湖南重點中學高三數(shù)學第二輪復(fù)習參數(shù)取值問題的題型與方法人教

湖南省重點中學高三數(shù)學第二輪專題復(fù)習 參數(shù)取值問題的題型與方法http:/www.DearEDU.com要點綜述：本講從對歷年高考題的剖析來領(lǐng)會分類討論思想方法，發(fā)展數(shù)學思維，提高解題能力.求參數(shù)的取值范圍的問題，在中學數(shù)學里比比皆是，這一講，我們先展示2004年高考中參數(shù)取值問題的試題，再分四個方面來探討。（）2004年參數(shù)取值問題綜合題選1（2004年高考上海卷理科（19）記函數(shù)f(x)=的定義域為A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定義域為B.（）求A；（）若BA, 求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故當BA時, 實數(shù)a的取值范圍是(,2,1) 2（2004年高考遼寧卷（18）設(shè)全集U=R解關(guān)于x的不等式（）記A為（1）中不等式的解集，集合，若（ A）B恰有3個元素，求a的取值范圍.解：（1）由當時，解集是R；當時，解集是 （2）當時，（ A）=；當時， A= 因由 當（ A）B怡有3個元素時，a就滿足 解得 說明：本題主要考查集合的有關(guān)概念，含絕對值的不等式，簡單三角函數(shù)式的化簡和已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識，考查簡單的分類討論方法，以及分析問題和推理計算能力。3（2004年高考遼寧卷（22）已知函數(shù).（）求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）假設(shè)對任意成立，求實數(shù)m的取值范圍.（I）解：由y=f(x)=ln(exa)得x=ln(eya)，所以y=f1(x)=ln(exa)（xlna）(II)解法一：由0得m即對于xln(3a)，ln(4a)恒有em 設(shè)t= ex，u(t)=，u (t)=，于是不等式化為u(t)emu (t) t3a，4a 當t1t2，t1、t23a，4a時，u(t2)u(t1)=0所以都是增函數(shù).因此當時，的最大值為的最小值為而不等式成立當且僅當即，于是得 解法二：由得設(shè)于是原不等式對于恒成立等價于 由，注意到故有，從而可均在上單調(diào)遞增，因此不等式成立當且僅當即 4（2004年高考浙江卷文科（21）已知a為實數(shù)，（）求導(dǎo)數(shù)；（）若，求在-2，2 上的最大值和最小值；（）若在（，2和2，+）上都是遞增的，求a的取值范圍.解: ()由原式得 ()由 得,此時有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在-2,2上的最大值為最小值為 ()解法一: 的圖象為開口向上且過點(0,-4)的拋物線,由條件得 即 -2a2. 所以a的取值范圍為-2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非負. 由題意可知,當x-2或x2時, 0, 從而x1-2, x22, 即 解不等式組得: -2a2. a的取值范圍是-2,2.5（2004年高考浙江卷文科（22）已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）.點P、Q在雙曲線的右支上，點M（m,0）到直線AP的距離為1.（）若直線AP的斜率為k，且，求實數(shù)m的取值范圍；（）當時，APQ的內(nèi)心恰好是點M，求此雙曲線的方程. 解: ()由條件得直線AP的方程(即.又因為點M到直線AP的距離為1,所以得. 2,解得+1m3或-1m1-.m的取值范圍是()可設(shè)雙曲線方程為由得.又因為M是APQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以MAP=45,直線AM是PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此，（不妨設(shè)P在第一象限）直線PQ方程為.直線AP的方程y=x-1,解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為即6.(2004年高考重慶卷理科（20）)設(shè)函數(shù)（）求導(dǎo)數(shù); 并證明有兩個不同的極值點; （）若不等式成立，求的取值范圍.解：（I） 因此是極大值點，是極小值點.（II）因 又由（I）知代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得 （）參數(shù)取值問題的探討一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例1已知當xR時，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等價于或，解得a8.說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1,f(x)在1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函數(shù)f(x)在定義域（，1上是減函數(shù)，問是否存在實數(shù)k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)對一切實數(shù)x恒成立？并說明理由。分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價于ksinxk2sin2x1對于任意xR恒成立，這又等價于對于任意xR恒成立。不等式（1）對任意xR恒成立的充要條件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）對任意xR恒成立的充要條件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1適合題設(shè)條件。說明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號。例3設(shè)直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解1：當直線垂直于x軸時，可求得；當與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4（2003年江蘇卷第11題、天津卷第10題）已知長方形四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點從AB的中點P沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標為（x4，0）.若1 x42，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D)圖1圖2分析: 高中數(shù)學課程標準提倡讓學生自主探索, 動手實踐, 并主張在高中學課程設(shè)立“數(shù)學探究”學習活動, 03年數(shù)學試題反映了這方面的學習要求，在高考命題中體現(xiàn)了高中課程標準的基本理念本題可以嘗試用特殊位置來解，不妨設(shè)與AB的中點P重合（如圖1所示），則P1、P2、P3分別是線段BC、CD、DA的中點，所以由于在四個選擇支中只有C含有，故選Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax當然，本題也可以利用對稱的方法將“折線”問題轉(zhuǎn)化成“直線”問題來直接求解（如圖2所示） 說明 由本題可見, 0年試題強調(diào)實驗嘗試, 探索猜想在數(shù)學學習中的地位這也是選擇題的應(yīng)有特點例5當x(1,2)時，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y11,并且必須也只需當x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21,a1,10，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.例8.設(shè)f(x)=x22ax+2,當x1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,+)時恒大于0的問題。解：設(shè)F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)當=4（a1)(a+2)0時，即2a0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0時，f(x)=(t+2)2=0,得t=20,符合題意。a=8.20. 0,即a0時，f(0)=40,故只需對稱軸，即a4.a0,y0,x,yZ）。計年利潤為s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面區(qū)域。問題轉(zhuǎn)化為求直線0.6x+2xs0截距的最大值。過點A作0.6x+2y=0的平行線即可求出s的最大值。聯(lián)立得A（18,12）。將x18，y12代入s0.6x+2y求得Smax34.8。設(shè)經(jīng)過n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。學校規(guī)模初中18個班級，高中12個班級，第一年初中招生6個班300人，高中招生4個班160人。從第三年開始年利潤34.8萬元，大約經(jīng)過36年可以收回全部投資。說明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計劃書，本題是計劃書中的部分內(nèi)容。要求運用數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何知識和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過計算可知，投資教育主要是社會效益，提高整個民族的素質(zhì)，經(jīng)濟效益不明顯。五、強化訓(xùn)練1（南京市2003年高三年級第一次質(zhì)量檢測試題） 若對個向量存在個不全為零的實數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”依此規(guī)定， 能說明，“線性相關(guān)”的實數(shù)依次可以取 （寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。3設(shè)函數(shù)f(x)=2x-12-x-1,xR,若當0時，f(cos2+2msin)+f(2m2)0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。4已知關(guān)于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求實數(shù)a的取值范圍。5試就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點坐標。6某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能型洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大。已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）空調(diào)機洗衣機成本3020300勞動力 （工資）510110單位利潤68 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？ 7某校伙食長期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100克含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學又費用最少？8發(fā)電廠主控室的表盤，高m米，表盤底邊距地面n米。問值班人員坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2米）9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個面積為144平方米的長方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長？最少利用多長？六、參考答案1分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個平面向量線性相關(guān)在解題過程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可取（是不等于零的任意實數(shù)）2分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說明：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出cos2+2msin0,t0,1-(*)恒成立時，求實數(shù)m的取值范圍。接下來，設(shè)g(t)=t22mt+(2m+1),按對稱軸t=m與區(qū)間0，1的位置關(guān)系，分類使g(t)min0,綜合求得m.本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為2m(1t)(t2+1),t0,1當t=1時，mR;當0th(t)=2(1t)+,由函數(shù)F（u)=u+在（1，1上是減函數(shù)，易知當t=0時，h(x)max=1, m,綜合（1）、（2）知m。說明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強的一道好題。4分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),從而得x2+20x=8x6a30,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函數(shù)y=8x6a3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當直線為l1時，直線過點（20，0）此時縱截距為6a3=160,a=;當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為6a3=0，a=a的范圍為，）。5解：（1）當時，方程化為，表示軸。 （2）當時，方程化為，表示軸 （3）當時，方程為標準形式： 當時，方程化為表示以原點為圓心，為半徑的圓。 當時，方程（*）表示焦點在軸上的雙曲線，焦點為 當時，方程（*）表示焦點在軸上的橢圓，焦點為 當時，方程（*）表示焦點在軸上的橢圓，焦點為 當時，方程（*）表示焦點在軸上的雙曲線，焦點為 6解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供應(yīng)量分別