數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第30輯類比與聯(lián)想.doc

中學(xué)數(shù)學(xué)吧-數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競(jìng)賽試題-中高考試題信息競(jìng)賽講座30類比與聯(lián)想1 類比已知甲問(wèn)題與乙問(wèn)題有某些類似之處，猜想乙問(wèn)題的某個(gè)結(jié)論或某種解法也適合甲問(wèn)題，從而將這個(gè)結(jié)論移植給甲問(wèn)題或用類似方法解決甲問(wèn)題，這種解決問(wèn)題的思維形式叫做類比推理.類比只是一種猜測(cè)，是否可行還要靠邏輯推理來(lái)解決.例1 如圖27-1，一直線l交四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA或其延長(zhǎng)線于E、F、G、H，則有分析 此例中條件和結(jié)論都類似于梅氏定理，由此考慮將梅氏定理的證明方法施于此例.連BD交l于點(diǎn)O，在ABD和BCD中，分別使用梅氏定理可得兩式相乘即得所證結(jié)論.例2 （第3屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖27-2，P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn).直線AP、BP、CP交BC，CA，AB于Q、R、S.求證、三者之中，至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不小于2.分析 例2條件與下述熟悉的命題條件一樣：“P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn).直線AP、BP、CP交BC、CA、AB于Q、R、S.求證：”這說(shuō)明可將這個(gè)命題的結(jié)論用于例2，由知中至少有一個(gè)不大于，不妨設(shè)即3PQAQ.而AQ=AP+AQ，AP2PQ，2，即不小于2.同理可證三式中至少有一個(gè)不大于2.2 聯(lián)想由前面的例題的解決，我們看到類比是與聯(lián)想交織在一起的.事實(shí)上不論用什么方法解決問(wèn)題都少不了運(yùn)用“聯(lián)想”.根據(jù)問(wèn)題之間的相似性、接近性、對(duì)比性進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想，從而將某個(gè)已知的結(jié)論和方法的全部或部分移植給所研究的新問(wèn)題是解決問(wèn)題的一種基本思想方法.例3 已知0a1，0b1.求證：+分析 觀察待證式左端，它的每個(gè)根式都使我們想到RtABC中的等式a2+b2=c2，激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個(gè)不等式的大膽想法.如圖27-3，作邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，分別在AB、AD上取AE=a，AG=b，過(guò)E、G分別作AD、AB的平行線，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O點(diǎn).由題設(shè)條件及作圖可知，AOG、BOE、COF、DOG皆為直角三角形.OC=再連結(jié)對(duì)角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OCAC，OB+ODBD，合理的聯(lián)想是以正確的觀察為基礎(chǔ)的.觀察所研究的問(wèn)題的特征和規(guī)律，聯(lián)想似曾相識(shí)的問(wèn)題，便可以迅速地找到一個(gè)解決新問(wèn)題的模式.例4 （柯西不等式）（）（）（a1b1+a2+b2+anbn）2（其中等號(hào)當(dāng)時(shí)成立）.分析 設(shè)a=，c=，b=2（a1b1+a2+b2+anbn），求證不等式變?yōu)閎2-4ac0，這不就是一元二次方程的判別式嗎？于是構(gòu)造下面無(wú)相異實(shí)根的實(shí)系數(shù)一元二次方程解此題便是十分自然的事了.設(shè)f（x）=（）x2-2（a1b1+anbn）x+（），變形為f（x）=（a1x-b1）2+（anx+bn）20.這說(shuō)明方程f（x）=0僅當(dāng)時(shí)有相等實(shí)根，否則無(wú)實(shí)根，故f（x）=0的判別式不大于0，即（）（）（a1b1+anbn）2.對(duì)于一般性的命題聯(lián)想它的特殊情況，從研究特殊情形入手?？梢哉业浇鉀Q一般問(wèn)題的方法.例5 （第18屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）數(shù)學(xué)x（0）和y使得對(duì)任意的n1，數(shù)都是某整數(shù)的平方數(shù)，求這樣的x和y.解 從最簡(jiǎn)單的情形入手.如果，那么A是大于40的兩位數(shù)，并且它的末位數(shù)字是2或8，可以驗(yàn)證僅當(dāng)A=68或98時(shí)，A2的百位數(shù)6，即682=4624；982=9604.現(xiàn)在來(lái)看一般情況，=4+2（10n+10+1）+2=410n+1=（210n+1+4）/32=66682.=（10n-1）10n+2+610n+1+4=（10n+1-2）2=.x=4，y=2 或x=9，y=0.例6 設(shè)P1，P2，Pn依次為ABC中BAC的n等分線與BC的交點(diǎn)，求證分析 先考慮n=2的情形，即“設(shè)P1為ABC的BAC的平分線與BC的交點(diǎn)，求證”.這是三角形內(nèi)角平分線性質(zhì),證法很多.因考慮到要證的一般情形的結(jié)論是線段的乘積的比,故我們利用三角形的面積公式來(lái)證.如圖27-4,在ABP1和ACP1中，BAP1=CAP1且BP1與CP1邊上的高相等，即再考慮n=3的情形，即“設(shè)P1，P2為ABC的BAC的三等分角線與BC的交點(diǎn)，求證如圖27-5，仿上可證上兩式后面等式相乘得運(yùn)用上面特殊情況的方法可證得一般情況.數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題的解決，大多是從聯(lián)想相應(yīng)的為數(shù)學(xué)模型開始的.例7 海灘上的一堆蘋果是五個(gè)猴子的財(cái)產(chǎn)，它們要平均分配.第一個(gè)猴子來(lái)了,它把蘋果平均分成五堆還剩下一個(gè).它把剩下的一個(gè)仍到大海里,自己拿走了一堆;第二個(gè)猴子來(lái)了,它又把蘋果平均分成5堆,又多了一個(gè),它又仍掉一個(gè),拿走了一堆;以后每個(gè)猴子來(lái)了都照此辦理.問(wèn)原來(lái)至少有多少蘋果?最后至少有多少蘋果?解 設(shè)后一個(gè)猴子到來(lái)時(shí)蘋果的數(shù)目為x,而當(dāng)它離去時(shí),剩下的蘋果數(shù)目為y,由x可確定y:這樣就把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)解析式來(lái)討論.若設(shè)最初有x0個(gè)蘋果,第i個(gè)猴子離去時(shí),剩下的蘋果數(shù)為yi,則要使y5取整數(shù)值,x0+4必是55的倍數(shù),故x0的最小正數(shù)解應(yīng)是x0=55-4=3121,y5=45-4=1020.故原來(lái)至少有3121個(gè)蘋果，最后至少有1020個(gè)蘋果.練習(xí)二十七1 兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)的和與積能否同時(shí)為整數(shù)？2 設(shè)a，b，c，m，n，p均為實(shí)數(shù)，且滿足aq-2bn+cm=0與b2-ac0.求證mp-n20.3 求素?cái)?shù)p，使p+10，p+14仍為素?cái)?shù).4 證明2是兩相鄰整數(shù)之積.5 已知xi0（i=1，2，n）且x1+x2+xn=1.求證16 a、b、c、d都是正整數(shù).證明：存在這樣的三角形，它的三邊等于，并計(jì)算三角形的面積.7 證明閔可夫斯基不等式:對(duì)任意2n個(gè)正數(shù)x1,x2,x3,，xn；y1，y2，y3，yn，恒有8 以三個(gè)不同的非零數(shù)字（十進(jìn)位）組成的三位數(shù)，除以這三個(gè)數(shù)字之和.所得商的最小值是多少？9 （1987年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）一直線從左到右順次排列著1897個(gè)點(diǎn)：p1，p2，p1987，已知pk點(diǎn)是線段pk-1pk+1的k等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近pk+1的那個(gè)分點(diǎn)（2k1986）.例如，p5點(diǎn)就線段p4p6的五等分點(diǎn)中最靠近p6的那個(gè)點(diǎn).如果線段p1p2的長(zhǎng)度是1,線段p1986p1987的長(zhǎng)度為l.求證:練習(xí)二十七構(gòu)造一元二次方程構(gòu)造一元二次方程由題設(shè)知方程有實(shí)根，故（）取，作試驗(yàn)，由此猜測(cè)：僅有解然后就