電工學(xué)：第2章正弦交流電路

1、第 2 章 正弦交流電路,第 2 章正弦交流電路,2.1正弦電壓與電流,2.2正弦量的相量表示法,2.3單一參數(shù)的交流電路,2.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路,2.5阻抗的串聯(lián)與并聯(lián),2.6電路中的諧振,2.7功率因數(shù)的提高,2.8三相電路,2.9非正弦周期電壓和電流,第 2 章正弦交流電路,在生產(chǎn)和生活中 普遍應(yīng)用正弦交流電，特別是三相電路應(yīng)用更為廣泛,正弦交流電路是指含有正弦電源(激勵(lì))而且電路各部分所產(chǎn)生的電壓和電流(響應(yīng))均按正弦規(guī)律變化的電路,本章將介紹交流電路的一些基本概念、基本理論和基本分析方法，為后面學(xué)習(xí)交流電機(jī)、電器及電子技術(shù)打下基礎(chǔ),本章還將討論三相交流電路和非正弦周

2、期電壓和電流,交流電路具有用直流電路的概念無法理解和無法分析的物理現(xiàn)象，因此在學(xué)習(xí)時(shí)注意建立交流的概念，以免引起錯(cuò)誤,2.1正弦電壓與電流,直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時(shí)間變化的，如右上圖所示,正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性 變化的，其波形如右下圖所示,正半周,負(fù)半周,電路圖上所標(biāo)的方向是指它們的參考 方向，即代表正半周的方向,負(fù)半周時(shí)，由于參考方向與實(shí)際方向相反，所以為負(fù)值,表征正弦量的三要素有,幅值,初相位,頻率,2.1.1頻率與周期,周期 T：正弦量變化一周所需要的時(shí)間,角頻率,例我國(guó)和大多數(shù)國(guó)家的電力標(biāo)準(zhǔn)頻率是 50 Hz，試求其 周期和角頻率,解,Im,t,i,

3、0,T/2,頻率 f：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù),Im,= 2f = 2 3.14 50 rad/s = 314 rad/s,2.1.2幅值與有效值,瞬時(shí)值是交流電任一時(shí)刻的值。 用小寫字母表示。如 i、u、e 分別表 示電流、電壓、電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值,Im,t,i,0,T/2,Im,同理可得,根據(jù)上述定義，有,得,當(dāng)電流為正弦量時(shí),最大值是交流電的幅值。用大寫字母加下標(biāo)表示。如 Im、Um、Em,有效值是從電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的。交流電流通過一個(gè)電阻時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)消耗的電能與某直流電流在同一電阻相同時(shí)間內(nèi)消耗的電能相等， 這一直流電流的數(shù)值定義為交流電的有效值,2.1.3初相位,正弦量所取計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同

4、，其初始值(t = 0 時(shí)的值)及到 達(dá)幅值或某一特定值所需時(shí)間就不同,例如,不等于零,t = 0 時(shí),t = 0 時(shí)的相位角稱為初相位角或初相位,t 和 (t + ) 稱為正弦量的相位角或相位。它表明正弦量的進(jìn)程,若所取計(jì)時(shí)時(shí)刻不同，則正弦量初相位不同,2.1.3初相位,同頻率正弦量的相位角之差或是初相角之差，稱為相位差，用 表示,u 和 i 的相位差為,當(dāng)兩個(gè)同頻率的正弦量計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變時(shí)，它們的初相位角改變，但初相位角之差不變,i,u,2,1,圖中,u 超前 i 角,或稱 i 滯后 u 角,i1,i2,i3,i1 與 i3 反相,i1 與 i2 同相,在一個(gè)交流電路中，電壓、電流頻率相同，

5、而初相位常常不相同，如左上圖所示,2.2正弦量的相量表示法,a,A,O,b,r,模,輻角,代數(shù)式,三角式,指數(shù)式,極坐標(biāo)式,正弦量具有幅值、頻率和初相位三個(gè)要素，它們除用三角 函數(shù)式和正弦波形表示外，還可以用相量來表示,正弦量的相量表示法就是用復(fù)數(shù)來表示正弦量,A = a + jb,r(cos + jsin,rej,r,設(shè)平面有一復(fù)數(shù) A,復(fù)數(shù) A 可有幾種式子表示,復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)應(yīng)采用代數(shù)式， 實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減,復(fù)數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)應(yīng)采用指數(shù)式或極 坐標(biāo)式，模與模相乘除，輻角與輻角相加減,2.2正弦量的相量表示法,由以上分析可知，一個(gè)復(fù)數(shù)由模和輻角兩個(gè)特征量確定。而正弦

6、量具有幅值、頻率和初相位三個(gè)要素。但在分析線性電路時(shí)，電路中各部分電壓和電流都是與電源同頻率的正弦量，因此，頻率是已知的，可不必考慮。故一個(gè)正弦量可用幅值和初相角兩個(gè)特征量來確定,比照復(fù)數(shù)和正弦量，正弦量可用復(fù)數(shù)來表示。復(fù)數(shù)的模即 為正弦量的幅值或有效值，復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位角,為與復(fù)數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。并在大 寫字母上打一“,的相量式為,上式中,有效值相量,相量是表示正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流電是 時(shí)間的函數(shù)，兩者之間并不相等,按照正弦量的大小和相位關(guān)系畫出的若干個(gè)相量的圖形， 稱為相量圖,注意,只有正弦周期量才能用相量表示,只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上,

7、想一想，正弦量有哪幾種表示方法，它們各適 合在什么場(chǎng)合應(yīng)用,相 量 圖,i1,i2,例 若 i1= I1msin(t + i1) i2 = I2msin(t + i2)， 畫相量圖,設(shè) i1 = 65，i1 = 30,例 1若已知 i1 = I1msin(t + 1) = 100sin(t + 30) A、 i2 = I2msin(t + 2) = 60 sin(t 30) A ，求 i = i1 + i2,解,正弦電量 (時(shí)間函數(shù),所求 正弦量,變換,相量 (復(fù)數(shù),相 量 結(jié) 果,反變換,相量 運(yùn)算 (復(fù)數(shù)運(yùn)算,正弦電量的運(yùn)算可按下列步驟進(jìn)行，首先把,于是得,2.3單一參數(shù)的交流電路,電路分

8、析是確定電路中電壓與電流關(guān)系及能量的轉(zhuǎn)換問題,2.3.1電阻元件,本節(jié)從電阻、電感、電容兩端電壓與電流一般關(guān)系式入手，介紹在正弦交流電路中這些單一參數(shù)的電壓、電流關(guān)系及能量轉(zhuǎn)換問題。為學(xué)習(xí)交流電路打下基礎(chǔ),1電壓電流關(guān)系,設(shè)在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示,根據(jù)歐姆定律,設(shè),則,式中,或,可見，R 等于電壓與電流有效值或最大值之比,電壓與電流同頻率、同相位,1電壓電流關(guān)系,電壓與電流大小關(guān)系,i,波形圖,電壓與電流相量表達(dá)式,相量圖,2.3.1電阻元件的交流電路,瞬時(shí)功率,平均功率,2功率,i,P = U I,轉(zhuǎn)換成的熱能,2.3.2電感元件的交流電路,設(shè)在電感元件的交流電路

9、中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向,1電壓電流關(guān)系,設(shè),由,有,感抗XL = L,XL與 f 的關(guān)系,感抗與頻率 f 和 L 成正比。因此，電感線圈對(duì)高頻電流的阻礙作用很大，而對(duì)直流可視為短路,波形圖,1電壓電流關(guān)系,電壓超前電流 90,相量圖,電壓與電流大小關(guān)系U = IXL,電壓與電流相量式,2.3.2電感元件的交流電路,2功率,瞬時(shí)功率,i,t,0,當(dāng) u、 I 實(shí)際方向相同時(shí)(i 增長(zhǎng))p 0 ，電感吸收功率,當(dāng) u、 I 實(shí)際方向相反時(shí)(i 減小)p 0，電感提供功率,波形圖,平均功率P = 0,無功功率,電感與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。其值為瞬時(shí)功率的最大值，單位為(var)

10、乏,電感不消耗功率，它是儲(chǔ)能元件,2.3.3電容元件的交流電路,容抗,設(shè),1電壓電流關(guān)系,有i = CUmcost = Imsin(t + 90,由,XC 與 f 的關(guān)系,設(shè)在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向,式中,容抗與頻率 f，電容 C 成反比。因此，電容元件對(duì)高頻電流所呈現(xiàn)的容抗很小，而對(duì)直流所呈現(xiàn)的容抗趨于無窮大，故可視為開路,波形圖,電流超前電壓 90,相量圖,電壓與電流大小關(guān)系U = IXC,電壓與電流相量式,1電壓電流關(guān)系,2.3.3電容元件的交流電路,2功率,瞬時(shí)功率,u,t,O,當(dāng) u、 i 實(shí)際方向相同時(shí)(u 增長(zhǎng))p 0，電容吸收功率,當(dāng) u、 i 實(shí)際方向

11、相反時(shí)(u 減小)p 0，電容提供功率,波形圖,平均功率P = 0,無功功率,電容與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。其值為瞬時(shí)功率的最大值，單位為(var) 乏,電容不消耗功率，它是儲(chǔ)能元件,例 1下圖中電容 C = 23.5 F，接在電源電壓 U = 220 V、頻率為 50 Hz、初相位為零的交流電源上，求電路中的電流 i 、P 及 Q。該電容的額定電壓最少應(yīng)為多少伏,解 容抗,P = 0Q = UI = 356.4 var,額定電壓 311V,2.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路,根據(jù) KVL 可列出,1電壓電流關(guān)系,在 R、L、C 串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示,如用

12、相量表示電壓與電流關(guān)系，可把電路模型改畫為相量模型,jXC,R,jXL,電路的阻抗，用 Z 表示,KVL相量表示式為,1電壓電流關(guān)系,2.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路,上式中,稱為阻抗模，即,阻抗的單位是歐姆，對(duì)電流起阻礙作用,是阻抗的輻角，即為電流與電壓之間的相位差,1電壓電流關(guān)系,2.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路,設(shè)電流 i = Imsint 為參考正弦量,當(dāng) XL XC ， 為正，電路中電壓超前電流，電路呈電感性,當(dāng) XL XC ， 為負(fù)，則電流超前電壓，電路呈電容性,當(dāng) XL = XC ， = 0，則電流與電壓同相，電路呈電阻性,的大小和正負(fù)由 電路參數(shù)決定,則電壓 u

13、 = Umsin(t +,為正 時(shí)電路 中電壓 電流相 量圖,阻抗 三角形,2功率,2.4 電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路,瞬時(shí)功率,整理可得,平均功率為,從 R、L、C 串聯(lián)電路相量圖可得出,于是,無功功率為,電壓與電流的有效值之積，稱為電路的視在功率,單位是(V A)或(kV A,解 (1,例 2R、L、C 串聯(lián)交流電路如圖所示。已知 R = 30 、 L = 127 mH、C = 40 F，。 求：(1)電流 i 及各部分電壓 uR，uL，uC；(2)求功率 P 和 Q,于是得,注意,2,電容性,3)電流、電壓相量圖,2.5阻抗串聯(lián)與并聯(lián),2.5.1阻抗的串聯(lián),根據(jù) KVL 可寫出圖

14、(a)電壓的相量表示式,圖(b)相量表示式,若圖(b)是圖(a)的等效電路，兩電路電壓、電流的關(guān)系式應(yīng)完全相同，由此可得,一般,若 Z1 = R1+ jX1,Z2 = R2 + jX2,則Z = R1 + jX1 + R2+ jX2= (R1 + R2 ) + j(X1 + X2,a,b,根據(jù) KCL 可寫出圖(a)電流的相量表示式,圖(b)相量表示式,若圖(b)是圖(a)的等效電路，兩電路電壓、電流的關(guān)系式應(yīng)完全相同，由此可得,或,因?yàn)橐话?即,所以,2.5.2阻抗的并聯(lián),2.6電路中的諧振,在含有電感和電容的交流電路中，若調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率，使電路中的電流與電源電壓同相位，稱這時(shí)電

15、路中發(fā)生了諧振現(xiàn)象,按發(fā)生諧振電路的不同，諧振現(xiàn)象分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振,本節(jié)討論串聯(lián)諧振與并聯(lián)諧振的條件和特征,2.6.1串聯(lián)諧振,在圖示電路中，當(dāng),或,時(shí)，則,即 u 與 i 同相，這時(shí)電路中發(fā)生串聯(lián)諧振,諧振條件,諧振頻率,串聯(lián)諧振電路特征,1,其值最小,最大,2)電路對(duì)電源呈電阻性,3)電源電壓,2.6.1串聯(lián)諧振,串聯(lián)諧振時(shí)相量圖,當(dāng) XL = XC R 時(shí)，UL 和 UC 都高于電源電壓 U。如果電壓過高，可能會(huì)擊穿線圈和電容的絕緣。因此，在電力系統(tǒng)中應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。而在無線電工程中則用串聯(lián)諧振以獲得較高電壓,發(fā)生諧振時(shí)的相量圖,由相量圖可得,由于,2.6.2并聯(lián)諧振,2.6.

16、2并聯(lián)諧振,通常線圈電阻 R 很小，一般諧振時(shí),2f0L R,于是簡(jiǎn)化上式，得到諧振頻率,并聯(lián)諧振具有下列特征,1) 由于,故,2) 電路對(duì)電源呈電阻性,3) 支路電流可能會(huì)大于 總電流。所以并聯(lián)諧 振又稱電流諧振,2.7功率因數(shù)的提高,功率因數(shù)低引起的問題,功率因數(shù),1電源設(shè)備的容量將不能充分利用,2增加輸電線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗,在 P、U 一定的情況下， cos 越低，I 越大，損耗越大,有功功率 P = UNIN cos 在電源設(shè)備 UN、IN 一定的情況下，cos 越低，P 越小，設(shè)備得不到充分利用,P = UI cos,電壓與電流的相位 差角(功率因數(shù)角,1,電路功率因數(shù)低的原

17、因,感性負(fù)載的存在,提高功率因數(shù)的方法,并聯(lián)電容后，電感性負(fù)載的工作狀態(tài)沒變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了電源或電網(wǎng)的功率因數(shù),已知感性負(fù)載的功率及功率因數(shù) cos 1 ，若要求把電路功率因數(shù)提高到 cos ，則所并聯(lián)的電容 C 可由相量圖求得,又因,所以,由此得,例 1有一電感性負(fù)載，P = 10 kW，功率因數(shù) cos1 = 0.6，接在電壓 U = 220 V 的電源上，電源頻率 f = 50 Hz。(1)如果將功率因數(shù)提高到 cos = 0.95 ，試求與負(fù)載并聯(lián)的電容器的電容值和電容并聯(lián)前后的線路電流。(2)如果將功率因數(shù)從 0.95 再提高到 1，試問并聯(lián)電容器

18、的電容值還需增加多少,解 (1,所需電容值為,電容并聯(lián)前線路電流為,電容并聯(lián)后線路電流為,2)若將功率因數(shù)從 0.95 再提高到 1，所需并聯(lián)電容值為,2.8 三相電路,三相電路在生產(chǎn)上應(yīng)用最為廣泛。發(fā)電和輸配電一般都采用三相制。在用電方面，最主要的負(fù)載是三相電動(dòng)機(jī),本節(jié)主要討論負(fù)載在三相電路中的連接使用問題,2.8.1三相電壓,三相電壓是由三相發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的頻率相同、幅值相等、相位互差 120 的三相對(duì)稱正弦電壓， 若以 u1 為參考正弦量則,u1 = Umsint,u2 = Umsin(t 120,u3 = Umsin(t 240) = Umsin(t + 120,也可用相量表示,u3,以

19、u1 為參考正弦量，則有,2.8.1三相電壓,對(duì)稱三相電壓的波形圖,對(duì)稱三相電壓相量圖,120,120,120,三相交流電壓出現(xiàn)正幅值(或相應(yīng)零值)的順序稱為相序。在此相序?yàn)?u1 u2 u3 分析問題時(shí)一般都采用這種相序,2.8.1三相電壓,三相電源的星形聯(lián)結(jié),N,中性點(diǎn) 或零點(diǎn),相線,中性線,兩始端間的電壓稱為線電壓。其有效值用 U12、U23、U31 表示或一般用 Ul 表示,始端與末端之間的電壓稱為相電壓；其有效值用 U1 、 U2、 U3 表示或一般用 Up 表示,線、相電壓之間的關(guān)系,u12 = u1 u2,u23 = u2 u3,u31 = u3 u1,2.8.1三相電壓,三相電

20、源的星形聯(lián)結(jié),線、相電壓之間的關(guān)系 u12 = u1 u2 u23 = u2 u3 u31 = u3 u1,線、相電壓間相量關(guān)系式,相量圖,三相 負(fù)載,對(duì)稱(三個(gè)相的復(fù)阻抗相等,不對(duì)稱(由多個(gè)單相負(fù)載組成,由三相電源供電的負(fù)載稱為三相負(fù)載,三 相 四 線 制,三角形聯(lián)結(jié),星形聯(lián)結(jié),三相負(fù)載采用何種連接方式由負(fù)載的額定電壓決定,當(dāng)負(fù)載額定電壓等于電源線電壓時(shí)采用三角形聯(lián)結(jié),當(dāng)負(fù)載額定電壓等于電源相電壓時(shí)采用星形聯(lián)結(jié),2.8.2三相電路中負(fù)載的連接方法,每相負(fù)載中的電流 Ip 稱為相電流,2.8.2三相電路中負(fù)載的連接方法,1星形聯(lián)結(jié),N,u3,N,電路及電壓和電流的參考方向如圖示,每根相線中的電

21、流 Il 稱為線電流,負(fù)載為星形聯(lián)結(jié)時(shí),負(fù)載線、相電流相等,即Ip = Il,則有,每相負(fù)載中的電流,每相負(fù)載中的電流的有效值為,各相負(fù)載的電壓與電流的相位差為,中性線中的電流為,1星形聯(lián)結(jié),圖中，負(fù)載不對(duì)稱相量圖,圖中，若負(fù)載對(duì)稱，即,或,由于電壓對(duì)稱，負(fù)載電流也對(duì)稱，即,因此，中性線電流為零，即,2.8.2三相電路中負(fù)載的連接方法,1星形聯(lián)結(jié),N,N,負(fù)載對(duì)稱時(shí)，中性線電流為零，所以可以去掉中性線，成為三相三線制電路,Z,Z,Z,對(duì)稱負(fù)載電壓電流相量圖,例 1圖中電源電壓對(duì)稱，Up = 220 V；負(fù)載為電燈組，在額定電壓下其電阻分別為 R1 = 5 ，R2 = 10 ，R3 = 20 。

22、電燈額定電壓 UN = 220 V。求負(fù)載相電壓、相電流及中性線電流,解負(fù)載不對(duì)稱有中性線時(shí)(其上電壓若忽略不計(jì))，負(fù)載的相電壓與電源的相電壓相等,例 2在上例中，(1)L1 相短路時(shí)，(2)L1 相短路而中性線又?jǐn)嚅_時(shí)，試求各相負(fù)載的電壓,解(1)此時(shí) L1 相短路電流很大將 L1 相中熔斷器熔斷 ，因有中性線 L2、L3 兩相未受影響，其上電壓仍為 220 V,2)此時(shí)負(fù)載中點(diǎn)即為 L1，因此， 負(fù)載各相電壓為,在此情況下，L2、L3 兩相都超過了負(fù)載的額定電壓 220 V，這是不允許的,例 3在例 2.8.1 中，(1) L1相斷開時(shí)，(2) L1 相斷開而中性線又?jǐn)嚅_時(shí)，試求各相負(fù)載的電壓,解(1)此時(shí) L1 相斷路，電流為 0。 因有中性線 L2、L3 兩相未受影響，其上電壓仍為 220 V,2)此時(shí)電路成為單相電路，L2、L3 兩相串聯(lián)結(jié)在 380 V 的電源上，兩相電流相等。由于 L2 相電阻為 10 ，故其上電壓約為 127 V，而 L3 相電阻為 20 ，故其上電壓將約為 253 V,在此情況下，L2、L3 兩相的電壓均與負(fù)載的額定電壓 220 V 不同，將產(chǎn)生什么后果？如何避免此類情況發(fā)生,想一想,中性線的作用是什么？在什么情況下可