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常用邏輯用語 知識點一：命題1. 定義： 一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題設和結論兩部分構成.（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題. 2. 邏輯聯結詞： “或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞.（1）不含邏輯聯結詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題叫復合命題.（2）復合命題的構成形式：p或q；p且q；非p（即命題p的否定）.（3）復合命題的真假判斷 “p或q”為有真為真，無真即假 “p且q”為同真為真，有假即假“非p”與p的真假相反.注意：（1）邏輯連結詞“或”的理解是難點，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以類比于集合中“或”.（2）“或”“且”命題的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.知識點二：四種命題1. 四種命題形式： 原命題：若p則q； 逆命題：若q則p否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.2. 四種命題的關系原命題逆否命題.逆命題否命題，它們之間互為逆否關系，具有相同的真假性，是命題轉化的另一依據和途徑.除、之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯系.命題與集合之間可以建立對應關系，命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對應集合的“交”、“并”、“補”。 知識點三：充分條件與必要條件1. 定義： 若，則是的充分條件，是必要條件；2. 理解認知：（1）在判斷條件時，首先要分清哪是條件，哪是結論；然后用條件推結論，再用結論 推條件，最后進行判斷.（2）建立與、相應的集合，即成立，成立若，則是的充分條件， 若，則是成立的充分不必要條件；若，則是的必要條件， 若，則是成立的必要不充分條件；若，則是成立的充要條件；若AB且BA，則是成立的既不充分也不必要條件知識點四：全稱量詞與存在量詞1. 全稱量詞與存在量詞：全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個”等，通常用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關于x的命題.（II）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有些”等，通常用符號“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關于x的命題2. 對含有一個量詞的命題進行否定（I）對含有一個量詞的全稱命題的否定：全稱命題p：，他的否定：（II）對含有一個量詞的特稱命題的否定 ：特稱命題p：，他的否定：注意：（1）命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對命題的結論進行否定（否定一次），而命題的否命題則需要對命題的條件和結論同時進行否定（否定二次）。（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個至多一個否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個也沒有至少兩個三、典型例題選講例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假（1）已知，為實數，若，則有兩個不相等的實數根；（2）兩條平行線不相交； （3）若，則，全為零分析：寫出一個命題的四種命題形式，關鍵是分清命題的條件與結論，把命題寫成“如果那么”的形式，再根據四種命題的定義寫出其他三種命題即可解：（1）原命題是真命題；逆命題：若有兩個不相等的實數根，則，（假）；否命題：若，則沒有兩個不相等的實數根，（假）；逆否命題：若沒有兩個不相等的實數根，則，（真）（2）原命題形式可寫成：若兩條直線平行，則它們不相交，（真）；逆命題：若兩條直線不相交，則它們平行，（假）；否命題：若兩條直線不平行，則它們相交，（假）；逆否命題：若兩條直線相交，則它們不平行，（真）（3）原命題是真命題；逆命題：若，全為零，則，（真）；否命題：若，則，不全為零，（真）逆否命題：若，不全為零，則，（真）例2 說明下列命題形式，指出構成它們的簡單命題：3 矩形的對角線垂直平分； 不等式的解集是或； 方程沒有實數根分析：根據命題中出現的邏輯聯結詞或隱含的邏輯聯結詞，進行命題結構的判斷，其中解題的關鍵是正確理解邏輯聯結詞“且”、“或”、“非”的含義解：這個命題是“”的形式，其中：矩形的對角線互相垂直，：矩形的對角線互相平分這個命題是“”的形式，其中：不等式的解集是，：不等式的解集是或 這個命題是“”的形式，其中：，：這個命題是“”的形式，其中：方程有實數根例3、（1）設xR，則“x”是“2x2+x-10”的（ A ）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件（2）設集合,那么“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件D既不充分也不必要條件分析：本題條件與結論的形式都是集合形式，只要理清集合之間的關系，按照充要條件與集合的對應關系即可作出判斷解：，. 故選A （3）已知是實數，則“且”是“且”的 ( C ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 （4）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件現有下列命題：是的充要條件；是的充分條件而不是必要條件；是的必要條件而不是充分條件；的必要條件而不是充分條件；是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（ ） A. B. C. D. 解：由題意可知：，且，所以，正確；，且，正確；，不正確；，且，正確；，不正確故選B例4、（1）已知命題：所有有理數都是實數，命題：正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（）ABCD解：由題意可以判斷命題是真命題，命題是假命題，所以命題是假命題，命題是真命題只有是真命題，故選D （2）命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是A.任意一個有理數，它的平方是有理數 B.任意一個無理數，它的平方不是有理數 C.存在一個有理數，它的平方是有理數 D.存在一個無理數，它的平方不是有理數 【答案】B【點評】本題考查特稱命題的否定.求解特稱命題或全稱命題的否定，千萬別忽視了改變量詞；另外，要注意一些量詞的否定的書寫方法，如：“都是”的否定為“不都是”，別弄成“都不是. （3）設命題p：函數的最小正周期為；命題q：函數的圖象關于直線對稱.則下列判斷正確的是 (A)p為真(B)為假(C)為假(D)為真 【答案】C 例5 （1）p：；q：若是的必要不充分條件，求m的取值范圍解：由于是的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件于是有（2）已知p：，q：，若p是q的一個充分不必要條件，求m的取值范圍. 解：由p：得；由q：得或p是q的一個充分不必要條件，只有pq成立，例6、證明：對于x、yR，是的必要不充分條件 分析：要證明必要不充分條件，就是要證明兩個，一個是必要條件，另一個是不充分條件必要性：對于x、yR，如果則， 即故是的必要條件不充分性：對x、yR，如果，如，此時故是的不充分條件綜上所述：對于x、yR，是的必要不充分條件例7：求關于x的一元二次不等式于一切實數x都成立的充要條件分析：求一個問題的充要條件，就是把這個問題進行等價轉化由題可知等價于 例8、（1）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，則p是( C )(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 (B) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 (D) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 （2）有四個關于三角函數的命題：， ：、，：, ：其中是假命題的有（ ）A， B， C， D，解：是假命題，因為，；是真命題，如時成立；是真命題，.；是假命題，如，時，但故選A例9已知命題：，則（ C ）A. B.C. D.歸納小結：(1)本題考查了含有一個量詞的命題的否定及否定詞的運用，對學生的邏輯判斷能力進行考查(2)一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題：，它的否定：，特稱命題：，它的否定：，例10 已知命題：有兩個不等的負根，命題：10無實數根若命題與命題有且只有一個為真，求實數的取值范圍分析：對命題和命題的條件進行化簡可得的范圍，再對、的真假進行討論，得到參數成立的條件，利用交集求出的取值范圍解：方程有兩個不等的負根