用分離變量法解常微分方程

1、用分離變量法解常微分方程重慶師范大學涉外商貿(mào)學院 數(shù)學與數(shù)學應用（師范）2012級3班 鄧海飛指導教師 申治華摘 要 變量可分離的方程是常微分中一個基本的類型，分離變量法是解決微分方程的初等解法。本文研究了變量分離方程的多種類型和解法，通過適當?shù)淖兞刻鎿Q把方程化為變量分離方程，例如齊次方程、線性方程、Riccati方程。并且通過相應的例題具體演繹分離變量法解微分方程。最后本文通過實際例子給出了分離變量在求解常微分方程的具體應用，凸顯微分方程與實際問題的密切相關(guān)性。關(guān)鍵詞 變量分離；齊次方程；線性方程；常微分方程 微分方程是自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，而自變量僅有一個的微

2、分方程是常微分方程。常微分方程的實質(zhì)是解方程，即求常微分方程的解。微分方程的類型多種多樣，他們的解法也各不相同，但都是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成積分問題，其解的表達式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示。在反映客觀現(xiàn)實世界運動規(guī)律的量與量之間的關(guān)系中，很多實例存在滿足常微分方程的數(shù)學模型。而我們可以通過求解方程得出未知函數(shù)的性質(zhì)，所以求解常微分方程在生活中特別重要。本文主要研究用分離變量法解常微分方程，很多教材和期刊中都有相應的歸納和總結(jié)，本文列出幾類可化為分離變量法解常微分方程。1直接分離變量的微分方程1.1標準的分離變量方程形如 （1.1）的方程，稱為變量分離方程，這里、分別是，的連續(xù)函數(shù)。如果，我們

3、可以把（1.1）改寫成這樣，變量就“分離”開來了，兩邊同時積分，則有 （1.2）這里我們把積分常數(shù)c明確寫出來，而把，分別理解為，的原函數(shù)。常數(shù)c的取值必須保證（1.2）有意義。若時，使，則也是方程（1.1）的解。例1 求解方程解 將變量分離，可得兩邊積分，有所以整理可得通解為這里的為任意常數(shù)?；蛘呓獬?，寫出顯函數(shù)形式的解1.2變量可分離方程的微分形式形如 （1.3）的方程為變量可分離方程的微分形式。 當，時，方程（1.3）的通積分為 當，時，也是方程的解。例2求解方程解 若，則方程化為兩邊積分并整理可得通解這里的為任意常數(shù)。 若，即，也是原方程的解。2 可化為分離方程的類型通過上面的介紹，我

4、們已經(jīng)了解了什么方程是變量分離方程。下面，我們繼續(xù)介紹幾種可化為變量分離方程的類型。2.1齊次方程 形如 （2.1）的方程，稱為齊次微分方程，這里是的連續(xù)函數(shù)。 作變量變換 （2.2）得，于是 （2.3）將（2.2）、（2.3）帶入（2.1），則原方程變?yōu)檎砗罂傻?（2.4）方程（2.4）是一個變量分離方程，可按（1.1）的方法求解，然后代回原來的變量，得到（2.4）的解。例3 求解方程 （2.5）解 這是齊次微分方程，令，則代入方程（2.5）化為分離變量有兩邊積分這里的是任意常數(shù)，整理后則有 （2.6）此時的。 此外，如果（2.6）允許，則也是（2.5）的解。則方程（2.5）的通解是（2.

5、6），代回原來的變量，得到原方程的通解為或者可以寫成顯函數(shù)解 齊次方程可以通過變量代換化為變量分離方程來求解。與此同時，一些線性變量方程一樣可以通過變量代換化為變量分離方程，從而用變量分離法解方程。2.2線性方程 形如 （2.7）的方程，其中為常數(shù)。 作變量代換，則，把它們代入方程（2.7）變?yōu)?（2.8）這是一個分離可變量的方程，可用（1.1）的方法求其解。例4 求解方程解 令，則，將兩者代入原方程得到分離方程兩邊積分這里的是任意常數(shù)，整理后可得此時的，代回原變量得其通解為2.3 線性分式方程 形如 （2.9）的方程，也可經(jīng)變量代換為變量分離方程，這里的均為常數(shù)。下面分三種情況討論（1）（常

6、數(shù)）情況此時方程變?yōu)橛型ń?，其中為任意常?shù)。（2），即情況，則，于是令，有，將兩者代入上式可得是變量可分離方程，接下來根據(jù)變量分離的求法易求其通解。（3），即情況若方程（2.9）中，至少有一個不為零，方程右端分子，分母全是，的一次多項式，那么 （2.10）代表平面上兩條相交的直線，設交點為，如果令那么（2.10）化為從而（2.9）化為其次型那么，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（2.9）的通解。 若方程（2.9）中的，則方程（2.9）化為齊次型令即可求解。例5 求解方程 （2.11）解 解方程組得，令代入原方程，得到關(guān)于新變量的齊次方程再令,則，將齊次方程再化為變量可分離的方程

7、分離變量 當時，兩邊積分得整理后可得記，且代回原變量可得到 此外，容易驗證，即也是方程（2.11）的解，因此方程（2.11）的通解為其中為任意常數(shù)。 上述解題的方法和步驟同樣適用于比方程（2.12）更一般的方程類型3 其他幾類可化為變量分離的方程3.1形如 的方程作變量替換，令 ，即，則，代入原方程得是變量分離方程。3.2 形如的方程 對于這種類型的方程，引入新變量，即，則代入，則原方程化為是分離變量方程。3.3 形如（其中滿足）的方程 作變量替換，令 ，則代入原方程可得即再令，則可將上式化為分離變量方程。 除此之外，還有一些一般形式，比如（其中為的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不一樣）的方程?？赏ㄟ^適當

8、的代換化為變量可分離方程。例6 求解方程 解 令新變量，那么有，代入原方程可得分離變量兩邊積分將新變量代入上式得原方程的通解即3.4 方程形如 （3.1）的微分方程稱為方程。方程一般情況下不能用初等積分法求出其通解，但針對一些比較特殊的情況，可以求出它的通解。 （1）當、全為常數(shù)時，方程（3.1）為變量可分離的方程，可以用分離變量法求解。（2）當方程的形式為 （3.2）時，可令，將方程（3.2）化為變量分離方程定理1 設方程為 （3.3）其中、都是常數(shù)，且設，又設和，則當時，方程（3.3）可通過適當?shù)淖儞Q化為變量可分離的方程。證 不妨設a=1，因此原方程（3.3）化為 （3.4） 當時，方程（

9、3.4）是一個變量可分離的方程，即 當時，令，并代入方程（3.4）可得到分離變量方程。 當時，令，其中為新的自變量，為未知函數(shù)，那么方程（3.4）變?yōu)?（3.5）其中，再令，則方程（3.5）變?yōu)槠渲小?只要將上述變換的過程重復次，就可把方程（3.5）轉(zhuǎn)變成的情況。即可得到變量可分離方程。 當時，求解方法類似的情況。例7 求方程 （3.6）的通解。解 原方程（3.6）變形為所以，。故此方程滿足定理1的條件，則可利用變量替換化為變量可分離的方程。令，即，則有，代入（3.6）式并整理可得齊次方程 （3.7）再令，即，代入（3.7）式整理并化簡得分離變量方程兩邊積分把新變量代入上式得方程（3.6）的通解為4應用舉例例8 設有兩種化學物質(zhì)A和B，它們反應后生成另一物質(zhì)C.設反應速度與物質(zhì)A和B當時剩余量之積成正比，而且在反應過程中，每克的物質(zhì)B需要2g的物質(zhì)A與之反應而生成3g的物質(zhì)C。已知原有的A、B物質(zhì)分別是10g和20g，而且在20分鐘內(nèi)反應生成的物質(zhì)C為6g，求在任意時刻物質(zhì)C的質(zhì)量。 解 設表示時刻所生成物質(zhì)C的總量，則為反應速度。根據(jù)題意