重大電磁場原理習(xí)題習(xí)題(第2章).doc

第二章習(xí)題答案2-2 真空中有一長度為l的細(xì)直線，均勻帶電，電荷線密度為。試計(jì)算P點(diǎn)的電場強(qiáng)度：（1）P點(diǎn)位于細(xì)直線的中垂線上，距離細(xì)直線中點(diǎn)l遠(yuǎn)處；（2）P點(diǎn)位于細(xì)直線的延長線上，距離細(xì)直線中點(diǎn)l遠(yuǎn)處。解：（1）可以看出，線電荷的場以直線的幾何軸線為對稱軸，產(chǎn)生的場為軸對稱場，因此采用圓柱坐標(biāo)系，令z軸與線電荷重合，線電荷外一點(diǎn)的電場與方位角無關(guān)，這樣處取的元電荷，它產(chǎn)生的電場與點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場相同，為：zryl / 2圖2-2長直線電荷周圍的電場l / 2qP其兩個(gè)分量： （1） （2）又 所以： （3）式（3）分別代入式（1）（2）得： ； （4）又 （5）式（5）代入式（4）得：由于對稱性，在z方向 分量互相抵消，故有（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系在x處取元電荷則它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為oxyd xPxR其在x方向的分量為：又 2-4 真空中的兩電荷的量值以及它們的位置是已知的，如題圖2-4所示，試寫出電位和電場的表達(dá)式。解：為子午面場，對稱軸為極軸，因此選球坐標(biāo)系，由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位公式得：題圖2-4又 ， xyobr(b)r0xyod( c)圖2-6(a)2-6 半徑為b的無限長圓柱中，有體密度為的電荷，與它偏軸地放有一半徑為a的無限長圓柱空洞，兩者軸線平行且距離為d，如圖2-6所示，求空洞內(nèi)的電場強(qiáng)度。解：由于空洞存在，電荷分布不具有對稱性，由此產(chǎn)生的場亦無對稱性，因此不能用高斯定律求解。這是可把空洞看作也充滿，使圓柱體內(nèi)無空洞，然后再令空洞中充滿-r，并單獨(dú)作用，分別求出兩種場的分布后疊加即可。設(shè)空洞內(nèi)的電場強(qiáng)度為。第一步 單獨(dú)作用，如圖（b）所示， 由體密度為的電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為，由高斯定理 所以： 第二步 單獨(dú)作用產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為，如圖（c）所示。 第三步 將和在空洞中產(chǎn)生的場進(jìn)行疊加，即注：2-7半徑為 a介電常數(shù)為的介質(zhì)球內(nèi)，已知極化強(qiáng)度 （k為常數(shù)）。試求：（1）極化電荷體密度和面密度 ； （2）自由電荷體密度 ； （3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度。解：(1) ， （2） 因?yàn)槭蔷鶆蚪橘|(zhì)，有 因此 (3) 球內(nèi)電場， （ r a ）或 2-9 用雙層電介質(zhì)制成的同軸電纜如題圖2-9所示，介電常數(shù) , 內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度上所帶電荷分別為和 （1）求兩種電介質(zhì)中以及 和處的電場強(qiáng)度與電通密度；（2）求兩種電介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度；（3）問何處有極化電荷，并求其密度。解：(1)由高斯定理可得：圖2-9電場強(qiáng)度 ， 故 (2) 由 ，得兩種電介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度為(3) 內(nèi)、外導(dǎo)體圓柱表面上和兩種電介質(zhì)交界面上有極化電荷，它們分別是：在處： 在處： 在處：: ABCdddQ題圖2-102-10 有三塊相互平行、面積均為S的薄導(dǎo)體平板，A、B板間的厚度為d的空氣層，B、C板間則是厚度為d的兩層介質(zhì)，它們的介電常數(shù)分別為 和，如題2-10所示。設(shè)A、C兩板接地，B板的電荷為Q，忽略邊緣效應(yīng)，試求：（1） 板間三區(qū)域內(nèi)的電場強(qiáng)度；（2） 兩介質(zhì)交界面上的極化電荷面密度；（3） A、C板各自的自由電荷面密度。解 (1) 在A、C板間的三介質(zhì)區(qū)域內(nèi)，分別為均勻電場，在Q為正電荷時(shí)各電場方向如圖所示，從而有 從而解得（2）在兩介質(zhì)分界面上 （3）在A、C板上的電荷面密度分別為 2-12 如題圖2-12所示球形電容器中，對半地填充有介電常數(shù)分別為和兩種均勻介質(zhì)，兩介質(zhì)交界面是以球心為中心的圓環(huán)面。在內(nèi)、外導(dǎo)體間施加電壓U時(shí)，試求：（1）電容器中的電位函數(shù)和電場強(qiáng)度；（2）內(nèi)導(dǎo)體兩部分表面上的自由電荷密度。解：（1）題圖2-12方法一：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為，外導(dǎo)體帶電荷，選球坐標(biāo)，應(yīng)用高斯定律 由媒質(zhì)分界面條件可知，在兩種介質(zhì)中，所以 （1）令外導(dǎo)體為參考導(dǎo)體，則電位函數(shù)為 （2）將上式帶入（1）（2）得 ， 方法二 ：用靜電場的邊值問題求解，在均勻介質(zhì)1和介質(zhì)2中，電位分別滿足拉普拉斯方程，并且邊界面條件相同，所以可判斷兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)相同，有 取球坐標(biāo)系有 在兩種介質(zhì)中，都與、無關(guān)，所以上式的通解為 有邊界條件解得： 所以 ， (2) 兩種介質(zhì)中的電位移矢量分別為 ， 根據(jù)分界面條件 對于本題，設(shè)媒質(zhì)2為介質(zhì)，媒質(zhì)1為導(dǎo)體，因此有， 則內(nèi)導(dǎo)體兩部分表面上的自由電荷密度為 ，2-16 在半徑分別為a和b（ba）的同軸長圓柱形導(dǎo)體之間，充滿密度為的空間電荷，且內(nèi)、外筒形導(dǎo)體之間的電壓為U，如題圖2-16所示。試用邊值問題的方法求電荷區(qū)內(nèi)的電位函數(shù)。題圖2-16-解：圓柱形導(dǎo)體之間的電位滿足泊松方程，對應(yīng)的邊值問題為在圓柱形坐標(biāo)中電位僅是的函數(shù)，因此泊松方程有如下形式： 上式的通解為由給定的邊界條件確定積分常數(shù)： ， 所以：2-18 兩平行導(dǎo)體平板，相距為d，板的尺寸遠(yuǎn)大于d，一板的電位為零，另一板電位為，兩板間充滿電荷，電荷體密度與距離成正比，即。試求兩板間的電位分布（注：x 0處板的電位為零）。解：兩平行導(dǎo)體平板間的電位滿足泊松方程，忽略邊緣效應(yīng)，在直角坐標(biāo)系對應(yīng)的邊值問題為xoU題圖2-18d 上式泊松方程轉(zhuǎn)化為： 其通解 由給定的邊界條件確定積分常數(shù)： ， 所以： 上式第一項(xiàng)為電源對電位函數(shù)的貢獻(xiàn)，第二項(xiàng)為電荷的貢獻(xiàn)。2-19 在無限大接地導(dǎo)體平面兩側(cè)各有一點(diǎn)電荷和，與導(dǎo)體平面的距離為d，求空間電位的分布。解：因?yàn)槭菬o限大接地導(dǎo)體，所以，當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，接地導(dǎo)體對相當(dāng)于屏蔽作用，當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，接地導(dǎo)體對相當(dāng)于屏蔽作用，所以：單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電位在所在側(cè)，設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離，由鏡像法得： 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電位在所在側(cè)，設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離，由鏡像法得： 2-27 若將某對稱的三芯電纜中三個(gè)導(dǎo)體相連，測得導(dǎo)體與鉛皮間的電容為0.051，若將電纜中的兩導(dǎo)體與鉛皮相連，它們與另一導(dǎo)體間的電容為0.037，求：（1）電纜的各部分電容；（2）每一相的工作電容；（3）若在導(dǎo)體1、2之間加直流電壓100V，求導(dǎo)體每單位長度的電荷量。解：三芯電纜的結(jié)構(gòu)及各部分電容如圖（a）所示（1） 對應(yīng)于兩次測量的等值電容電路分別如圖（b）和圖（c）所示：由圖（b）得： ， 由圖（c）得： 圖（a） 圖（b） 圖（c）圖（d）圖（e）（2） 工作電容是指在一定