42s=- 225 . 1 (2+ 25 ,2-25 )，Q2(2-2 5 ,2+ 2 5 )；Q-當(dāng)以 BQ 為對角線時，圖 60m 0s01 m2m 44 s2s1=- 4， s2 = 0( 舍 ).Q3 (-4,4) ；當(dāng)以 OB 為對角線時，00sm04s1 m2m 42s1= 4 ，s2= 0( 舍 ).Q4 (4,- 4).綜上，滿足條件的點Q 為 Q1( -2+ 2 5 ,2- 2 5 )、 Q2(- 2 - 25 ,2+ 2 5 )、 Q3 (- 4,4) 、Q4 (4,- 4).反思：該題中的點Q 是直線 y= -x 上的動點， 設(shè)動點 Q 的坐標(biāo)為 (s,-s )，把 Q 看做定點，就可根據(jù)平行四邊形頂點坐標(biāo)公式列方程組了.4 問題總結(jié)這種題型， 關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)