上海：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)敬業(yè)中學(xué)張麗霞

課題：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教材：上海教育出版社高中一年級第二學(xué)期（試用本）第六章第二節(jié)授課教師：上海市敬業(yè)中學(xué) 張麗霞 教學(xué)目標(biāo)（1）理解正切函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖像特征，研究并掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)（2）在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣（3）在解決問題的過程中，體驗(yàn)克服困難取得成功的喜悅教學(xué)重點(diǎn)掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)正切函數(shù)的單調(diào)性及證明教學(xué)方法 教師啟發(fā)講授，學(xué)生積極探究教學(xué)手段計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)過程一、 設(shè)置疑問，引入新課1、正切函數(shù)的定義有同學(xué)，類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，定義了一個(gè)正切函數(shù)：對于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，都有唯一確定的值與它對應(yīng)，按照這個(gè)對應(yīng)法則所建立的函數(shù)，表示為，叫做正切函數(shù) 大家認(rèn)為這個(gè)定義是否完善？強(qiáng)調(diào)： (設(shè)計(jì)意圖：，是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，通過學(xué)生之間的自我糾錯(cuò)，理解不能取的理由)今天我們就要研究正切函數(shù)（）的圖像與性質(zhì)2、作函數(shù)圖像的常用的方法是什么？（1）描點(diǎn)法是作函數(shù)圖像最基本的方法；（2）利用基本初等函數(shù)圖像的變換作圖大家認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方法呢？學(xué)生的回答會選擇（1）教師引導(dǎo)：描點(diǎn)應(yīng)該結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，描關(guān)鍵點(diǎn)、特殊點(diǎn)所以，首先研究函數(shù)的基本性質(zhì)二、 主動探究，解決問題（一）利用定義，研究函數(shù)的性質(zhì)學(xué)生自主研究探索正切函數(shù)的性質(zhì)1、 定義域：學(xué)生可以迅速解決2、 值域：R請學(xué)生回答，并講清楚理由，從而引出對正切線的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)正切線：正切線是角x與tanx關(guān)系的直觀體現(xiàn)，正切函數(shù)的性質(zhì)融于其中3、 奇偶性：奇函數(shù)學(xué)生會利用迅速做出判斷問：該函數(shù)是偶函數(shù)嗎？（可舉反例說明不是偶函數(shù)）4、 周期性：是最小正周期學(xué)生會利用，得到是函數(shù)的周期教師提問：能否說明是最小正周期？ 引導(dǎo)學(xué)生思考能否利用周期函數(shù)的定義證明呢？反證法：假設(shè)存在是的周期，則都有取，則，這與矛盾從而，是正切函數(shù)的最小正周期5、 單調(diào)性：函數(shù)在整個(gè)定義域上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)有學(xué)生可能會在正切線的復(fù)習(xí)中，認(rèn)為是個(gè)增函數(shù)若學(xué)生這樣回答，則可以請同學(xué)思考，是否正確？如何說明？有學(xué)生可能說因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，所以不是單調(diào)函數(shù)，就請同學(xué)繼續(xù)思考，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)的原因（舉反例：這與單調(diào)性的定義矛盾）對每一個(gè)，在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增（可以先作圖，通過圖觀察得到結(jié)論，然后證明）（二）結(jié)合性質(zhì)，作出函數(shù)的圖像（1）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以先畫出一個(gè)合適的、長度為的區(qū)間上的圖像，選擇哪一個(gè)呢？ 選擇區(qū)間；簡單說明選擇的理由（2）借助于正切線，描點(diǎn)，然后用光滑的曲線順次連接，得到函數(shù)在上的圖像（3）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)的圖像 （三）觀察圖像，進(jìn)一步研究性質(zhì)請同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)有何特征？（正切函數(shù)的圖像是它的性質(zhì)的直觀表現(xiàn)）1、正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線x=kp+,kZ所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的2、對每一個(gè)，在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增（同學(xué)思考，完成證明）3、正切函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；（問：還有其他的對稱中心嗎？）三、 通過練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)例1已知函數(shù)y=tanx，（1）若,求y的取值范圍；（2）若,求y的取值范圍說明：（1） 利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增得到答案（2） 把y=tanx在區(qū)間上的圖像不斷向左、右擴(kuò)展，也可得到正切函數(shù)的圖像因此， 有同學(xué)說正切函數(shù)在一個(gè)周期上遞增是錯(cuò)誤的也可以對照說明，作正切函數(shù)圖時(shí)選擇的合理性例2寫出使不等式成立的x的集合說明：先求在上滿足條件的，然后擴(kuò)展到整個(gè)定義域函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達(dá)形式，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，通過例題提醒學(xué)生重視數(shù)形結(jié)合的思想方法例3、研究函數(shù)的基本性質(zhì)改為呢？說明：大多數(shù)同學(xué)能夠掌握的圖像可以通過的圖像向左平移個(gè)單位得到，從而方便地結(jié)合圖像研究性質(zhì)研究的性質(zhì)要困難的多希望同學(xué)能類比研究正弦、余弦函數(shù)時(shí)的方法解決，必要時(shí)通過代換來解決四、 總結(jié)思考，提高能力（一）小結(jié)：學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)（1） 理解了正切函數(shù)的定義；理解了正切函數(shù)的圖像特征；掌握了正切函數(shù)的基本性質(zhì)（2） 運(yùn)用了舉反例、類比、反證法等數(shù)學(xué)方法，體會了數(shù)形結(jié)合的思想（3） 體驗(yàn)了成功的快樂（二）思考：（1）函數(shù)和是同一個(gè)函數(shù)嗎？（2）研究函數(shù)的基本性質(zhì)（3）研究函數(shù)的基本性質(zhì)，作出大致圖像五、 分層作業(yè)，鞏固拓展1、全體同學(xué)完成課本95頁第4、5題2、每位同學(xué)結(jié)合今天研究的內(nèi)容，設(shè)計(jì)一道回家作業(yè)題，并完成教學(xué)設(shè)計(jì)說明一、教學(xué)內(nèi)容的分析1、 教材的地位和作用本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，又一具體的三角函數(shù)為后面學(xué)習(xí)反正切函數(shù)及解析幾何中直線斜率與傾斜角的關(guān)系等內(nèi)容做好知識儲備，從內(nèi)容和方法上都起著承上啟下的作用學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了正切和正切線的定義，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識的保障學(xué)生在研究指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦、余弦函數(shù)過程中，積累了一些研究函數(shù)問題的方法當(dāng)時(shí)主要是通過觀察具體的圖像特征，歸納得出函數(shù)性質(zhì)的本節(jié)課的內(nèi)容為引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究數(shù)學(xué)問題、用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)論證解決數(shù)學(xué)問題提供了很好的條件正切函數(shù)的性質(zhì)都可以利用學(xué)生已掌握的知識加以證明，這種在研究方法上的突破與飛躍，對培養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是十分有意義的三角函數(shù)與函數(shù)概念是特殊與一般的關(guān)系，在教學(xué)中可以充分發(fā)揮學(xué)生頭腦中函數(shù)概念及在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí)中建立的經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)作用通過聯(lián)系和類比，使學(xué)生明確三角函數(shù)之間的通性，同時(shí)認(rèn)識到各自的特殊性，真正掌握研究函數(shù)的方法2、 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中已經(jīng)知道：證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性必須嚴(yán)格用定義論證在研究正弦、余弦函數(shù)的過程中，主要強(qiáng)調(diào)的是數(shù)形結(jié)合，從形中觀察得到結(jié)論由于知識儲備的不足（和差化積還沒有學(xué)習(xí)），暫時(shí)沒有證明但我們在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的是：數(shù)形結(jié)合，觀察得到的結(jié)論應(yīng)該盡量用代數(shù)證明代數(shù)論證是學(xué)生比較薄弱的一個(gè)環(huán)節(jié)，而研究正切函數(shù)的性質(zhì)，恰好為我們提供了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)論證能力的機(jī)會所以本節(jié)課的重點(diǎn)是：研究、掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)是：正切函數(shù)的單調(diào)性及證明二、教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的特點(diǎn)、教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，我從不同的方面確定了以下教學(xué)目標(biāo)(1) 理解正切函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖像特征，研究并掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)（2）在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣（3）在解決問題的過程中，體驗(yàn)克服困難取得成功的喜悅并在教學(xué)中使學(xué)了解問題的來龍去脈；強(qiáng)調(diào)解決問題方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成 三、教學(xué)方法的選擇1教學(xué)方法根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)，考慮到學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實(shí),思維比較活躍,勇于表達(dá)自己的觀點(diǎn)這節(jié)課，我想引導(dǎo)學(xué)生通過已掌握的知識去主動的探究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，希望學(xué)生在自主地開展探究活動的過程中，能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，體驗(yàn)研究函數(shù)的方法，提高解決問題的能力教師在這個(gè)過程中對學(xué)生的活動給與合理的評價(jià)和適時(shí)的啟發(fā)、點(diǎn)撥，保證教學(xué)活動的有效性2教學(xué)手段 教學(xué)中使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué)目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識四、本節(jié)課的特點(diǎn)對教材有比較深刻的理解和把握，根據(jù)我校學(xué)生的實(shí)際情況，對教材進(jìn)行了有效的挖掘從“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)”，讓學(xué)生經(jīng)歷正切函數(shù)性質(zhì)與圖