高中數(shù)學(xué)講義微專(zhuān)題95統(tǒng)計(jì)初步

1、- 1 - 微專(zhuān)題 95 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí) 一、基礎(chǔ)知識(shí)： （一）隨機(jī)抽樣： 1、抽簽法：把總體中的個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中攪拌均N 勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次，就得到容量為的樣本nn 2、系統(tǒng)抽樣：也稱(chēng)為等間隔抽樣，大致分為以下幾個(gè)步驟： （1）先將總體的個(gè)個(gè)體編號(hào)N （2）確定分段間隔，設(shè)樣本容量為，若為整數(shù)，則kn N n N k n （3）在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào) ，則后面每段所確定的個(gè)體編號(hào)與前l(fā) 一段確定的個(gè)體編號(hào)差距為，例如：第 2 段所確定的個(gè)體編號(hào)為，第段所確定的klkm 個(gè)體編號(hào)為，直至完成樣本1lmk 注：（1）

2、若不是整數(shù)，則先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除若干個(gè)個(gè)體，使得剩下的個(gè)體數(shù)能被 N n 整除，再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如 501 名學(xué)生所抽取的樣本容量為 10，則先隨機(jī)抽去 1 個(gè)，剩n 下的個(gè)個(gè)體參加系統(tǒng)抽樣500 （2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個(gè)體編號(hào)排成等差數(shù)列，其公差為k 3、分層抽樣：也稱(chēng)為按比例抽樣，是指在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一 定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本。 分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個(gè)層次的比例相等，這條結(jié)論會(huì)經(jīng)常用到 （二）頻率分布直方圖： 1、頻數(shù)與頻率 （1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個(gè)確

3、定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的 數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù). （2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù) （3）各試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和等于 1 2、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計(jì)每個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過(guò)頻率分布 表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出 （1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差 （2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常 5-12 組） ，則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱(chēng)為組距，所 - 2 - 以有組距=極差/組數(shù) （3）統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，計(jì)算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖 （4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距” （5）頻率分布直方圖的特

4、點(diǎn)： 頻率=，即分布圖中每個(gè)小矩形的面積 頻率 組距 組距 因?yàn)楦髟囼?yàn)結(jié)果的頻率之和等于 1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個(gè)矩形的面積和為 1 （三）莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計(jì)和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù) 中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個(gè)數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進(jìn)行 分類(lèi)排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次 （四）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征： 1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù) 2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱(chēng)為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù) 為奇數(shù)個(gè)，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個(gè)，則為中間兩個(gè)數(shù)的平均值。 3、平均數(shù)：代

5、表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，則有：x 12 , n x xx 12n xxx x n 4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，其平均數(shù)為， 2 s 12 , n x xxx 則有：，其中越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中 222 2 12 1 n sxxxxxx n 2 s 5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根 二、典型例題 例 1：某校高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高三有學(xué)生人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為1000 的樣本，已知在高一年級(jí)抽取了人，高二年級(jí)抽取了人，則高中部共有學(xué)生1857560 _人 思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級(jí)和高二年級(jí)的人數(shù)可得

6、高三人數(shù)為 人，所以抽樣比為，從而總?cè)藬?shù)為人185756050 501 = 100020 1 1853700 20 答案：3700 例 2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，ABC 三種產(chǎn)品共 3000 件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計(jì) - 3 - 員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格： 產(chǎn)品類(lèi)別 ABC 產(chǎn)品數(shù)量（件） 1300 樣本容量（件） 130 由于不小心，表格中 AC 產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得 A 產(chǎn)品的樣本容 量比 C 產(chǎn)品的樣本容量多 10，根據(jù)以上信息，可得 C 的產(chǎn)品數(shù)量是 件 思路：由產(chǎn)品可得抽樣比為，所以若 A 產(chǎn)品的樣本容量比 C 產(chǎn)品的樣本容量多B 1301 130010 1

7、0，則 A 產(chǎn)品的數(shù)量比 C 產(chǎn)品的數(shù)量多，且產(chǎn)品數(shù)量和為 1 10100 10 ,A C ，從而可解得產(chǎn)品的數(shù)量為 300013001700C800 答案：800 例 3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測(cè)了 100 根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖 維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的 100 根中5,40 _根棉花纖維的長(zhǎng)度小于 15mm 思路：由頻率直方圖的橫縱軸可得：組距為 5mm，所以小于 15mm 的頻率為 ，所以小于 15mm 共有根 0.010.0150.11000.1=10 答案：10 例 4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來(lái)的 5 次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖

8、葉圖如圖，則乙同學(xué)這 5 次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是 ；已知兩位同學(xué)這 5 次成績(jī)的平均數(shù)都是 84，成績(jī)比較穩(wěn) 定的是 （第二個(gè)空填“甲”或“乙” ） - 4 - 思路：由莖葉圖可讀出，乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?，甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)椋?9,80,82,88,9181,82,83,84,91 所以乙同學(xué)的成績(jī)的中位數(shù)為，相比較而言，甲同學(xué)的成績(jī)比較集中，所以比較穩(wěn)定的是82 甲 答案：，甲82 小煉有話說(shuō)：在求中位數(shù)時(shí)要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績(jī)穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定 性的判斷定量上要依靠方差，但因?yàn)楸绢}從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，所以 定性的判斷。 例 6：某校從參加高三年級(jí)期末考試的學(xué)生中隨機(jī)

9、抽取 100 名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)分成五段： ，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學(xué)50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130130,150 生中成績(jī)不低于 90 分的人數(shù)是_ 思路：的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為90,100 1，可以考慮間接法。從圖中可觀察到的頻率為，所50,900.00250.0150200.35 以不低于 90 分的頻率為，故人數(shù)為（人）10.350.651000.6565 答案： 65 - 5 - 例 7：從某小區(qū)抽取 100 戶(hù)居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在 50 到 350 度之間,頻率 分布直方圖

10、所示 （1）直方圖中的值為_(kāi)；x （2）在這些用戶(hù)中,用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶(hù)數(shù)為_(kāi)100,250 思路：（1）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于 1，由圖可得組距為，所以有50 ，解得0.00240.00360.00600.00240.0012501x0.0044x （2）圖中的頻率為，所以用戶(hù)數(shù)為100,2500.00360.0060.0044500.7 （戶(hù)）1000.770 答案：（1） （2）戶(hù)0.0044x 70 例 7：某校 1000 名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于即為優(yōu)秀，如果a 優(yōu)秀的人數(shù)為 175 人，則的估計(jì)值是_a 思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低

11、統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為，從而可得：10 的人數(shù)為，同理可得的人數(shù)為人，而優(yōu)140,15010000.01 10100130,140150 秀的人數(shù)為人，所以應(yīng)包含的全體，以及中的一半人數(shù)，所以估計(jì)175140,150130,140 值為到的中間值，即130140135 - 6 - 答案： 135a 例 8：某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間（單位：）,隨機(jī)選擇了位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,hn 根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第 1 個(gè)、第 4 個(gè)、第 2 個(gè)、 第 3 個(gè)小長(zhǎng)方形的面積依次構(gòu)成公差為 0.1 的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是 10，則 n _. 思路：設(shè)第一

12、個(gè)的面積為，則第 4 個(gè)為，第 2 個(gè)為，第 3 個(gè) 1 Sa 4 0.1Sa 2 0.2Sa 為，依題意可得四部分的頻率和為 ，從而可解得， 3 0.3Sa1 1234 1SSSS0.1a 所以，從而 1 0.1S 10 100 0.1 n 答案： 100 例 9：某單位有職工 200 名，現(xiàn)要從中抽取 40 名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨 機(jī)按 1200 編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為 40 組（15 號(hào)，610 號(hào)，196200 號(hào)）. 若第 5 組抽出的號(hào)碼為 22，則第 10 組抽出的號(hào)碼應(yīng)是_ 思路：由系統(tǒng)抽樣可知，每組抽出的號(hào)碼依次成等差數(shù)列，且公差為組距，所以5d ，則 5 22a 105 5222547aad 答案：47