平方根與立方根典型題

1、平方根 算術(shù)平方根 立方根三說(shuō)一、平方根、算術(shù)平方根、立方根知識(shí)點(diǎn)概要1. 平方根、算術(shù)平方根的概念與性質(zhì)如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a（即），那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根），記作：，這里a是x的平方數(shù)，故a必是一個(gè)非負(fù)數(shù)即；例如16的平方根是4，從定義還可得出：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；0的平方根只有一個(gè)0，即為它本身。正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，表示為，例如16的算術(shù)平方根是，從定義中容易發(fā)現(xiàn)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：；。2. 平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：定義不同；個(gè)數(shù)不同；表示方法不同；取值范圍不同：平方根可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，而算術(shù)

2、平方根只能取零及正數(shù)，即非負(fù)數(shù)。聯(lián)系：它們之間具有包含關(guān)系；它們賴(lài)以生存的條件相同，即均為非負(fù)數(shù)；0的平方根以及算術(shù)平方根均為0。3. 立方根的定義與性質(zhì)如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a（即），那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根），記作：。立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。二、解題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤剖析例1. 求的平方根。錯(cuò)解：的平方根是剖析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，而是一個(gè)正數(shù)，故它的平方根應(yīng)有兩個(gè)即3。例2. 求的算術(shù)平方根。錯(cuò)解：的算術(shù)平方根是3剖析：本題是沒(méi)有搞清題目表達(dá)的意義，錯(cuò)誤的認(rèn)為是求9的算術(shù)平方根，因而導(dǎo)致誤解，事實(shí)上本題就是表示的9

3、的算術(shù)平方根，而整個(gè)題目的意義是讓求9的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根。，而3的算術(shù)平方根為，故的算術(shù)平方根應(yīng)為。仿此你能給出的平方根的結(jié)果嗎？三、典型例題的探索與解析例3. 已知：是算數(shù)平方根，是立方根，求的平方根。分析：由算術(shù)平方根及立方根的意義可知聯(lián)立解方程組，得：代入已知條件得：所以故MN的平方根是。例4. 已知，求的算術(shù)平方根與立方根。分析：由已知得聯(lián)立解方程組，得：所以因而的算術(shù)平方根與立方根分別為。例5. 若一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為和，求的值。分析：由平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，因而可構(gòu)造方程，解得從而評(píng)注：本題利用平方根的性質(zhì)，構(gòu)造一元一次方程，先求出其平方

4、根，再進(jìn)一步求出a，解法可謂簡(jiǎn)捷明了，令人耳目一新。事實(shí)上方程思想是初中階段一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)引起同學(xué)們高度重視。例6. 比較的大小。分析：要比較的大小，必須搞清a的取值范圍，由知，由知，綜合得，此時(shí)仍無(wú)法比較，為此可將a的取值分別為；三種情況進(jìn)行討論，各個(gè)擊破。當(dāng)時(shí)，取則，顯然有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，仿取特殊值可得評(píng)注：本題的解答用到了分類(lèi)討論的思想，所謂分類(lèi)思想就是根據(jù)問(wèn)題的需要將涉及的對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類(lèi)，然后再逐類(lèi)討論求解的思維方法。分類(lèi)要遵循三條原則：標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；任何兩種情況不重復(fù)；每一種情況都不能遺漏。例7. 已知有理數(shù)a滿(mǎn)足，求的值。分析：觀察表達(dá)式中的隱含條件，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非

5、負(fù)數(shù)即，亦即，故原已知式可化為：例8. 若x、y、m適合關(guān)系式，試求m的值。分析：觀察等式的右邊的兩個(gè)表達(dá)式的被開(kāi)方數(shù)互為相反數(shù)，再結(jié)合只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，因而必有所以。原已知式可化為：再變形得：將代入（*）得：由算術(shù)平方根的非負(fù)性，再根據(jù)“若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則其中每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為零”，可得解這個(gè)方程組得：評(píng)注：抓住題目中隱含的算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：；是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。例9. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸對(duì)應(yīng)點(diǎn)如下圖所示，化簡(jiǎn)。分析：根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大可知：再結(jié)合算術(shù)平方根應(yīng)為非負(fù)數(shù)，因而原式評(píng)注：本例借助以形（數(shù)軸）輔數(shù)（確定的符號(hào)）的方法解題的，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在已知條件下建立數(shù)和形之間的關(guān)系，以形輔數(shù)，以數(shù)定形，利用數(shù)、形的相互關(guān)系來(lái)解題的思維方法。例10. 借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：（1）（2）（3）（4）仔細(xì)觀察上面幾道題及其計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一