(完整版)湘教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理,推薦文檔

1、一、二元一次方程組1、概念：湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納第一章二元一次方程組15 / 23二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是 1 的方程，叫二元一次方程。二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程（或一個(gè)是一元一次方程，另一個(gè)是二元一次方程；或兩個(gè)都是一元一次方程；但未知數(shù)個(gè)數(shù)仍為兩個(gè)）合在一起，就組成了二元一次方程組。2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解。使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程組的解。注：、因?yàn)槎淮畏匠毯袃蓚€(gè)未知數(shù)，所以，二元一次方

2、程的解是一組（對(duì)）數(shù)，用大括號(hào)聯(lián)立；、一個(gè)二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；、而二元一次方程組的解是其中兩個(gè)二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數(shù)組或無解（即無公共解）。二元一次方程組的解的討論：已知二元一次方程組a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2、當(dāng) a1/a2 b1/b2 時(shí)，有唯一解；、當(dāng) a1/a2 = b1/b2 c1/c2 時(shí)，無解；、當(dāng) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 時(shí)，有無數(shù)解。例如：對(duì)應(yīng)方程組：、x + y = 4 3x - 5y = 9x + y = 3 2x + 2y = 5x + y = 4、2x +

3、 2y = 8例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：a + b = 2 b + c = 3x = 4y = 53t + 2s = 5、ts + 6 = 0、x = 11、2x + 3y = 0、3、用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)：用含 x 的代數(shù)式表示 y，就是先把 x 看成已知數(shù)，把 y 看成未知數(shù)；用含 y 的代數(shù)式表示 x，則相當(dāng)于把 y 看成已知數(shù)，把 x 看成未知數(shù)。例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含 x 的代數(shù)式表示 y 為：,用含 y 的代數(shù)式表示 x 為: 。4、根據(jù)二元一次方程的定義求字母系數(shù)的值：要抓住兩個(gè)方面：、未知數(shù)的指數(shù)為 1，、未知數(shù)前的系數(shù)不

4、能為 0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y(b2-24) = 3 是關(guān)于 x、y 的二元一次方程，求 a、b 的值。5、求二元一次方程的整數(shù)解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整數(shù)解。思路：利用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的方法，可以求出方程有正整數(shù)解時(shí) x、y 的取值范圍，然后再進(jìn)一步確定解。解：用含 x 的代數(shù)式表示 y: y = 9/2 (3/4)x用含 y 的代數(shù)式表示 x: x = 6 (4/3)y因?yàn)槭乔笳麛?shù)解，則：9/2 (3/4)x 0, 6 (4/3)y 0所以，0 x 6 ,0 y 設(shè)元（設(shè)未知數(shù)） 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程組 解

5、方程組 檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）2、列方程組解應(yīng)用題的常見題型：（）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：較大量 - 較小量 = 相差量 ，總量 = 倍數(shù) 倍量；（）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例；（3）、速度問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：路程 = 速度 時(shí)間，包括相遇問題、追及問題等；（4）、航速問題：、順流（風(fēng)）：航速 = 靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度 + 水（風(fēng)）速；、逆流（風(fēng)）：航速 = 靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度 水（風(fēng)）速；（5）、工程問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：工作總量 = 工作效率工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作 1）；（）、增長(zhǎng)率問題：解

6、這類問題的基本關(guān)系式是：原量（1+增長(zhǎng)率）= 增長(zhǎng)后的量，原量（1-減少率）= 減少后的量；（）、盈虧問題：解這類問題的關(guān)鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來把握事物的總量；（）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示；（）、幾何問題：解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式；（）、年齡問題：解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)相等。例 1：一批水果運(yùn)往某地，第一批 360 噸，需用 6 節(jié)火車車廂加上 15 輛汽車，第二批 440 噸，需用 8 節(jié)火車車廂加上 10 輛汽車，求每節(jié)火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸？例 2：甲、

7、乙兩物體分別在周長(zhǎng)為 400 米的環(huán)形軌道上運(yùn)動(dòng)，已知它們同時(shí)從一處背向出發(fā)，25 秒后相遇，若甲物體先從該處出發(fā)，半分鐘后乙物體再?gòu)脑撎幫虺霭l(fā)追趕甲物體，則再過 3 分鐘后才趕上甲， 假設(shè)甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。例 3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長(zhǎng)為 600 米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，甲的速度比乙大，當(dāng)二人反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每 150 秒相遇一次，當(dāng)二人同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每 10 分鐘相遇一次，求二人的速度。例 4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是 3 ：7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是 4：1，今要得到酒精與水的比是 3 ：2 的酒精溶液 50kg，求甲、乙兩種溶液各

8、取多少 kg？例 5：一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成，如果 1 立方米木料可制成方桌桌面 50 個(gè)，或制作桌腿 300條，現(xiàn)有 5 立方米木料，請(qǐng)問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時(shí)，可以制成多少?gòu)埛阶溃坷?6：某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時(shí) 50 千米的速度行駛，就會(huì)遲到 24 分鐘，如果他以每小時(shí) 75 千米的速度行駛，則可提前 24 分鐘到達(dá)乙地，求甲、乙兩地間的距離。農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需投入資金水稻4 人1 萬元棉花8 人1 萬元蔬菜5 人2 萬元例 7：某農(nóng)場(chǎng)有 300 名職工耕種 51 公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花、蔬菜三

9、種農(nóng)作物，已知種植各種農(nóng)作物每公頃所需勞動(dòng)力人數(shù)及投入資金如右表： 已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃投入資金 67 萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種農(nóng)作物的種植面積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？例 8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天 25 元，兩人間每人每天 35 元，一個(gè) 50 人的旅游團(tuán)到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去 1510 元，求兩種客房各租了多少間？年級(jí)捐款數(shù)額（元）捐助貧困中學(xué)生人數(shù)（名）捐助貧困小學(xué)生人數(shù)（名）初一年級(jí)400024初二年級(jí)420033初三年級(jí)7400例 9：某山區(qū)有 23 名中、小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要

10、a 元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要 b 元。某校學(xué)生積極捐款，初中各年級(jí)學(xué)生捐款數(shù)額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如右表：（）、求 a、b 的值；（）初三年級(jí)的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請(qǐng)分別計(jì)算出初三年級(jí)的捐款所資助的中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)。四、三元一次方程組的解法1、概念：由三個(gè)方程組成方程組，且方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1 次，這樣的方程組叫三元一次方程組。注：三元一次方程組中的三個(gè)方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)”的條件即可。2、解三元一次方程組的基本思想：三元一次方程組消元(代入法、加

11、減法)消元一元一次方程二元一次方程組(代入法、加減法)例 1：解方程3x + 4y + z = 14x + 5y + 2z = 17組2x + 2y - z = 33x + 4z = 72x + 3y + z = 9 5x 9y + 7z = 8例 2：在 y = ax+bx+c 中，當(dāng) x=1 時(shí)，y=0；x=2 時(shí)，y=3；x=3 時(shí),y=28，求 a、b、c 的值。當(dāng) x = -1 時(shí)，y 的值是多少？例 3：甲、乙、丙三數(shù)之和是 26，甲數(shù)比乙數(shù)大 1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大 18，求這三個(gè)數(shù)。例 4：小明從家到學(xué)校的路程為 3.3 千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，

12、如果保持上坡路每小時(shí)行 3 千米，平路每小時(shí)行 4 千米，下坡路每小時(shí)行 5 千米，那么小明從家到學(xué)校需要 1 小時(shí)，從學(xué)?；丶抑恍枰?44 分鐘。求小明家到學(xué)校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章 整式的乘法1. 同底數(shù)冪的乘法：aman=am+n ，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2. 冪的乘方與積的乘方：(am)n=amn ，底數(shù)不變，指數(shù)相乘； (ab)n=anbn ，積的乘方等于各因式乘方的積.3. 單項(xiàng)式的乘法：系數(shù)相乘，相同字母相乘，只在一個(gè)因式中含有的字母，連同指數(shù)寫在積里.4. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加

13、.5. 多項(xiàng)式的乘法：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.6. 乘法公式：（1） 平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；（2） 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2, 兩個(gè)數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的 2 倍； (a-b)2=a2-2ab+b2 , 兩個(gè)數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的 2 倍； (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略.7. 配方： p 2（1）若二次三項(xiàng)式 x2+px+q 是完全平

14、方式,則有關(guān)系式： = q ； 2 （2）二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c 經(jīng)過配方，總可以變?yōu)?a(x-h)2+k 的形式，利用 a(x-h)2+k可以判斷 ax2+bx+c 值的符號(hào)； 當(dāng) x=h 時(shí)，可求出 ax2+bx+c 的最大（或最小）值 k.（3）注意： x 2 + 1 = x + 1 2x 2 - 2 .x 8. 同底數(shù)冪的除法：aman=am-n ，底數(shù)不變，指數(shù)相減.9. 零指數(shù)與負(fù)指數(shù)公式:（1）a0=1 (a0)； a-n= ,(a0). 注意：00，0-2 無意義；1a n（2）有了負(fù)指數(shù)，可用科學(xué)記數(shù)法記錄小于 1 的數(shù)，例如：0.0000201=2.0110-5 .1

15、. 因式分解第三章因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即：多項(xiàng)式 幾個(gè)整式的積111例 ： ax + bx =x(a + b)333因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2. 因式分解的方法：（1） 提公因式法：定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。系數(shù) 取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母 取各項(xiàng)都含有的字母 指數(shù) 取相同字母的最低次冪例：12a3b3c - 8a3b2c

16、3 + 6a4b2c2 的公因式是解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是 12、-8、6，它們的最大公約數(shù)為 2；字母部分 a3b3c, a3b2c3, a4b2c2 都含有因式 a3b2c ，故多項(xiàng)式的公因式是 2 a3b2c .提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式。注意：提取公因式后，對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn)，務(wù)必使因式最簡(jiǎn)。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的，要先提取符號(hào)。例 1：把12a2b -18ab2 - 24a3b3 分解因式.解析：本題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是 6，相

17、同字母的最低次冪是 ab，故公因式為 6ab。解：12a2b -18ab2 - 24a3b3= 6ab(2a - 3b - 4a2b2 )例 2：把多項(xiàng)式3(x - 4) + x(4 - x) 分解因式解析：由于4 - x = -(x - 4) ，多項(xiàng)式3(x - 4) + x(4 - x) 可以變形為3(x - 4) - x(x - 4) ,我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式（ x - 4 ）,所以我們可以提取公因式（ x - 4 ）后,再將多項(xiàng)式寫成積的形式.解： 3(x - 4) + x(4 - x)= 3(x - 4) - x(x - 4)= (3 - x)(x - 4)例 3：把多項(xiàng)

18、式-x2 + 2x 分解因式解 ： -x2 + 2x = -(x2 - 2x) = -x(x - 2)（2） 運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。a. 逆用平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b)b. 逆用完全平方公式：a2 2ab + b2 = (a b)2c. 逆用立方和公式：（3 拓+ b展3 =）(a + b)(a2 - ab + b2 )d. 逆用立方差公式：a3 拓- b展3 =）(a - b)(a2 + ab + b2 )注意：公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。選擇使用公式的方法

19、：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方公式。例 1：因式分解 a2 -14a + 49解： a2 -14a + 49 = (a - 7)2例 2：因式分解 a2 + 2a(b + c) + (b + c)2解 ： a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 = (a + b + c)2（3） 分組分解法（拓展）將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；例：把多項(xiàng)式 ab - a + b -1 分解因式解： ab - a + b -1 = (ab - a) + (b -1) = a(b -1) + (b -1) = (a +1)(b -1)將多項(xiàng)

20、式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解. 例：將多項(xiàng)式 a2 - 2ab -1+ b2 因式分解解： a2 - 2ab -1+ b2= (a2 - 2ab + b2 ) -1 = (a - b)2 -1 = (a - b +1)(a - b -1)（4） 十字相乘法（形如 x2 + ( p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 形式的多項(xiàng)式，可以考慮運(yùn)用此種方法） 方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù) p和q ，這兩數(shù)的和 p + q 為一次項(xiàng)系數(shù)x2 + ( p + q)x + pqxpxqx2 + ( p + q)x + pq = (x + p)(x + q)例：分解因式 x2 - x -

21、30分解因式 x2 + 52x +100補(bǔ)充點(diǎn)詳解補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將-30 分解成 pq 的形式，我們可以將 100 分解成 pq 的形式， 使 p+q=-1, pq=-30,我們就有 p=-6,使 p+q=52, pq=100,我們就有 p=2, q=5 或 q=-6,p=5。q=50 或 q=2,p=50。所以將多項(xiàng)式 x2 + ( p + q)x + pq 可以分所以將多項(xiàng)式 x2 + ( p + q)x + pq 可以分解為(x + p)(x + q)解為(x + p)(x + q)x50x5x2x-6x2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)x2 + 52x +100

22、 = (x + 50)(x + 2)3. 因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式。一、例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號(hào)外面. 確定公因式的方法：系數(shù)取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大

23、公約數(shù)；字母(或多項(xiàng)式因式)取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次冪.【例 1】 分解因式：15a (a - b)2n+1 - 10ab (b - a)2n ( n 為正整數(shù)) 4a2n+1bm - 6an+2bm-1 ( m 、 n 為大于 1 的自然數(shù))【鞏固】分解因式： (x - y)2n+1 - (x - z)(x - y)2n + 2( y - x)2n ( y - z) ， n 為正整數(shù).【例 2】 先化簡(jiǎn)再求值， y (x + y )+ (x + y )(x - y )- x2 ，其中 x = -2 ， y = 1 2l 求代數(shù)式的值： (3x - 2)2 (2x + 1)

24、- (3x - 2)(2x + 1)2 + x(2x + 1)(2 - 3x) ，其中 x = - 2 .3b(c【例 3】 已知： b + c - a = -2 ，求 2 a(a - b - c) +2 - 2 a + 2 b) + 1 c(2b + 2c - 2a) 的值.33333n 分解因式： x3 (x + y - z)( y + z - a) + x2 z(z - x - y) + x2 y(z - x - y)(x - z - a) .公式法平方差公式： a2 - b2 = (a + b)(a - b)公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反；每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方

25、形式；右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積.完全平方公式： a2 + 2ab + b2 = (a + b)2a2 - 2ab + b2 = (a - b)2左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式；左邊首末兩項(xiàng)符號(hào)相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式；左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的 2 倍，符號(hào)可正可負(fù)；右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項(xiàng)的符號(hào)決定.一些需要了解的公式：a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b

26、2 ) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相交線第四章相交線與平行線相交線垂線同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線定義: 平行線及其判定判定1：同位角相等，兩直線平行平行線的判定判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行相交線與平行線判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定4：平行于同一條直線的兩直線平行性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等平行線的性質(zhì)性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)平移性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩直線平行命題、定理二、知識(shí)要點(diǎn)1、在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有 兩種： 相交 和 平行

27、， 垂直 是相交的一種特殊情況。2、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫 平行線 。如果兩條直線只有 一個(gè) 公共點(diǎn)，稱這兩條直線相交； 如果兩條直線 沒有 公共點(diǎn)，稱這兩條直線平行。3 4 1圖 123、兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有 公共頂點(diǎn) 且有 一條公共邊 的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的性質(zhì)： 鄰補(bǔ)角互補(bǔ) 。如圖 1 所示，與互為鄰補(bǔ)角， 與互為鄰補(bǔ)角。+= 180；+= 180；+= 180； += 180。4、兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的 反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角互為 對(duì)頂角 。對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。如圖 1 所示，與互為對(duì)頂角。=；=。5、兩條直線

28、相交所成的角中，如果有一個(gè)是 直角或 90時(shí)，稱這兩條直線互相垂直， 其中一條叫做另一條的垂線。如圖 2 所示，當(dāng)= 90時(shí)，。ba垂線的性質(zhì)：2 13 4性質(zhì) 1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。圖 2性質(zhì) 2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。性質(zhì) 3：如圖 2 所示，當(dāng) a b 時(shí)，= 90。ca3 4 12b7 8 56點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線的距離。6、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角基本特征：13 / 23圖 3在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側(cè) ，這樣的兩個(gè)角叫 同位角 。圖 3 中，共有對(duì)同位角

29、：與是同位角； 與是同位角；與是同位角；與是同位角。在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側(cè) ，這樣的兩個(gè)角叫 內(nèi)錯(cuò)角 。圖 3 中，共有對(duì)內(nèi)錯(cuò)角：與是內(nèi)錯(cuò)角；與是內(nèi)錯(cuò)角。在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩個(gè)角叫 同旁內(nèi)角 。圖 3 中，共有對(duì)同旁內(nèi)角：與是同旁內(nèi)角；與是同旁內(nèi)角。7、平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。ca3 4 12b7 8 56平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。平行線的性質(zhì)：性質(zhì) 1：兩直線平行，同位角相等。如圖 4 所示，如果 ab，則=；=；=；

30、=。圖 4性質(zhì) 2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。如圖 4 所示，如果 ab，則=；=。性質(zhì) 3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如圖 4 所示，如果 ab，則+= 180； += 180。性質(zhì) 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果 ab，ac，則。ca3 4 12b7 8 568、平行線的判定：判定 1：同位角相等，兩直線平行。如圖 5 所示，如果= 或=或=或=，則 ab。圖 5判定 2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。如圖 5 所示，如果=或=，則 ab 。判定 3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。如圖 5 所示，如果+= 180； += 180，則 ab。判定 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如

31、果 ab，ac，則。9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設(shè) 和 結(jié)論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。如果題設(shè)成立，那么結(jié)論 一定 成立，這樣的命題叫 真命題 ；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。10、平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移變換，簡(jiǎn)稱平移。25 / 23平移后，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。平移性質(zhì)：平移前后兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連

32、線平行且相等；對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等。一.知識(shí)框架第五章旋轉(zhuǎn)二知識(shí)概念1. 旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。）2. 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于 0，大于 360）。 3中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱：中心對(duì)稱

33、圖形：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 度后能與自身重合，那么我們就說，這個(gè)圖形成中心對(duì)稱圖形。中心對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 度后能與另一個(gè)圖形重合，那么我們就說，這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱。4. 中心對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。一、精心選一選 (每小題 3 分，共 30 分)abcd1.下面的圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）2.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) p（2,3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）a（3，2）b (2,3）c（2，3）d

34、(2，3）main document only.3 張撲克牌如圖1 所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉(zhuǎn)180 后得到如圖（2）所示，則她所旋轉(zhuǎn)的牌從左數(shù)起是（）a第一張b第二張c第三張d 第 四 張3.在下圖右側(cè)的四個(gè)三角形中，不能由abc 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是（ ）cbaabcd4.如圖 3 的方格紙中，左邊圖形到右邊圖形的變換是（）a. 向右平移 7 格b. 以 ab 的垂直平分線為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱，再以 ab 為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱圖c. 繞 ab 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 1800，再以 ab 為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱d. 以 ab 為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱，再向右平移 7 格5.從數(shù)學(xué)上對(duì)稱的角度看，下面幾組大寫英文字

35、母中，不同于另外三組的一組是（）aanegbkbxncxihodzdwh6.如圖 4，c 是線段 bd 上一點(diǎn)，分別以 bc、cd 為邊在 bd 同側(cè)作等邊abc 和等邊cde,ad 交 ce 于 f，be 交 ac 于 g，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有()a1 對(duì)b2 對(duì)c3 對(duì)d4 對(duì)圖 47.下列這些復(fù)雜的圖案都是在一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上，在“幾何畫板”軟件中拖動(dòng)一點(diǎn)后形成的， 它們中每一個(gè)圖案都可以由一個(gè)“基本圖案”通過連續(xù)旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)的角度是（）a 30b 45c 60d 90main document only.如圖5 所示，圖中的一個(gè)矩形是另一個(gè)矩形順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90后

36、形成的個(gè)數(shù)是（）al 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)8.如圖 6，abc 和ade 都是等腰直角三角形，c 和ade 都是直角，點(diǎn) c 在 ae 上，abc 繞著 a 點(diǎn)經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能夠與 ade 重合得到圖 7，再將圖 23a4 作為“基本圖形”繞圖d5ec著 a 點(diǎn)經(jīng)過逆時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到圖 7.兩次旋轉(zhuǎn)的角度分別為（）ab圖 6 decaba45，90b90，45c60，30d30，60二、耐心填一填（每小題 3 分，共 24 分）9.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過，而且被 平分.10.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的

37、是圖711.時(shí)鐘上的時(shí)針不停地旋轉(zhuǎn)，從上午 8 時(shí)到上午 11 時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是12.如圖 8，abc 以點(diǎn) a 為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60，得abc，則abb是 三角形.13.已知0，則點(diǎn)（2，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)1 在第象限14.如圖 9，cod 是aob 繞點(diǎn) o 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 40后所得的圖形，點(diǎn) c 恰好在 ab 上，aod90，則d 的度數(shù)是15.如圖 10，在兩個(gè)同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，若大圓的半徑為 2，則圖中陰影部分的面積是.16.如圖,四邊形 abcd 中，bad=c=90，ab=ad，aebc 于e，若線段 ae=5，則 s 四邊形abc

38、d。cbaadod圖 8圖 9圖 10bec圖 11三、細(xì)心解一解（共 46 分）main document only.（6 分）如圖 12，四邊形 abcd 的bad=c=90,ab=ad,aebc 于 e,dbea 旋轉(zhuǎn)后能與ddfa 重合。(1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)? (2）旋轉(zhuǎn)了多少度?(3）如果點(diǎn) a 是旋轉(zhuǎn)中心，那么點(diǎn) b 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn) b 旋轉(zhuǎn)到什么位置？17.（4分）如圖13，請(qǐng)畫出dabc 關(guān)于點(diǎn)o點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形圖 12（6 分）如圖 14，方格紙中的每個(gè)小18.方格都是邊長(zhǎng)為 1 個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，abc 的頂點(diǎn)均圖在格點(diǎn)上，點(diǎn)c 的坐標(biāo)為(4，

39、-1) 把a(bǔ)bc 向上平移 5 個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的a1b1c1 ，畫出a1b1c1 ，并寫出c1 的坐標(biāo)；以原點(diǎn)o 為對(duì)稱中心，再畫出與a1b1c1 關(guān)于原點(diǎn)o 對(duì)稱的a2 b2c2 ，并寫出點(diǎn)c2 的坐標(biāo)圖 14圖 1518（4 分）如圖 15，方格中有一條美麗可愛的小金魚 (1）若方格的邊長(zhǎng)為 1，則小魚的面積為 (2）畫出小魚向左平移 3 格后的圖形（不要求寫作圖步驟和過程）main document only.（6 分）如圖 16,e、f 分別是正方形 abcd 的邊 cd、da 上一點(diǎn)，且ceafef，請(qǐng)你用旋轉(zhuǎn)的方法求ebf 的大小片 abc19.圖 1619（8 分）將一張透明的

40、平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠和def 將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn) b 與頂點(diǎn) e 重合，把 def 繞點(diǎn) b 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)ac 與 df 相交于點(diǎn)o focfcocaaa ebdfb(e)db(e)d圖圖圖（1） 當(dāng) def 旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn) b(e) ， c，d 在同一直線上時(shí)， afd 與 dca 的數(shù)量關(guān)系是2 分（2） 當(dāng) def 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由（3） 在圖中，連接 bo，ad ，探索 bo 與 ad 之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明第六章 數(shù)據(jù)的分析一、知識(shí)點(diǎn)講解：1. 平均數(shù)：（1） 算術(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，有 n

41、 個(gè)數(shù)據(jù)x，x，l，xn，則它們的算術(shù)平均數(shù)為x = x1 + x2 +l+ xn .n（2） 加權(quán)平均數(shù)：若在一組數(shù)字中， 出現(xiàn)次， 出現(xiàn)次， 出現(xiàn)次，那么叫做 、 的加權(quán)平均數(shù)。其中， 、 分別是 、 的權(quán).權(quán)的理解:反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度。權(quán)的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等）。2. 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。4. 平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系相同

42、點(diǎn)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的相同之處主要表現(xiàn)在：都是來描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來作為一組數(shù)據(jù)的代表。不同點(diǎn)它們之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下方面。） 、定義不同平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 。眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。） 、求法不同平均數(shù)：用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),需要計(jì)算才得求出。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)

43、數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。它的求出不需或只需簡(jiǎn)單的計(jì)算。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，不必計(jì)算就可求出。） 、個(gè)數(shù)不同在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時(shí)不具有惟一性。在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個(gè)眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)。） 、代表不同平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來一代表數(shù)據(jù)的總體 “平均水平”。中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表。） 、特點(diǎn)不同

44、平均數(shù)：與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)。主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)。中位數(shù)：與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)它沒有影響；它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響。眾數(shù)：與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，不受極端值的影響,其缺點(diǎn)是具有不惟一性，一組數(shù)據(jù)中可能會(huì)有一個(gè)眾數(shù)，也可能會(huì)有多個(gè)或沒有。） 、作用不同平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，比較可靠和穩(wěn)定，因?yàn)樗c每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來的信息最充分。平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說的平均成績(jī)、平均身高、平均體重等。中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù)。但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適。眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù)。在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示