材料力學(xué)第六章靜不定

材料力學(xué) 1 一 靜定靜不定概念1 靜定問題 僅用靜力平衡方程就能求出全部未知力 這類問題稱為靜定問題 實(shí)質(zhì) 未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目 2 靜不定問題 僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力 又稱超靜定問題 實(shí)質(zhì) 未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目 第六章簡(jiǎn)單超靜定問題 6 1 6 2概述及拉壓靜不定問題 材料力學(xué) 2 3 靜不定次數(shù) 未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目之差 也是需要補(bǔ)充的方程數(shù)目 未知力 4個(gè)平衡方程 2個(gè)靜不定次數(shù) 4 2 2需要補(bǔ)充2個(gè)方程此結(jié)構(gòu)可稱為2次靜不定結(jié)構(gòu) 材料力學(xué) 3 5 多余約束力 多余約束提供的約束力 靜不定次數(shù) 多余約束力數(shù)目 4 多余約束 結(jié)構(gòu)保持靜定所需約束之外的約束 若沒有這些約束結(jié)構(gòu)也能保持一定的幾何形狀 靜定 材料力學(xué) 4 二 拉壓靜不定問題的解法1 判斷靜不定次數(shù) 2 列靜力平衡方程 3 列幾何方程 反映各桿變形之間的幾何關(guān)系 具體問題需具體分析 一般通過 變形幾何圖 列方程 特別注意 力與變形相對(duì)應(yīng) 即桿件的伸長(zhǎng)或縮短必須與受力圖的桿件的拉壓對(duì)應(yīng) 4 列物理方程 變形與力的關(guān)系 5 列補(bǔ)充方程 物理方程代入幾何方程即得變形協(xié)調(diào)方程 材料力學(xué) 5 拉壓靜不定問題的解法 1 靜力平衡方程 力學(xué) 原有基礎(chǔ) 2 變形協(xié)調(diào)方程 幾何 靈活思考 3 材料本構(gòu)方程 物理 構(gòu)筑橋梁 4 方程聯(lián)立求解 代數(shù) 綜合把握 材料力學(xué) 6 解 1 判斷 一次靜不定 2 列平衡方程 3 列幾何 變形協(xié)調(diào) 方程 4 列物理方程 5 列補(bǔ)充方程 將物理方程代入幾何方程得補(bǔ)充方程 材料力學(xué) 7 解得 材料力學(xué) 8 材料力學(xué) 9 解 變形協(xié)調(diào)關(guān)系 即 由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程 考慮對(duì)O取矩得平衡方程 聯(lián)立求出兩桿軸力 再求應(yīng)力后得結(jié)果 小技巧 材料力學(xué) 10 解 平衡方程為 變形協(xié)調(diào)方程 300 300 300 300 300 化簡(jiǎn)得 材料力學(xué) 11 物理關(guān)系為 代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程 聯(lián)立平衡方程求得 材料力學(xué) 12 2Dl2 Dl1 Dl3 2 Dl2 Dl1 Dl3 Dl1 2 Dl2 Dl3 Dl1 Dl3 幾何方程 材料力學(xué) 13 還可列出其它變形圖 但必須保證變形圖與受力圖一致 材料力學(xué) 14 內(nèi)力按剛度比分配 思考 靜定結(jié)構(gòu)是否也是這樣 靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 1 材料力學(xué) 15 靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 2 裝配應(yīng)力 靜定結(jié)構(gòu) 無裝配應(yīng)力 靜不定結(jié)構(gòu) 產(chǎn)生裝配應(yīng)力 材料力學(xué) 16 解 因制造誤差 裝配時(shí)各桿必須變形 因此產(chǎn)生裝配內(nèi)力 一次靜不定問題 幾何方程 Dl1 Dl2 cosq d 平衡方程 FN2 FN3FN1 2FN2cosq 0 物理方程代入幾何方程得變形協(xié)調(diào)方程 結(jié)合平衡方程求得 材料力學(xué) 17 裝配應(yīng)力是不容忽視的 如 d l 0 001 E 200GPa q 30 s1 113MPa s2 s3 65 2MPa 正確 注意 1桿伸長(zhǎng) 只能是拉力 2 3桿縮短 應(yīng)為壓力 不正確 材料力學(xué) 18 解 1 平衡方程 FN1 FN2 FN3 0FN1 FN3 2 幾何方程 即 3 物理方程 3桿用理論長(zhǎng)度計(jì)算變形 材料力學(xué) 19 4 補(bǔ)充方程 補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得 變形協(xié)調(diào)關(guān)系 平衡方程 兩桿均為拉力 計(jì)算 桿伸長(zhǎng)必須用理論長(zhǎng)度 不用實(shí)際長(zhǎng)度 材料力學(xué) 20 靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 3 溫度應(yīng)力 升溫ToC 結(jié)構(gòu)不因溫度變化產(chǎn)生內(nèi)力 升溫ToC 結(jié)構(gòu)會(huì)因溫度變化產(chǎn)生內(nèi)力 材料力學(xué) 21 溫度變化引起桿的長(zhǎng)度變化 多余約束限制了這個(gè)變化 引起溫度內(nèi)力 幾何方程 Dl Dlt DlF 0物理方程 Dlt al t DlF FNl EAa為材料的線膨脹系數(shù) 對(duì)于無約束的桿件 當(dāng)溫度變化為時(shí) 桿件的變形為 式中 a 材料的線膨脹系數(shù) 材料力學(xué) 22 解 受力圖如圖示 設(shè)二桿均受壓 列平衡方程SMA 0 桿在溫度影響下伸長(zhǎng) 在軸力作用下縮短 桿在軸力作用下縮短 剛體繞A轉(zhuǎn)動(dòng) 變形幾何關(guān)系圖如圖示 由圖可列出變形幾何關(guān)系方程 2Dl1 Dl2 得 結(jié)合平衡方程 求得 材料力學(xué) 23 變形協(xié)調(diào)方程為 材料力學(xué) 24 物理方程為 物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程 再聯(lián)立平衡方程求得 FN1 7 92kN FN2 10 2kN FN3 21 9kN 由此求得應(yīng)力為s1 39 6MPa s2 102MPa s3 73MPa 材料力學(xué) 25 解 受力分析 建立平衡方程 未知力偶矩 2個(gè) 平衡方程 1個(gè) 一次超靜定 變形分析 列變形協(xié)調(diào)方程 聯(lián)立求解方程 a 與 b 建立補(bǔ)充方程 代入上式 試求圖示軸兩端的約束力偶矩 6 3扭轉(zhuǎn)超靜定問題 材料力學(xué) 26 A B 設(shè)有A B兩個(gè)凸緣的圓軸 在力偶M的作用下發(fā)生了變形 這時(shí)把一個(gè)薄壁圓筒與軸的凸緣焊接在一起 然后解除M 設(shè)軸和圓筒的抗扭剛度分別是G1Ip1和G2Ip2 試求軸內(nèi)和筒內(nèi)的扭矩 解 由于筒與軸的凸緣焊接在一起 外加力偶M解除后 圓軸必然力圖恢復(fù)其扭轉(zhuǎn)變形 而圓筒則阻抗其恢復(fù) 這就使得在軸內(nèi)和筒內(nèi)分別出現(xiàn)扭矩T1和T2 設(shè)想用橫截面把軸與筒切開 因這時(shí)已無外力偶矩作用 平衡方程為 T1 T2 0 材料力學(xué) 27 焊接前軸在M作用下的扭轉(zhuǎn)角為 j j2 變形協(xié)調(diào)條件 T1 T2 0 材料力學(xué) 28 一 相當(dāng)系統(tǒng)的建立1 相當(dāng)系統(tǒng)的特點(diǎn) 靜定結(jié)構(gòu) 含有多余約束力 主動(dòng)力與原結(jié)構(gòu)相同 2 建立相當(dāng)系統(tǒng)的步驟 判斷靜不定次數(shù) 解除多余約束 代之以多余約束力 其余照原問題畫 6 4彎曲簡(jiǎn)單超靜定問題 材料力學(xué) 29 解 建立相當(dāng)系統(tǒng) 處理方法 變形協(xié)調(diào)方程 物理方程與平衡方程相結(jié)合 求全部未知力 確定靜不定次數(shù) 用多余約束力代替多余約束所得到的靜定結(jié)構(gòu) 原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng) 幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程 物理方程 變形與力的關(guān)系 材料力學(xué) 30 補(bǔ)充方程 求解其它問題 應(yīng)力 變形等 彎矩圖 材料力學(xué) 31 解 相當(dāng)系統(tǒng)如圖 任意x截面彎矩為 時(shí)彎矩取極值 固定端處彎矩為 當(dāng)時(shí) 梁的受力最合理 材料力學(xué) 32 支座B端上移 兩種情形彎矩圖的對(duì)比 材料力學(xué) 33 幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程 解 建立相當(dāng)系統(tǒng) 物理方程 變形與力的關(guān)系 材料力學(xué) 34 物理方程 變形與力的關(guān)系 補(bǔ)充方程 求解其它問題 內(nèi)力 應(yīng)力 變形等 材料力學(xué) 35 解 各梁的相當(dāng)系統(tǒng)如圖 材料力學(xué) 36 解 溫度升高后 斜面對(duì)梁的約束力如圖所示 其變形為伸長(zhǎng)和彎曲同時(shí)發(fā)生 變形協(xié)調(diào)方程為伸長(zhǎng)和彎曲變形相等 即 解得 材料力學(xué) 37 懸臂梁AB 用短梁DG加固 試分析加固效果 P209 6 17 解 1 靜不定分析 2 加固效果分析 最大彎矩減少62 5 與相比 減少39 1 材料力學(xué) 38 懸臂梁同時(shí)受拉桿約束 試求桿BC的軸力 解 梁的軸向變形一般忽略不計(jì) 如考慮梁的軸向變形 如何求解 解除約束代約束力并考慮變形幾何關(guān)系 材料力學(xué) 39 解 解除B處約束代之以約束力 使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁 變形協(xié)調(diào)方程為 物理關(guān)系 物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程 材料力學(xué) 40 材料力學(xué) 41 解 此結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱外力作用 所以在對(duì)稱軸處對(duì)稱內(nèi)力 彎矩 不等于零 反對(duì)稱內(nèi)力 剪力 等于零 對(duì)稱軸處對(duì)稱位移 撓度 不等于零 反對(duì)稱位移 轉(zhuǎn)角 等于零 于是相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示 補(bǔ)充方程為 跨中撓度為 求得 材料力學(xué) 42 解 相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示 其變形幾何關(guān)系為 P209 6 19 高度為h的等截面梁兩端固定 支座B下沉D 求smax 求得 材料力學(xué) 43 解 解除A端約束 并代之以約束力得到相當(dāng)系統(tǒng) 變形協(xié)調(diào)方程為wA 0 qA q 即 材料力學(xué) 44 若解除B端約束 并代之以約束力得到圖示相當(dāng)系統(tǒng) 變