不等式的綜合運用

1、不等式的綜合應(yīng)用1. 不等式理論的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）運用不等式研究函數(shù)問題（單調(diào)性、最值等）.（2）運用不等式研究方程解的問題.（3）利用函數(shù)性質(zhì)及方程理論研究不等式問題.例如解集之間的包含關(guān)系，函數(shù)的定義域、值域及最值問題，解析幾何中有關(guān)范圍問題等，都與解不等式的知識相關(guān)聯(lián).2、不等式的解法及證明的基本應(yīng)用：求函數(shù)的定義域、值域和最大值、最小值問題判斷函數(shù)的單調(diào)性及求相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；利用不等式討論方程實根的個數(shù)、分布范圍和解含參數(shù)的方程；將不等式同數(shù)學(xué)其他知識結(jié)合起來，解決一些有實際應(yīng)用價值的綜合題。3.不等式在實際中的應(yīng)用是指用不等式解決生產(chǎn)、科研和日常生活中的問題.在解題

2、時要過“閱讀理解”關(guān)，閱讀關(guān)是指讀懂題目，能夠概括出問題涉及哪些內(nèi)容；理解關(guān)是指準(zhǔn)確理解和把握這些量之間的關(guān)系，然后建立數(shù)學(xué)模型，再討論不等關(guān)系，最后得出問題的結(jié)論.4、解不等式應(yīng)用問題的幾個主要步驟： 審題，必要時畫出示意圖； 建模，簡歷不等式模型，即根據(jù)題意找出常量與變量間的不等關(guān)系，注意文字語言、符號語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換； 求解，利用不等式的有關(guān)知識解題。5.運用基本不等式求最值，常見的有兩類（已知x、y都為正數(shù)） （1）若x+y=S(和為定值)，則當(dāng) 時，積xy取得最大值 ; （2）若xy=P（積為定值），則當(dāng) 時，和x+y取得最小值 .基礎(chǔ)自測1.已知a1a2a30，則使得（1-ai

3、x）20,求證:(1) 方程f(x)=0有實根; (2) (3)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實根,則 變式3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,若f(c)=0,且0x0. (1)證明: 是方程f(x)=0的一個根; (2)試比較 與c的大小; (3)證明:-2b 的解集.變式5 已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，其圖象均在x軸的上方，對任意的m、n0,+)，都有f(mn)=f(m)n，且f(2)=4，又當(dāng)x0時，其導(dǎo)函數(shù)f(x)0恒成立. （1）求f(0),f(-1)的值； （2）解關(guān)于x的不等式： 其中k(-1,1).例6已知函數(shù)

4、a0,討論f(x)的單調(diào)性.題型四 不等式在解決實際問題中的應(yīng)用例7 甲、乙兩位采購員同去一家糧食銷售公司買了兩次糧食，兩次購買糧食價格不同，兩位采購員的購糧方式不同，其中，甲每次購買1 000 kg，乙每次購糧用去1 000元錢，誰的購糧方式更合算？變式7 設(shè)絕對值小于1的全體實數(shù)的集合為S，在S中定義一種運算*，使得 求證：若a,bS，則a*bS.題型五 不等式在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用例8 已知數(shù)列。 （1） 若，求的取值范圍（2） 當(dāng)時，求的最大值，并求出對應(yīng)b的取值。變式8 各項均為正數(shù)的數(shù)列，且對滿足m的正整數(shù)m，n，p，q都有（1） 當(dāng)時，求通項；（2） 證明：對任意a，存在于a有關(guān)

5、的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)n，都有。題型六 不等式在解析集合中的應(yīng)用例9 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點。（1） 若=6，求k的值；（2） 求是變形AEBF面積的最大值。練習(xí)：1.設(shè)a0，b0,若 是3a與3b的等比中項，則 的最小值為 .2.已知函數(shù) 則不等式f(x)1的解集為 .3設(shè)函數(shù)f(x)=|x-4|+|x-a|,則f(x)的最小值為3，則a= ,若f(x)5，則x的取值范圍是 .4.若不等式組 所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+ 分為面積相等的兩部分，則k的值是 .5.當(dāng)x(1,2)時，不等式x2+mx+4 ,且當(dāng)x1,4a時，|f(x)|12a恒成立，試確定a的取值范圍.11. 如圖所示，公園內(nèi)有一塊邊長為2a的等邊ABC形狀的三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等