廣東省廣州市天河區(qū)2021屆高三數(shù)學(xué)10月一?？荚囋囶} 理（含解析）

1、廣東省廣州市天河區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)10月一?？荚囋囶} 理（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，集合，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A,再求和.【詳解】由題得A=x|-2x0,，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】已知,=,0, 進(jìn)而得到.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)函數(shù)的運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小常用的方法有：兩式做差和0比較，分式注意同分，進(jìn)行因式分解為兩式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判斷最值和0的關(guān)系.7.中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)

2、造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍如圖，是利用算籌表示數(shù)的一種方法例如：3可表示為“”，26可表示為“”現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用這9數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】6根算籌可分為1、5,2、4，3、3，再根據(jù)圖示寫出可能的組合，即可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；數(shù)字組合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每組可以表示2個(gè)兩位數(shù)，則可以表示個(gè)兩位數(shù)；數(shù)字組合3、3，7、7，每組可以表示1

3、個(gè)兩位數(shù)，則可以表示個(gè)兩位數(shù)；則一共可以表示個(gè)兩位數(shù)；故選：【點(diǎn)睛】本題結(jié)合算籌計(jì)數(shù)法，考查排列與組合，屬于基礎(chǔ)題，本題的關(guān)鍵在于讀懂題意。8.在矩形中，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通過線性運(yùn)算將變?yōu)?，由垂直關(guān)系可知；由數(shù)量積定義可求得，代入得到結(jié)果.【詳解】如圖：由，得：，又 又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過線性運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角已知的向量之間的數(shù)量積問題.9.函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)條件先判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用的值的符號(hào)進(jìn)行排除即

4、可【詳解】則則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除當(dāng)時(shí)，排除本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)以及函數(shù)值的對(duì)應(yīng)性利用排除法是解決本題的關(guān)鍵10.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A. 36B. 24C. 72D. 144【答案】C【解析】【分析】?jī)晌慌噜?，將其捆綁在一起，和另一位女生不相鄰，采用插空法?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個(gè)空中的2個(gè)空中，故有種，故選：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，需熟練掌握捆綁、插空法，

5、屬于基礎(chǔ)題11.已知函數(shù)，若方程的解為， （），則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的對(duì)稱軸，然后結(jié)合題意和三角函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式即可確定的值.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸滿足：，即，令可得函數(shù)在區(qū)間上一條對(duì)稱軸為，結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性可知，則：，由題意：，且，故，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可知：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12.已知函數(shù)f（x）（k）lnx，k4，），曲線yf（x）上總存在兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線yf（x）在M，N兩點(diǎn)處的

6、切線互相平行，則x1x2的取值范圍為A. （，）B. （，）C. ，）D. ，）【答案】B【解析】【分析】利用過M、N點(diǎn)處的切線互相平行，建立方程，結(jié)合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范圍【詳解】由題得f（x）=1=，（x0，k0）由題意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2），即1=1，化簡(jiǎn)得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2，4（x1+x2）（k+），即x1+x2對(duì)k4，+）恒成立，令g（k）=k+，則g（k）=1=0對(duì)k4，+）恒成立，g（k）g（4）=5，x1+x2，故x1+x2的取值范圍為（，+）.故答案為：B【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以解決曲線的

7、切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導(dǎo)是我們解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分13.已知數(shù)列滿足，則當(dāng)時(shí)，_【答案】【解析】【分析】用去換中的 得到，再做差即可得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出答案。【詳解】數(shù)列滿足，用去換得到，-得到又，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題。14.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則_【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，求出的值代入即可得到答案?！驹斀狻?；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；，；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值，兩角和的正切值，屬于基礎(chǔ)題。15.已知

8、在處有極小值為, 求 _.【答案】15【解析】函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2f（x）=3x2+2ax+b，又函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10， 當(dāng)a=4，b=11時(shí)， ，f（x）在 在（1，+）f（x）在x=1處取得極小值f（1）=10；當(dāng)a=3，b=3時(shí)，f（x）=3（x1）20，f（x）在R上單增，無極值a=4，b=11；且f（1）=10是極小值此時(shí)故答案為：15.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，是解答本題的關(guān)鍵，在解答過程中，通過解方程組，可以求出兩組滿足條件的a，b的值，

9、其中一組可導(dǎo)致f（x）在R上單增，不滿足題目要求，要舍去，這是函數(shù)的極值問題解答中的一個(gè)易忽略點(diǎn)16.在三棱錐中，側(cè)面與底面垂直，則三棱錐外接球的表面積是_【答案】【解析】【分析】由于與都為正三角形，故過與的中心做兩個(gè)面的垂線的交點(diǎn)即為三棱錐的外接球球心?！驹斀狻咳鐖D所示，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中心，為的中心,為三棱錐外接球的球心連接， 則為棱錐外接球的半徑為矩形三棱錐外接球的表面積故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球表面積，屬于中檔題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題學(xué)生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一

10、）必考題：共60分。17.在銳角中，角所對(duì)的邊分別是，且(1)求角的大??；(2)若的面積，,求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)利用倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)題設(shè)中的三角函數(shù)式，從而可得的值.(2)先求，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出.【詳解】(1),，可得， 解得，或.為銳角三角形，(2)，可得. 又,可得. 在中，由余弦定理可知，.在中，由正弦定理可知,.【點(diǎn)睛】三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個(gè)量（除三個(gè)角外），可以求得其余的四個(gè)量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理（也

11、可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.18.在等比數(shù)列中，公比，且滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值【答案】（1）（2）的值為8或9【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)，聯(lián)立即可解出答案（2）根據(jù)寫出，求出，寫出，再求出其前n項(xiàng)的和，判斷即可?！驹斀狻浚?），可得，由，即，由，可得，可得，即，由解得舍去），則；（2），可得，則，可得或9時(shí)，取最大值18則的值為8或9【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列，等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，屬于基礎(chǔ)題。19.如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為菱形，與交于點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2

12、）若為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）可證，再利用平面平面證得平面，通過證明，可得要求證的線面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以且.又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）解：因?yàn)榱庑?，所?所以，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，由得，取，可得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?/p>

13、銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.20.某種規(guī)格的矩形瓷磚根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，各廠生產(chǎn)的每片瓷磚質(zhì)量都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量在之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品（）從甲陶瓷廠生產(chǎn)的該規(guī)格瓷磚中抽取10片進(jìn)行檢查，求至少有1片是廢品的概率；（）若規(guī)定該規(guī)格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計(jì)算方式為：設(shè)矩形瓷磚的長(zhǎng)與寬分別為、，則“尺寸誤差

14、”為，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是，、，、，（正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于的瓷磚），每片價(jià)格分別為7.5元、6.5元、5.0元現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚中隨機(jī)抽取100片瓷磚，相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下：尺寸誤差00.10.20.30.40.50.6頻數(shù)103030510510（甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數(shù)表）用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率（）記甲廠該種規(guī)格的2片正品瓷磚賣出的錢數(shù)為（元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（）由如圖可知，乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚只有“優(yōu)等”、“一級(jí)”兩種，求5片該規(guī)格的正品瓷磚賣出的

15、錢數(shù)不少于36元的概率附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則；，【答案】（）（）（）詳見解析（）【解析】【分析】（）先計(jì)算出這10片質(zhì)量全都在之內(nèi)（即沒有廢品）的概率，再用1減之。（）（）用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，由圖得到得該廠生產(chǎn)的一片正品瓷磚為“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”的概率分別為0.7、0.2、0.1；再計(jì)算出其分布列與期望即可。（）若5片中有片“優(yōu)等”品，則，得到，則取4或5；再計(jì)算即可得出答案。【詳解】（）由正態(tài)分布可知，抽取的一片瓷磚的質(zhì)量在之內(nèi)的概率為0.9974，則這10片質(zhì)量全都在之內(nèi)（即沒有廢品）的概率為；則這10片中至少有1片是廢品的概率為；（）（）由已

16、知數(shù)據(jù)，用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，得該廠生產(chǎn)的一片正品瓷磚為“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”的概率分別為0.7、0.2、0.1；則的可能取值為15，14，12.5，13，11.5，10元；計(jì)算，得到的分布列如下：15141312.511.5100.490280.040.140.040.01數(shù)學(xué)期望為（元；（）設(shè)乙陶瓷廠5片該規(guī)格的正品瓷磚中有片“優(yōu)等”品，則有片“一級(jí)”品，由已知，解得，則取4或5；故所求的概率為【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布，分布列，數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題。21.已知函數(shù) . （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）見解析（2）

17、5.【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，分類討論時(shí)三種情況的單調(diào)性(2)分離含參量，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)算出零點(diǎn)的范圍，從而求出結(jié)果解析：（1）由題意可知，方程對(duì)應(yīng)的，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，且 ， 此時(shí)，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 此時(shí)當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； （2）原式等價(jià)于，即存在，使成立設(shè)，則， 設(shè)，則，在上單調(diào)遞增又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為， 則，且，即， 由題意可知，又，的最小值為.點(diǎn)睛：本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單

18、調(diào)性，在求解過程中結(jié)合判別式和定義域需要進(jìn)行分類討論，在求解含有參量的恒成立問題時(shí)，可以采用分離參量的方法，不過需要注意用零點(diǎn)的存在定理進(jìn)行判斷零點(diǎn)范圍，然后得出結(jié)果。（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（）直線與軸交點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，證明：為定值.【答案】（）曲線：.的直角坐標(biāo)方程為.（）見證明【解析】【分析】（）根據(jù)曲線的參數(shù)方程，平方相加，即可求得曲線普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式，即可得到直線的直角坐標(biāo)方程（）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，即可求解【詳解】（）由題意，可得，化簡(jiǎn)得曲線：.直線的極坐標(biāo)方程展開為，故的直角坐標(biāo)方程為.（）顯然的坐標(biāo)為，不妨設(shè)過點(diǎn)的直線方程為（為參數(shù)），代入：得，所以為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，