高中數(shù)學(xué) 探究導(dǎo)學(xué)課型 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一) 新人教版必修4

1、1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一,自主預(yù)習(xí)】 主題1:周期函數(shù)及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 1.觀察f(x)的部分圖象,思考下列問題,1)觀察圖形,函數(shù)圖象每相隔多少個單位重復(fù)出現(xiàn)? 提示:每相隔1個單位重復(fù)出現(xiàn),2)由誘導(dǎo)公式一: 結(jié)合正(余)弦曲 線,可以看出正(余)弦函數(shù)怎樣的特征?圖象變化趨勢 是怎樣的,提示:自變量x增加2的整數(shù)倍時,函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn),圖象發(fā)生“周而復(fù)始”的變化. 定義:_ _ _ _,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得,當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么,函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的,周期,最小正周

2、期: 定義:_ _,如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小,的正數(shù),那么這個最小正數(shù)稱為函數(shù)f(x)的最小正周期,簡稱周期,3)對于一般函數(shù)y=f(x)如何描述這種相似的特征? 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是_,_都是它的周期,最小正周期是_,周期函數(shù),2k(kZ且k0,2,主題2:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 觀察正弦曲線和余弦曲線,回答下面的問題. 正弦曲線,余弦曲線,1)觀察正弦曲線和余弦曲線具有怎樣的對稱性? 提示:y=sinx,xR的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,y=cosx,xR的圖象關(guān)于y軸對稱,2)上述特征反映出正、余弦函數(shù)的什么性質(zhì)? 用符號語言描述:sin(-x)=-sinx,cos(-x

3、)=cosx. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性:正弦函數(shù)為_,余弦函數(shù)為_,奇函數(shù),偶函數(shù),深度思考】 結(jié)合教材P35例2你認(rèn)為應(yīng)怎樣通過解析式求周期? 第一步:_; 第二步:_,利用變形:sin(x+2)=sin,由周期函數(shù)的定義求出周期,預(yù)習(xí)小測】 1.函數(shù)f(x)=sin(-x)的奇偶性是() A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù) 【解析】選A.f(x)=sin(-x)=-sinx,f(-x)=-sin(-x)= sinx=-f(x).故f(x)為奇函數(shù),2.下列函數(shù)中最小正周期為 的是() A.y=cos x B.y=cos x C.y=sin3x D.y=si

4、n 4x 【解析】選D.y=cos x的最小正周期為6. y=cos x的最小正周期為4. y=sin3x的最小正周期是 . y=sin4x的最小正周期是,3.函數(shù)y=3cos 的最小正周期是() A.B.C.2D.5 【解析】選D.最小正周期,4.f(x)=sinxcosx是(填“奇”或“偶”)函 數(shù). 【解析】f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx= -f(x).所以f(x)=sinxcosx是奇函數(shù). 答案:奇,5.已知函數(shù)f(x)=sin (0)的周期為,則 f = . 【解析】由f(x)=sin (0)的周期為, 所以 =,故=2. 所以f(x)=sin,所以

5、答案,備選訓(xùn)練】求f(x)=sin 的最小正周期.(仿照 教材P35例2解析過程) 【解析】因為 所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的最小正周期為,互動探究】 1.利用周期函數(shù)的定義探求y=Asin(x+)(0)的 周期. 提示:因為Asin =Asin(x+)+2 =Asin(x,由周期函數(shù)的定義可知,函數(shù)y=Asin(x+)(0)的周期為T=,2.若函數(shù)y=Asin(x+)為奇函數(shù),則應(yīng)滿足什么條 件?若為偶函數(shù)呢? 提示:若函數(shù)y=Asin(x+)為奇函數(shù),則=k,kZ, 若函數(shù)y=Asin(x+)為偶函數(shù),則=k+ ,kZ,3.若函數(shù)y=Acos(x+)是偶函數(shù),則應(yīng)滿足什么條 件?若為

6、奇函數(shù)呢? 提示:若函數(shù)y=Acos(x+)是偶函數(shù),則=k,kZ. 若函數(shù)y=Acos(x+)是奇函數(shù),則=k+ ,kZ,探究總結(jié)】 知識歸納,方法總結(jié): 函數(shù)周期的求法 (1)定義法:將f(x+T)化成f ,然后由定義求 得周期為 . (2)公式法:y=sin(x+)的周期T= . (3)圖象法:觀察圖象的變化趨勢求周期,題型探究】 類型一:求三角函數(shù)的周期 【典例1】(1)(2016承德高一檢測)函數(shù)f(x)= 2sin(2x+)的最小正周期為. (2)作出函數(shù)f(x)= 的圖象,并求f(x)的最小正 周期,解題指南】(1)利用三角函數(shù)的周期公式T= 求解. (2)先化簡f(x)的解析式

7、,并作出該函數(shù)圖象,然后根據(jù) 圖象求f(x)的最小正周期. 【解析】(1)由 得函數(shù)f(x)=2sin(2x+)的最小正周期為. 答案,2)將f(x)= 化為f(x)=|sinx|, 因為f(x)=|sinx|= 所以作出f(x)= 的圖象如圖所示. 由圖象可知f(x)的最小正周期為,延伸探究】1.若題(2)條件不變,則判斷f(x)的奇偶性. 【解析】由函數(shù)f(x)= =|sinx|,其定義域為R, 且f(-x)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=f(x).故f(x)= 為偶函數(shù),2.題(2)中“函數(shù)f(x)= ”換為“函數(shù)f(x)= ”,其他條件不變,其結(jié)論又如何呢? 【解析

8、】f(x)= =|cosx|,圖象如圖所示. 由圖可知T,規(guī)律總結(jié)】對函數(shù)最小正周期的理解 (1)最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的那個最小正數(shù),這個正數(shù)是對x而言的,如y= sin2x的最小正周期是,因為y=sin(2x+2)= sin2(x+),即是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x加上的最小正數(shù),是對x而言的,而非2x,2)并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,譬如,常數(shù)函數(shù)f(x)=c,任意一個正實數(shù)都是它的周期,因而不存在最小正周期,補(bǔ)償訓(xùn)練】求函數(shù)f(x)=2cos 的最小正周期. 【解析】由T= ,所以f(x)=2cos 的最小正 周期為,類型二:正、余弦函數(shù)的奇偶性 【典

9、例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=xsin(+x). (2)f(x)=sinxsin,解題指南】先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱, 再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,進(jìn)而可確定函數(shù)的奇偶性. 【解析】(1)f(x)的定義域為R, 因為f(x)=xsin(+x)=-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx, 所以f(-x)=f(x).故f(x)為偶函數(shù),2)f(x)的定義域為R,由已知可得f(x)=sinxcosx, 因為f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),規(guī)律總結(jié)】三角函數(shù)奇偶性的判斷方法 (1)

10、定義法:借助誘導(dǎo)公式利用奇偶函數(shù)的定義判斷. (2)圖象法:作出三角函數(shù)圖象根據(jù)對稱性作出判斷,鞏固訓(xùn)練】 1.若函數(shù) 是偶函數(shù),則a=_. 【解析】因為,所以 答案：-3,2.判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)= . (2)f(x)= . 【解題指南】先求定義域,再由f(-x)與f(x)的關(guān)系判 斷,解析】(1)因為函數(shù)的定義域為R,且 所以f(-x)=cos =cos x=f(x), 故函數(shù)f(x)=sin 是偶函數(shù),2)由2cosx-10,即cosx ,得定義域為 (kZ).定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.再由f(-x)= =f(x), 故f(x)= 是偶函數(shù),類型三:三角函數(shù)周期性與奇偶性的綜

11、合 【典例3】(1)(2016濟(jì)寧高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)= sin ,則f(x)是 () A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù),C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù),2)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù). 若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x 時,f(x)=sinx, 則f 的值為(,解題指南】(1)先將f(x)=sin 化簡,再判斷. (2)利用周期性及奇偶性將f 的值轉(zhuǎn)化為 范圍 內(nèi)的某一角的值,解析】(1)選B.因為f(x)=sin =-sin =-cos2x, 所以該函數(shù)的最小正周期為,且為偶函數(shù). (2)選D,規(guī)律總結(jié)】 1.利用周期性和奇偶性解決求值問題的方法 利用函數(shù)的周期性,可以把x+nT(nZ)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)值.利用奇偶性,可以找到-x與x的函數(shù)值的關(guān)系,從而可解決求值問題,2.判斷y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具有奇 偶性的關(guān)鍵 判斷函數(shù)y=As