上海金山中學高二數(shù)學下學期期中

金山中學2015學年度第二學期高二年級數(shù)學學科期中考試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分1已知復(fù)數(shù)滿足，則_.2.半徑為的球的表面積為_.3. 若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為_.4. 設(shè)是實數(shù),若方程表示的曲線是雙曲線,則的取值范圍為 5. 直線的傾斜角的取值范圍是_.6.設(shè)是方程的兩個虛根，且，則實數(shù)_.7. 圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，已知扇形弧長為，半徑為，則該圓錐的體積等于_.8. 在直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值是_9已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_. w.第12題圖10某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為_.第10題圖11. 某地球儀上北緯緯線長度為cm，該地球儀的表面上北緯東經(jīng)對應(yīng)點與北緯東經(jīng)對應(yīng)點之間的球面距離為 cm（精確到0.01）12如圖，在邊長為的正方形中，為正方形邊上的動點，現(xiàn)將所在平面沿折起，使點在平面上的射影在直線上，當從點運動到，再從運動到，則點所形成軌跡的長度為_.13拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，又點，則的最小值為 .14.直線平面，垂足是，正四面體的棱長為，點在平面上運動，點在直線上運動，則點到直線的距離的取值范圍是_.二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且僅有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15給出下列命題，其中正確的命題是 （ ）若，且，那么一定是純虛數(shù)若、且，則 若，則不成立 若，則方程只有一個根16一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形，則這個三角形一定是 （ ）銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 以上都有可能17已知橢圓的左、右焦點分別是，若，則稱橢圓為“黃金橢圓”則下列三個命題中正確命題的序號是 （ ）在黃金橢圓中，成等比數(shù)列；在黃金橢圓中，若上頂點、右頂點分別為，則；在黃金橢圓中，以為頂點的菱形的內(nèi)切圓過焦點 第18題圖18如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為。則下列命題中正確命題的個數(shù)為（ ） 當時，為四邊形；當時，為等腰梯形；當時，與的交點R滿足；當時，為六邊形；當時，的面積為.2 3 4 5三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19（本題滿分12分）已知復(fù)數(shù)，且，又，而的實部和虛部相等，求. 第20題圖20（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為.（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1）；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？21（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準圓”的方程；（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.22（本題滿分16分，第（1）題4分，第（2）題6分，第（3）題6分）DBACOE第22題圖如圖，已知四面體中，且兩兩互相垂直，點是的中心（1）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）過作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍23 （本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題4分，第（3）小題8分）（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；(3) 我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點，是相應(yīng)橢圓的焦點，和，是“果圓” 與,軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦。試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.第23（3）題圖(提示：第（1）題的結(jié)論可推廣為任意橢圓，第（2），第（3）題可直接應(yīng)用推廣的結(jié)論.)第23（2）題圖金山中學2015學年度第二學期高二年級數(shù)學學科期中考試卷答案（考試時間：120分鐘滿分：150分命題人：魯 丹審核人：陳繁球）一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分1已知復(fù)數(shù)滿足，則_.2.半徑為的球的表面積為_.3. 若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為_.4. 設(shè)是實數(shù),若方程表示的曲線是雙曲線,則的取值范圍為 5. 直線的傾斜角的取值范圍是_.6.設(shè)是方程的兩個虛根，且，則實數(shù)_.7. 圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，已知扇形弧長為，半徑為，則該圓錐的體積等于_.8. 在直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值是_9已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_. w.第12題圖10某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為_.第10題圖11. 某地球儀上北緯緯線長度為cm，該地球儀的表面上北緯東經(jīng)對應(yīng)點與北緯東經(jīng)對應(yīng)點之間的球面距離為 cm（精確到0.01）12如圖，在邊長為的正方形中，為正方形邊上的動點，現(xiàn)將所在平面沿折起，使點在平面上的射影在直線上，當從點運動到，再從運動到，則點所形成軌跡的長度為_.13拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，又點，則的最小值為 .14.直線平面，垂足是，正四面體的棱長為，點在平面上運動，點在直線上運動，則點到直線的距離的取值范圍是_.二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且僅有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15給出下列命題，其中正確的命題是 （ A ）若，且，那么一定是純虛數(shù)若、且，則 若，則不成立 若，則方程只有一個根16一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形，則這個三角形一定是 （ C ）銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 以上都有可能17已知橢圓的左、右焦點分別是，若，則稱橢圓為“黃金橢圓” 則下列三個命題中正確命題的序號是 （ D ）在黃金橢圓中，成等比數(shù)列；在黃金橢圓中，若上頂點、右頂點分別為，則；在黃金橢圓中，以為頂點的菱形的內(nèi)切圓過焦點 18第18題圖如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為。則下列命題中正確命題的個數(shù)為（ C ） 當時，為四邊形；當時，為等腰梯形；當時，與的交點R滿足；當時，為六邊形；當時，的面積為.2 3 4 5三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19（本題滿分12分）已知復(fù)數(shù)，且，又，而的實部和虛部相等，求.解： 或或. 20（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）第20題圖某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為.（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1）；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為；圓錐的母線長為，高為，根據(jù)題意可知（1），cm，cm，所以“籠具”的體積cm.（2）圓柱的側(cè)面積cm，圓柱的底面積 cm，圓錐的側(cè)面積 cm，所以“籠具”的表面積為 cm，故造50個“籠具”的總造價：元.答：這種“籠具”的體積約為 cm，生產(chǎn)50個“籠具”的總造價為元.21（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準圓”的方程；（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.解：（1）設(shè)橢圓的左焦點，由得，又，即且，所以，則所求的橢圓的方程為；橢圓的“準圓”方程為.（2）證明：當弦軸時，交點關(guān)于軸對稱，又則，可設(shè)，得，此時原點到弦的距離；當弦不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，且與橢圓的交點，聯(lián)列方程組 代入消元得： 由可得 由得即 ， 所以此時成立，則原點到弦的距離綜上得原點到弦的距離為，則，因此弦的長為定值.22（本題滿分16分，第（1）題4分，第（2）題6分，第（3）題6分）DBACOE第22題圖如圖，已知四面體中，且兩兩互相垂直，點是的中心（1）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）過作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍解： （1）取中點，連接和，則即為二面角的平面角，所以，因此，所以二面角的大小為（2）過作，經(jīng)計算得，由此得，所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積（3）取中點，連接，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則，所以，在平面上，點的軌跡方程為，令，則，所以，于是23 （本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題4分，第（3）小題8分）（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心.（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心.第23（2）題圖(3) 我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點，是相應(yīng)橢圓的焦點，和，是“果圓” 與,軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦。試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦