考點(diǎn)25 圓錐曲線的綜合問(wèn)題

1、 考點(diǎn)25 圓錐曲線的綜合問(wèn)題一、填空題1.（2012重慶高考理科14）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若,則 【解題指南】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行求解.【解析】由題意可設(shè)直線的方程為聯(lián)立,消去整理得所以,又有焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知聯(lián)立解得,所以.【答案】.2.（2012重慶高考文科14）設(shè)為直線與雙曲線左支的交點(diǎn),是左焦點(diǎn),垂直于軸,則雙曲線的離心率 【解題指南】根據(jù)題意可求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后再根據(jù)點(diǎn)在直線上可求出離心率的值.【解析】由題意可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入雙曲線的方程可得解得,又條件可知,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上所以,解得,所以,【答案】.二、解答題3.（2012大綱版全國(guó)卷高考文科22

2、）與（2012大綱版全國(guó)卷高考理科21）相同已知拋物線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，且在處兩曲線的切線為同一直線.（）求；（）設(shè)、是異于且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點(diǎn)為D，求D到的距離.【解題指南】解決本題要抓住公共點(diǎn)這個(gè)關(guān)鍵，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，寫出切線方程，利用圓的切線垂直經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑這一性質(zhì)列出等量關(guān)系.【解析】（）設(shè)， ，則，又，則,，即，整理得，解得或而方程無(wú)解，即切點(diǎn).（）設(shè)為上一點(diǎn)，則在改點(diǎn)處的切線方程為：，整理得.若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡(jiǎn)得，. 解得，.拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，其方程分別為 -得.將代入得，故,所以D到的距離為.4.（2012重

3、慶高考理科20）如圖所示，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,上頂點(diǎn)為,左右焦點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)分別為,且是面積為的直角三角形.(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn),使,求直線的方程.【解題指南】利用橢圓的定義和性質(zhì),可根據(jù)已知條件求出橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程.根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系可求解直線的方程.【解析】(1)如圖,設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，右焦點(diǎn).因?yàn)槭侵苯侨切?且，為直角，從而，即，結(jié)合得，故，所以離心率.在中,故由題設(shè)條件,得,從而因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)知.由題意,直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為:代入橢圓的方程得.設(shè),則是上面方程的兩

4、根,因此,又,所以,由,知,即,解得.所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為和.5.（2012重慶高考文科21）如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,上頂點(diǎn)為,左右焦點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)分別為,且是面積為的直角三角形.(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn),使,求的面積.【解題指南】利用橢圓的定義和性質(zhì),可根據(jù)已知條件求出橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程.根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系可求解的面積.【解析】(1)如圖,設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn).因?yàn)槭侵苯侨切?且，為直角，從而，即，結(jié)合得，故，所以離心率.在中,故由題設(shè)條件,得,從而因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)知.

5、由題意,直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為:代入橢圓的方程得設(shè),則是上面方程的兩根,因此,又,所以,由,知,即,解得.當(dāng)時(shí),方程(*)化為,故,的面積.當(dāng)時(shí),同理可得(或由對(duì)稱性可得) 的面積綜上所述, 的面積為.6.（2012四川高考文科21）如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍.【解題指南】（）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由，知，用去表示，即可求的軌跡的方程，注意不存在的情況；（）由（）軌跡為雙曲線的右支，聯(lián)立直線方程，曲線方程消去，由題意知，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)大于1不同的正實(shí)根，由一元二次方程根的分布知識(shí)可求出

6、的取值范圍，再用去表示，轉(zhuǎn)化為以為函數(shù)值，以為自變量的函數(shù)求最值問(wèn)題求解.【解析】（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），當(dāng)x=-1時(shí)，直線MA的斜率不存在；當(dāng)x=1時(shí)，直線MB的斜率不存在。于是x1且x-1.此時(shí)，MA的斜率為，MB的斜率為.由題意，有=4化簡(jiǎn)可得，4x2-y2-4=0故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0（x1且x-1）（2） 由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. ()對(duì)于方程()，其判別式=（-2m)243（-m2-4）=16m2+480而當(dāng)1或-1為方程（*）的根時(shí)，m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)（m0）可知，m0，且m1設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為（XQ,YQ）,(XR,YR

7、),則為方程（*）的兩根.因?yàn)?所以，所以。此時(shí)所以所以綜上所述，.7.（2012四川高考理科21）如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍.【解題指南】（）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由， 知，用去表示，即可求的軌跡的方程，注意不存在的情況；（）由（）軌跡為雙曲線的右支，聯(lián)立直線方程，曲線方程消去，由題意知，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)大于1不同的正實(shí)根，由一元二次方程根的分布知識(shí)可求出的取值范圍，再用去表示，轉(zhuǎn)化為以為函數(shù)值，以為自變量的函數(shù)求最值問(wèn)題求解.【解析】（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），顯然有x0,.當(dāng)MBA=90時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，, 3）當(dāng)MBA90時(shí)；x2.由MBA=2MAB,有tanMBA=,即化簡(jiǎn)得：3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過(guò)（2，,