第六章+樣本及抽樣分布ppt課件

1、第六章 樣本及抽樣分布,第一節(jié) 引言,在概率論中，概率分布通常被假定為已知的，而一切問題的解決均基于已知的分布進(jìn)行的。 但在實(shí)際問題中，情況往往并非如此。 例 6-1,第二節(jié) 總體與樣本,一、總體與個(gè)體,二、樣本,三、小結(jié),一、總體與個(gè)體,1. 總體,研究對(duì)象的全體稱為總體,在研究2000名學(xué)生的年齡時(shí), 這些學(xué)生的年齡的全體就構(gòu)成一個(gè)總體, 每個(gè)學(xué)生的年齡就是個(gè)體,2. 個(gè)體,構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體,實(shí)例1,某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中, 個(gè)體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù), 這是一個(gè)有限總體; 而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體是一個(gè)無限總體, 它包括以往生產(chǎn)和今后生

2、產(chǎn)的燈泡壽命,3. 有限總體和無限總體,實(shí)例2,當(dāng)有限總體包含的個(gè)體的總數(shù)很大時(shí), 可近似地將它看成是無限總體,4. 總體分布,在2000名大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的年齡中, 年齡指標(biāo)值為“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20” 的依次有9，21，132，1207，588，43 名, 它們在總體中所占比率依次為,實(shí)例3,即學(xué)生年齡的取值有一定的分布,一般地, 我們所研究的總體, 即研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo) X , 其取值在客觀上有一定的分布, 是一個(gè)隨機(jī)變量,總體分布的定義,我們把數(shù)量指標(biāo)取不同數(shù)值的比率叫做總體分布,如實(shí)例3中, 總體就是數(shù)集 15, 16, 17, 18, 19, 2

3、0,總體分布為,二、樣本,1. 樣本的定義,2. 簡單隨機(jī)抽樣的定義,最常用的“簡單隨機(jī)抽樣”有如下兩個(gè)要求,1）樣本具有隨機(jī)性,2）樣本要有獨(dú)立性,即要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本，這便意味著每一個(gè)樣品 與總體 有相同的分布,即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣品的取值，這意味著 相互獨(dú)立,用簡單隨機(jī)抽樣方法得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本,根據(jù)簡單隨機(jī)樣本定義得,又若X為離散型隨機(jī)變量,樣本分布是指 樣本的聯(lián)合分布,解,例6-6,解,例6-7 考慮電話交換臺(tái)1小時(shí)內(nèi)的呼喚次數(shù)X，求來自這一總體的簡單隨機(jī)樣本x1, x2,xn的樣本分布,由概率論知識(shí)，X服從泊松分布P()，

4、其概率函數(shù)為,因此簡單隨機(jī)樣本x1, x2,xn的樣本分布為,解,練習(xí),三、小結(jié),個(gè)體 總體,有限總體,無限總體,基本概念,說明1一個(gè)總體對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X, 我們將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量, 統(tǒng)稱為總體X,說明2在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體, 它對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量; 當(dāng)總體中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)很大時(shí), 在理論上可認(rèn)為它是一個(gè)無限總體,樣本,第三節(jié) 統(tǒng)計(jì)量及其分布,一、基本概念,二、常見分布,三、小結(jié),一、基本概念,1. 統(tǒng)計(jì)量的定義,是,不是,實(shí)例1,2. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的做法如下,與總體分布函數(shù)F(x)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),實(shí)例2,則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為,實(shí)例3,則經(jīng)

5、驗(yàn)分布函數(shù)為,例6-9,則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為,樣本為344 347 351 351 355,說明： 對(duì)每一固定的x, 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)是樣本中事件xix發(fā)生的頻率。 當(dāng)n固定時(shí)，F(xiàn)n(x)是樣本的函數(shù)。由伯努利大數(shù)定律知，只要n充分大，則Fn(x)依概率收斂于總體分布函數(shù)F(x)。 當(dāng)n充分大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)是總體分布函數(shù)F(x)的一個(gè)良好的近似,3. 幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量,1)樣本均值（定義6-2,在分組樣本場合，樣本均值的近似公式為,其中k為組數(shù)，xi為第i組的組中值， fi為第i組的頻數(shù),例6-10,樣本均值的性質(zhì),1）若稱樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值的差為偏差，則樣本所有偏差之和為0，

6、即,證明,樣本均值的性質(zhì),2）數(shù)據(jù)觀察值與均值的偏差平方和最小，即在形如 的函數(shù)中， 最小，其中c為任意給定的常數(shù),證明,對(duì)于樣本均值的抽樣分布，滿足如下定理,定理6-1,2)樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差（定義6-3,樣本方差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,稱為偏差平方和,例6-11,對(duì)于樣本均值的抽樣分布，滿足如下定理,定理6-2,由定理6-1, 顯然有,下面證,證明,由于,又,因此,例1,解,由契比雪夫不等式,例2,解,P,2,且相互獨(dú)立,由定理6-2,樣本 k 階原點(diǎn)矩,樣本 k 階中心矩,3)樣本矩（定義6-4,注意：樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值,注意：k=2時(shí)，稱為二階樣本中心矩，記為sn2,4) 極大順序統(tǒng)計(jì)

7、量和極小順序統(tǒng)計(jì)量,定義6-5,定理6-3,證明,記x(1)和x(n)的分布函數(shù)分別為F1(x)和Fn(x,定理6-3,證明,例,解,二、常見分布（正態(tài)總體的抽樣分布,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.（三大抽樣分布,1,性質(zhì)1,此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.,性質(zhì)2,數(shù),附表4只詳列到 n=45 為止,例,解,例,解,且它們相互獨(dú)立,根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理5-4,2,根據(jù)F分布的定義可知,例4,證明,t 分布又稱學(xué)生氏(Student)分布,3,當(dāng) n 充分大時(shí), 其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形,因?yàn)?t分布的一些重要事實(shí): (1) 自由度為1的t分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布,其均值不存在; (2) n1時(shí), t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0; (3) n2時(shí), t分布的方差存在且為n/(n-2) (4) 當(dāng)自由度較大(如n30)時(shí), t分布可以用N(0,1)分布近似,由分布的對(duì)稱性知,例3,4. 正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的抽樣分布,定理6