高中數(shù)學(xué) 5.1數(shù)列的概念與簡單表示法課件 理 新人教A版.ppt

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 1 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式和已知前n項和sn求an是高考考查的重點 2 多在解答題中出現(xiàn) 屬中檔題目 1 數(shù)列的定義 分類與通項公式 1 數(shù)列的定義 數(shù)列 按照 排列的一列數(shù) 數(shù)列的項 數(shù)列中的 一定順序 每一個數(shù) 2 數(shù)列的分類 分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 項數(shù) 項與項間的大小關(guān)系 有窮數(shù)列 無窮數(shù)列 遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 常數(shù)列 項數(shù) 項數(shù) an 1 an an 1 an an 1 an 其中n n 有限 無限 3 數(shù)列的通項公式如果數(shù)列 an 的第n項與 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示 那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式 序號n 即時應(yīng)用 1 思考 數(shù)列的通項公式是唯一的嗎 是否每個數(shù)列都有通項公式 提示 不唯一 如數(shù)列 1 1 1 1 的通項公式可以是an 1 n n n 也可以是有的數(shù)列沒有通項公式 2 判斷下列說法是否正確 請在括號中填寫 或 數(shù)列1 3 5 7可表示為 1 3 5 7 數(shù)列1 0 1 2與數(shù)列 2 1 0 1是相同的數(shù)列 數(shù)列的第k項為 數(shù)列0 2 4 6 可記為 2n 解析 由數(shù)列的定義可知 錯誤 數(shù)列的第k項為故 正確 數(shù)列0 2 4 6 的通項公式為an 2n 2 故 錯 綜上知 正確 錯誤 答案 3 若數(shù)列 an 的通項公式為那么這個數(shù)列是 數(shù)列 填 遞增 遞減 擺動 解析 方法一 令在 0 上是增函數(shù) 則數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 方法二 an 1 an 數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 答案 遞增 4 數(shù)列9 99 999 的通項公式an 解析 9 10 1 99 102 1 999 103 1 an 10n 1 答案 10n 1 2 數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列 an 的 或 且任何一項an與它的前一項an 1 或前幾項 間的關(guān)系可以用一個式子來表示 即an f an 1 或an f an 1 an 2 那么這個式子叫做數(shù)列 an 的遞推公式 第一項 前幾項 即時應(yīng)用 1 已知數(shù)列 an 中 a1 1 則a5 2 數(shù)列 an 滿足a1 0 an 1 an 2n 則 an 的通項公式an 解析 1 a1 1 2 由已知 an 1 an 2n 故an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 0 2 4 2 n 1 n n 1 答案 1 2 n n 1 3 an與sn的關(guān)系若數(shù)列 an 的前n項和為sn 則 s1 sn sn 1 即時應(yīng)用 1 數(shù)列 an 的前n項和sn n2 1 則an 2 數(shù)列 an 的前n項和為sn 且a1 1 sn nan 則an 解析 1 當(dāng)n 1時 a1 s1 2 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 n2 1 n 1 2 1 n2 n 1 2 2n 1 將n 1代入an 2n 1得a1 1 2 2 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 nan n 1 an 1 an an 1 n 2 又 a1 1 an 1答案 1 2 1 已知數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式 方法點睛 求數(shù)列的通項時 要抓住以下幾個特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相鄰項的變化特征 3 拆項后的特征 4 各項符號特征等 并對此進行歸納 聯(lián)想 例1 根據(jù)數(shù)列的前幾項 寫出下列各數(shù)列的一個通項公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 解題指南 1 從各項符號和各項絕對值的關(guān)系兩方面考慮 2 從考慮數(shù)列0 8 0 88 0 888 和數(shù)列0 9 0 99 0 999 的關(guān)系著手 3 分子規(guī)律不明顯 從考慮分子與分母的關(guān)系著手 規(guī)范解答 1 符號可通過 1 n表示 后面的數(shù)的絕對值總比前面的數(shù)的絕對值大6 故通項公式為an 1 n 6n 5 2 數(shù)列變?yōu)?3 各項的分母分別為21 22 23 24 易看出第2 3 4項的分子分別比分母少3 因此把第1項變?yōu)樵瓟?shù)列化為 反思 感悟 1 解答本題 3 時有兩個困惑 一是首項的符號 二是各項分子規(guī)律不明顯 解答時從分子與分母的關(guān)系入手 是求解的關(guān)鍵 2 歸納通項公式應(yīng)從以下四個方面著手 1 觀察項與項之間的關(guān)系 2 符號與絕對值分別考慮 3 分開看分子 分母 再綜合看分子 分母的關(guān)系 4 規(guī)律不明顯時適當(dāng)變形 變式訓(xùn)練 根據(jù)數(shù)列的前幾項 寫出各數(shù)列的一個通項公式 1 3 5 7 9 解析 1 各項減去1后為正偶數(shù) an 2n 1 2 每一項的分子比分母少1 而分母組成數(shù)列21 22 23 24 3 各項負正相間 故通項公式中含有因式 1 n 各項絕對值的分母組成數(shù)列 n 分子組成的數(shù)列中 奇數(shù)項為1 偶數(shù)項為3 即奇數(shù)項為2 1 偶數(shù)項為2 1 變式備選 根據(jù)數(shù)列的前4項 寫出數(shù)列的一個通項公式 1 2 5 8 11 2 1 4 9 16 解析 1 a1 3 1 1 2a2 3 2 1 5a3 3 3 1 8a4 3 4 1 11 an 3n 1 2 a1 12 1a2 22 4a3 32 9a4 42 16 an n2 已知sn求an 方法點睛 已知sn求an時應(yīng)注意的問題 1 應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用 分n 1和n 2兩種情況討論 特別注意an sn sn 1中需n 2 2 由sn sn 1 an推得an 當(dāng)n 1時 a1也適合 an式 則需統(tǒng)一 合寫 3 由sn sn 1 an推得an 當(dāng)n 1時 a1不適合 an式 則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示 分寫 即 例2 已知數(shù)列 an 的前n項和sn 分別求它們的通項公式an 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 1 解題指南 解決本題的關(guān)鍵是明確通項公式an與前n項和sn的關(guān)系 利用進行求解 規(guī)范解答 1 由題可知 當(dāng)n 1時a1 s1 2 12 3 1 5 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 當(dāng)n 1時 4 1 1 5 a1 an 4n 1 2 當(dāng)n 1時 a1 s1 3 1 4 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 當(dāng)n 1時 2 31 1 2 a1 反思 感悟 解答此類題目易犯的錯誤是沒有分n 1和n 2兩種情況求解 而是直接根據(jù)an sn sn 1求得an 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列 an 的前n項和為sn 求下列條件下數(shù)列的通項公式 1 sn 2 5n 2 2 sn 2 3n 1 1 解析 1 當(dāng)n 1時 a1 s1 2 5 2 8 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 2 5n 2 2 5n 1 2 8 5n 1 當(dāng)n 1時 8 8 a1 故an 8 5n 1 2 當(dāng)n 1時 a1 s1 1 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 2 3n 1 1 2 3n 2 1 2 3n 1 2 3n 2 2 3n 2 3 1 4 3n 2 當(dāng)n 1時 故數(shù)列 an 的通項公式為 由遞推公式求數(shù)列的通項公式 方法點睛 1 累加法 求an已知a1且an an 1 f n n 2 可以用 累加法 即an an 1 f n an 1 an 2 f n 1 a3 a2 f 3 a2 a1 f 2 所有等式左右兩邊分別相加 代入a1得an 2 累乘法 求an已知a1且可以用 累乘法 即所有等式左右兩邊分別相乘 代入a1得an 提醒 在求解出通項公式后 記得驗證a1是否滿足公式 例3 根據(jù)下列條件 確定數(shù)列 an 的通項公式 1 a1 2 an 1 an ln 1 2 a1 1 nan 1 n 1 an 解題指南 1 求an an 1 累加求和并驗證n 1的情形 2 求累乘求積并驗證n 1的情形 規(guī)范解答 1 an 1 an ln 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1又a1 2適合上式 故an 2 lnn n n 2 a1 1 nan 1 n 1 an 又a1 1適合上式 故an n n n 互動探究 將本例 1 中 an 1 an ln 1 改為 如何求解 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1當(dāng)n 1時 a1 2也適合上式 故 反思 感悟 解答此類題目應(yīng)注意兩個方面的問題 一是何時應(yīng)用 累加 或 累乘 法 可從所給遞推公式的結(jié)構(gòu)上分析 二是如何 累加 或 累乘 這是求通項公式an的關(guān)鍵 應(yīng)注意對 累加 式或 累乘 式的變形 變式備選 求出滿足條件a1 0 an 1 an 2n 1 n n 的數(shù)列的通項公式 解析 由題意得 an an 1 2n 3 n 2 an a1 a2 a1 an an 1 0 1 3 2n 5 2n 3 n 1 2 又a1 0適合上式 所以數(shù)列的通項公式為an n 1 2 易錯誤區(qū) 忽視數(shù)列的項數(shù)n的范圍致誤 典例 2012 武漢模擬 已知數(shù)列 an 滿足a1 33 an 1 an 2n 則的最小值為 解題指南 先用 累加法 求出an 再根據(jù)的單調(diào)性求最小值 規(guī)范解答 an 1 an 2n an an 1 2 n 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33適合上式 an n2 n 33 令令f x 0得 當(dāng)時 f x 0 即f x 在區(qū)間上遞減 在區(qū)間上遞增 又且 f 5 f 6 當(dāng)n 6時 有最小值答案 閱卷人點撥 通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2012 荊州模擬 設(shè)數(shù)列 an 的前n項和sn n2 n 則a7的值為 a 13 b 14 c 15 d 16 解析 選b a7 s7 s6 72 7 62 6 14 2 2012 中山模擬 數(shù)列的第10項是 解析 選c 由已知得數(shù)列的通項公式 3 2012 咸寧模擬 已知數(shù)列 an 若a1 b b