2018年考研數(shù)學(xué)一真題及全面解析.doc

精品文檔2018年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一考研真題與全面解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1. 下列函數(shù)中在處不可導(dǎo)的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】()【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，A. ，可導(dǎo)；B., 可導(dǎo)； C. ，可導(dǎo)；D. ，極限不存在。故選（）.2. 過點(diǎn)，且與曲面相切的平面為（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（）【解析一】設(shè)平面與曲面的切點(diǎn)為，則曲面在該點(diǎn)的法向量為，切平面方程為切平面過點(diǎn) ，故有，（1），（2）又是曲面上的點(diǎn)，故 ，（3）解方程 （1）（2）（3），可得切點(diǎn)坐標(biāo) 或 。因此，切平面有兩個(gè) 與 ，故選（B）.【解析二】由于不經(jīng)過點(diǎn) 和 ，所以排除（C）（D）。對于選項(xiàng)（A），平面的法向量為，曲面的法向量為，如果所給平面是切平面，則切點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為，而曲面在該點(diǎn)處的切平面為，所以排除（A）.所以唯一正確的選項(xiàng)是（）.3. （ ）【答案】（）【解析】因?yàn)?而 ，故選（）。4. 設(shè)，則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（）【解析】積分區(qū)間是對稱區(qū)間，先利用對稱性化簡，能求出積分最好，不能求出積分則最簡化積分。，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故 對，有，因而，故。應(yīng)選（）.5. 下列矩陣中陣，與矩陣相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】記矩陣，則秩，跡,特征值（三重）。觀察四個(gè)選項(xiàng)，它們與矩陣的秩相等、跡相等、行列式相等，特征值也相等，進(jìn)一步分析可得：,，, 。如果矩陣與矩陣相似，則必有與相似（為任意常數(shù)），從而），故選（A）,6. 設(shè)是階矩陣，記為矩陣 的秩，表示分塊矩陣，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】把矩陣 按列分塊，記，則向量組 可以由向量組線性表出，從而與，等價(jià)，于是，故選（）。7. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度滿足，且則 ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.5【答案】（）【解析】由可知概率密度函數(shù)關(guān)于對稱，結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)及已知條件，容易得出，故選（）。8. 設(shè) 總體服從正態(tài)分布,是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，據(jù)此樣本檢測，假設(shè) 則（ ）（A）如果在檢驗(yàn)水平下拒絕，那么在檢驗(yàn)水平下必拒絕；（B）如果在檢驗(yàn)水平下拒絕，那么在檢驗(yàn)水平下必接受；（C）如果在檢驗(yàn)水平下接受，那么在檢驗(yàn)水平下必拒絕；（D）如果在檢驗(yàn)水平下接受，那么在檢驗(yàn)水平下必接受?！敬鸢浮浚ǎ窘馕觥空_解答該題，應(yīng)深刻理解“檢驗(yàn)水平”的含義。統(tǒng)計(jì)量 ,在檢驗(yàn)水平下接受域?yàn)?解得 接受域的區(qū)間為 ；在檢驗(yàn)水平下接受域的區(qū)間為 。由于，下接受域的區(qū)間包含了下接受域的區(qū)間，故選（）。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.9. 若，則 。 【答案】【解析】 10. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若曲線過點(diǎn)，且與在點(diǎn)處相切，求。【答案】【解析】由已知條件可得：故 11、設(shè)函數(shù)，則。 【答案】【解析】 故 。12. 設(shè)是曲面與平面的交線，則?！敬鸢浮俊窘馕觥肯惹蠼痪€:，由于曲面方程與平面方程中的滿足輪換對稱性，因此在曲線上具有輪換對稱性。又知由輪換對稱性可得 ：。13. 設(shè)二階矩陣有兩個(gè)不同的特征值，是的線性無關(guān)的特征向量，且滿足，則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)對應(yīng)的特征值分別是，則，由于線性無關(guān)，故 ，從而的兩個(gè)不同的特征值為，于是。 14. 設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,，,則。 【答案】【解析】,三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. （本題滿分10分）求不定積分.【解析】16. （本題滿分10分）將長為的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值?！敬鸢浮棵娣e之和存在最小值，?！窘馕觥吭O(shè)圓的半徑為，正方形的邊長為，三角形的邊長為，則，三個(gè)圖形的面積之和為 ，則問題轉(zhuǎn)化為 “在條件，下，求三元函數(shù) 的最小值”。 令 解方程組，得到唯一駐點(diǎn)由實(shí)際問題可知，最小值一定存在，且在該駐點(diǎn)處取得最小值。最小面積和 為.17. （本題滿分10分）設(shè)是曲面的前側(cè) ，計(jì)算曲面積分.【解析】將空間曲面化成標(biāo)準(zhǔn)形以便確定積分曲面的形狀。曲面前側(cè)是一個(gè)半橢球面，補(bǔ)平面，取后側(cè)，則由高斯公式可得 其中，由“先二后一” 法可得而。故.18. （本題滿分10分）已知微分方程 ，其中是上的連續(xù)函數(shù)。（I）若 ，求方程的通解；（II）若是周期為的函數(shù)，證明：方程存在唯一的以為周期的解?！窘馕觥浚↖）若，則，由一階線性微分方程通解公式 得。（II）由一階線性微分方程通解公式可得 ，由于在中無法表達(dá)出來，取，于是 若方程存在唯一的以為周期的解，則 必有 ，即. 由于 為一常數(shù)，可知 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，以為周期，故微分方程存在唯一的以為周期的解。19. （本題滿分10分）設(shè)數(shù)列滿足 。證明收斂，并求?！咀C明一】因?yàn)?，所以 。根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得 ，即，因此。完全類似，假設(shè) ，則，即 ，故數(shù)列單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列收斂。設(shè) ，在等式 兩邊取極限，得 ，解方程得 唯一解 ，故 ?！咀C明二】首先證明數(shù)列有下界，即證明：當(dāng)時(shí)， 。根據(jù)題設(shè) ，由 可知 ；假設(shè)當(dāng)時(shí)， ；則當(dāng)時(shí)， ，其中，可知 。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任意的， 。再證明數(shù)列的單調(diào)性：，(離散函數(shù)連續(xù)化)設(shè) ，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即 。從而 ，故，即數(shù)列的單調(diào)遞減。綜上，數(shù)列的單調(diào)遞減且有下界。由單調(diào)有界收斂原理可知收斂。設(shè) ，在等式 兩邊同時(shí)令，得 ，解方程得 唯一解 ，故 。20. （本題滿分11分）設(shè)二次型 ，其中是參數(shù)。（I）求 的解；（II）求 的規(guī)范型?！窘馕觥浚↖）由 可得對上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作 初等行變換得當(dāng)時(shí)， 只有零解：。當(dāng)時(shí)， 有非零解：， 為任意常數(shù)。（II）當(dāng)時(shí)，若不全為0，則二次型 恒大于 0，即二次型為正定二次型，其規(guī)范型為。當(dāng) 時(shí)，二次型對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣 ，其特征方程為解得特征值 ，可知二次型的規(guī)范型為。21.（本題滿分11分）設(shè)是常數(shù)，且矩陣 可經(jīng)過初等列變換化為矩陣。(I)求；（II）求滿足的可逆矩陣？【解析】（I）由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故 。對矩陣作初等行變換，得，顯然，要使，必有 。（II）將矩陣 按 列 分塊：，求解矩陣方程可化為解三個(gè)同系數(shù)的非齊次線性方程組：。對下列矩陣施以初等行變換得，易知，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 ：,三個(gè)非齊次線性方程組的特解分別為：。因此，三個(gè)非齊次線性方程組的通解為，從而可得可逆矩陣 ，其中。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，的概率分布為，服從參數(shù)為的泊松分布。令，（I）求；（II）求的概率分布。【解析】（I）由相互獨(dú)立，可得.。由協(xié)方差計(jì)算公式可知,其中 ，代入上式可得 。（II）由于是離散型隨機(jī)變量，因此也是離散型隨機(jī)變量。的