高考導數(shù)壓軸題處理集錦

導數(shù)壓軸題題型1. 高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x)exln(xm)（2013全國新課標卷）(1)設x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當m2時，證明f(x)0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定義域為x|x1，f(x)ex，顯然f(x)在(1,0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增(2)證明g(x)exln(x2)，則g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0，所以h(x)是增函數(shù)，h(x)0至多只有一個實數(shù)根，又g()0，所以h(x)g(x)0的唯一實根在區(qū)間內(nèi)，設g(x)0的根為t，則有g(t)et0，所以，ett2et，當x(2，t)時，g(x)g(t)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t0，當m2時，有l(wèi)n(xm)ln(x2)， 所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2已知函數(shù)滿足（2012全國新課標）(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值。（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得 當時，在上單調(diào)遞增 時，與矛盾 當時， 得：當時， 令；則 當時， 當時，的最大值為例3已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（2011全國新課標）（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值范圍。解（） 由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設，由知，當時，h(x)遞減。而 故當時， ，可得；當x（1，+）時，h（x）0從而當x0,且x1時，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）設0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故當x （1，+）時，h（x）0，可得 h（x）0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.例14（創(chuàng)新題型）設函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的極值點,求a的值；()當 a=1時,設P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且PQ/x軸,求P、Q兩點間的最短距離；()若x0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍例15(圖像分析，綜合應用) 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設（）求的值；（）不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；（）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍導數(shù)與數(shù)列例16（創(chuàng)新型問題）設函數(shù)，是的一個極大值點若，求的取值范圍；當是給定的實常數(shù)，設是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由導數(shù)與曲線新題型例17（形數(shù)轉換）已知函數(shù), .(1)若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;(2)在(1)的結論下,設函數(shù)的最小值;(3)設函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作軸的垂線分別交C1、C2于點、,問是否存在點R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標;若不存在,請說明理由.例18（全綜合應用）已知函數(shù).(1)是否存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,若不等式對且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.導數(shù)與三角函數(shù)綜合例19（換元替代，消除三角）設函數(shù)（），其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的極大值和極小值；（）當， 時，若不等式對任意的恒成立,求的值。創(chuàng)新問題積累例20已知函數(shù). I、求的極值. II、求證的圖象是中心對稱圖形.III、設的定義域為,是否存在.當時，的取值范圍是?若存在,求實數(shù)、的值；若不存在，說明理由導數(shù)壓軸題題型歸納 參考答案例1解：(1)時，由，解得. 的變化情況如下表：01-0+0極小值0 所以當時，有最小值.(2)證明：曲線在點處的切線斜率 曲線在點P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.當時，由，即，解得.當時，恒成立，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，,時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，當,函數(shù)單調(diào)遞減；當，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時,恒成立,此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時,函數(shù)在遞減,遞增,遞減.當時，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，（）又當時，與（）矛盾；當時，也與（）矛盾；當時，.綜上，實數(shù)的取值范圍是.例3解：根據(jù)題意，得即解得 所以 令，即得12+增極大值減極小值增2因為，所以當時，則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，所以所以的最小值為4因為點不在曲線上，所以可設切點為則因為，所以切線的斜率為則=，即因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數(shù)解所以函數(shù)有三個不同的零點則令，則或02+增極大值減極小值增則 ，即，解得例4解：， 令（舍去）單調(diào)遞增；當遞減. 上的極大值.由得設，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當且僅當 由令，當上遞增；上遞減，而，恰有兩個不同實根等價于 例5解：a，令得或,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.證明：當時, ,又不妨設 ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又， 即比較與的大小 令,則,在上位增函數(shù)又， ，即 ， 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù) 當， 由在恒成立設，則在上為增函數(shù)，. 當， 由在恒成立設，為增函數(shù),綜上：a的取值范圍為.例6解：（1）,， 即在上恒成立設,，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值.，所以.（2）當時，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因為，所以即,同理.所以又因為當且僅當“”時，取等號.又，,所以,所以，所以：.例7（I）由，因為當時取得極大值，所以，所以；（II）由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得：所以函數(shù)的解析式是： （III）對任意的實數(shù)都有在區(qū)間-2，2有：函數(shù)上的最大值與最小值的差等于81，所以例8解：（），當時，在上恒成立，函數(shù) 在 單調(diào)遞減，在上沒有極值點；當時，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點 （）函數(shù)在處取得極值， 令，可得在上遞減，在上遞增，即（）證明：， 令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增 ，即，在上單調(diào)遞增，即，當時，有 例9 解：（I）的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點坐標為（1，0），的方程為又與函數(shù)的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個相等的實數(shù)根，解之，得m=4或m=-2， （II）由（I）可知，單調(diào)，當時，單減。，取最大值，其最大值為2。 （III）證明，當時，例10解：（1）函數(shù)的定義域是由已知令，得因為當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可知當，即時，在上單調(diào)遞增，所以當時，在上單調(diào)遞減，所以當，即時，綜上所述，（3）由（1）知當時所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立因此對任意恒有因為，所以，即因此對任意，不等式例11解：（）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 函數(shù)在處取得極大值，故. （）令， 則.函數(shù)在上可導，存在，使得.，當時，單調(diào)遞增，；當時，單調(diào)遞減，；故對任意，都有. （）用數(shù)學歸納法證明.當時，且，由（）得，即，當時，結論成立. 假設當時結論成立，即當時，. 當時，設正數(shù)滿足，令， 則，且. 當時，結論也成立.綜上由，對任意，結論恒成立. 例12 解：當時，當，故函數(shù)在上是增函數(shù)，當，若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時若，當時,；當時，此時是減函數(shù)；當時，此時是增函數(shù)故若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當時，從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是例13 解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當，令，故在（1，0）上是減函數(shù)，即，故此時在（1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當x0時，恒成立，令又k為正整數(shù)，k的最大值不大于3下面證明當k=3時，恒成立當x0時 恒成立 令，則，當當取得最小值當x0時， 恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例14解：()F(x)= ex+sinxax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以. 又當a=2時,若x0, .x=0是F(x)的極小值點, a=2符合題意. () a=1, 且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當x0時恒成立.x0,+時,h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令則.因為當x0時恒成立, 所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, S(x)S(0)=0當x0,+時恒成立; 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, 當x0,+時恒成立.當a2時,在0,+單調(diào)遞增,即.故a2時F(x)F(x)恒成立. 例15 解:（）(1) 當時，上為增函數(shù) 故 當上為減函數(shù)故 即. .（）方程化為，令， 記 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個不同的實數(shù)解，由的圖像知，有兩個根、， 且 或 ， 記則 或 例16 解： （）時，令，設是的兩個根， （1）當或時，則不是極值點，不合題意； （2）當且時，由于是的極大值點，故 ，即，()解：，令，于是，假設是的兩個實根，且由（）可知，必有，且是的三個極值點，則，假設存在及滿足題意，（1）當?shù)炔顣r，即時，則或，于是，即此時或 （2）當時，則或若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時，此時=若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時此時綜上所述，存在b滿足題意，當b=a3時，時，時，.例17解:(1)依題意:在(0,+)上是增函數(shù), 對x(0,+)恒成立, (2)設 當t=1時,ym i n=b+1; 當t=2時,ymi n=4+2b 當?shù)淖钚≈禐?(3)設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率為 C2在點N處的切線斜率為 假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則 設 這與矛盾,假設不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行 例18 (1)假設存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上,則函數(shù)圖像的對稱中心為. 由,得, 即對恒成立,所以解得 所以存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一點關于點M對稱的點也在函數(shù)的圖像上. (2)由(1)得. 令,則. 因為, 所以, 由+得,所以. 所以. (3)由(2)得,所以. 因為當且時,. 所以當且時,不等式恒成立. 設,則. 當時,在上單調(diào)遞減; 當時,在上單調(diào)遞增. 因為,所以, 所以當且時,. 由,得,解得. 所以實數(shù)的取值范圍是.例19 解：當時，得，且，所以，曲線在點處的切線方程是，整理得（）解：令，解得或由于，以下分兩種情況討論（1）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且（2）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且（）證明：由，得，當時，由（）知，在上是減函數(shù)，要使，只要，即設，則函數(shù)在上的最大值為要使式恒成立，必須，即或所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立例20 (I) .注意到,得，解得