主成分分析計算方法和步驟

主成分分析計算方法和步驟：在對某一事物或現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)證研究時,為了充分反映被研究對象個體之間的差異, 研究者往往要考慮增加測量指標(biāo) ,這樣就會增加研究問題的負(fù)載程度。但由于各指標(biāo)都是對同一問題的反映, 會造成信息的重疊,引起變量之間的共線性, 因此, 在多指標(biāo)的數(shù)據(jù)分析中 ,如何壓縮指標(biāo)個數(shù)、壓縮后的指標(biāo)能否充分反映個體之間的差異 ,成為研究者關(guān)心的問題。而主成分分析法可以很好地解決這一問題。主成分分析的應(yīng)用目 的可以簡單地歸結(jié)為 : 數(shù)據(jù)的壓縮、數(shù)據(jù)的解釋。它常被用來尋 找和判斷某種事物或現(xiàn)象的綜合指標(biāo) ,并 且對綜合指標(biāo)所包含的信息給予適當(dāng)?shù)慕忉?, 從而更加深刻地揭示事物的內(nèi)在規(guī)律。主成分分析的基本步驟分為: 對原始指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,以消除變量在數(shù)量極或量 綱上的影響 ;根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣求出相關(guān)系數(shù)矩陣r;求出r矩陣的特征根和特征向量 ; 確定主成分 ,結(jié)合專業(yè)知識對各主成分所蘊(yùn)含的信 息給予適當(dāng)?shù)慕忉?合成主成分 ,得到綜合評價值。結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析本題分析的是全國各個省市高?？冃гu價，利用全國 2014 年的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù) (見附錄)，從相關(guān)的指標(biāo)數(shù)據(jù)我們無法直接評價我國各省市的高等教育績效，而通過表 5-6 的相關(guān)系數(shù)矩陣，可以看到許多的變量之間的相關(guān)性很高。如：招生人數(shù)與教職工人數(shù)之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，教育投入經(jīng)費(fèi)和招生人數(shù)也具有較強(qiáng)的相關(guān)性，教工人數(shù)與本科院校數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)最高，到達(dá)了0.963 ，而各組成成分之間的相關(guān)性都很高，這也充分說明了主成分分析的必要性。表 5-6相關(guān)系數(shù)矩陣本科院校數(shù)招生人數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入相關(guān)性師生比0.2790.3290.252重點(diǎn)高校數(shù)0.3450.2040.310教工人數(shù)0.9630.9540.896本科院校數(shù)1.0000.9380.881招生人數(shù)0.9381.0000.893教育經(jīng)費(fèi)投0.8810.8931.000入師生比重點(diǎn)高校數(shù)教工人數(shù)相關(guān)性師生比1.000-0.2180.208重點(diǎn)高校數(shù)-0.2181.0000.433教工人數(shù)0.2080.4331.000本科院校數(shù)0.2790.3450.963招生人數(shù)0.3290.2040.954教育經(jīng)費(fèi)投0.2520.3100.896入（元）表 5-7 給出的是各主成分的方差貢獻(xiàn)率和累計貢獻(xiàn)率，我們選取主成分的標(biāo)準(zhǔn)有 兩個：第一，特征根大于1，因?yàn)椋绻卣鞲∮?，說明該主成分的解釋力 度太弱， 還比不上直接引入一個原始變量的平均解釋力度大；第二， 方差貢獻(xiàn)率大于 85% ，如果這兩個標(biāo)準(zhǔn)不能同時符合要求,則往往是因?yàn)檫x擇的指標(biāo)不合理 或者樣本容量太小 ,應(yīng)繼續(xù)調(diào)整。 表 5-7 還顯示， 只有前 2 個特征根大于 1，因此spss 只提取了前兩個主成分，而這兩個主成分的方差貢獻(xiàn)率達(dá)到了87.081% ， 因此選取前兩個主成分已經(jīng)能夠很好地描述我國高等教育地區(qū)現(xiàn)狀。元件合計方差的貢獻(xiàn)率 %累加貢獻(xiàn)率 %合計方差的貢獻(xiàn)率 %累加貢獻(xiàn)率%13.98366.39066.3903.98366.39066.39021.24120.69187.0811.24120.69187.08130.5719.50896.589.5719.50896.58940.1402.33598.925.1402.33598.92550.0520.86999.794.0520.86999.79460.0120.206100.000.0120.206100.000表5-8 為輸出的主成分系數(shù)矩陣,可以說明各主成分在各變量上的載荷。由表5-8可以看出 ,標(biāo)準(zhǔn)化后的第一主成分 (簡稱 f1 )對所有變量都有載荷 ,且載荷絕對值幾乎都在 0.7以上, 因此可以說第一主成分是對人口結(jié)構(gòu)的度量,代表了一個地區(qū)人口結(jié)構(gòu)狀況 ,可以稱之為“綜合因子”。在綜合因子中,平均每戶人口，農(nóng)業(yè)與非農(nóng)業(yè)人口比例， 人口的自然增長率比重即人口自然增長各指標(biāo)具有較強(qiáng)的作用,人與經(jīng)濟(jì)等其他指標(biāo)所起的作用次之,男女比例也起一定作用。第二主成分(簡稱f2 )對重點(diǎn)高校數(shù)和教工人數(shù)具有負(fù)載荷,其他變量具有正載荷 ,并且除師生比和重點(diǎn)高校數(shù)載荷絕對值均小于0.2, 有的甚至接近于0.1。因此 ,第二個主成分只是匯集了第一主成分遺漏的部分信息,我們稱之為“輔助 因子”。表5-8 主成分矩陣f1f2師生比0.3170.799重點(diǎn)高校數(shù)0.396-0.759教工人數(shù)0.984-0.095本科院校數(shù)0.9730.005招生人數(shù)0.9640.131教育經(jīng)費(fèi)投0.9390.011入重點(diǎn)高校數(shù).099-.612教工人數(shù).247-.077本科院校數(shù).244.004招生人數(shù).242.106教育經(jīng)費(fèi)投.236.009入根據(jù)表 5-9 可以得到各主成分的表達(dá)式f1 =0.079 x10.099 x20.247 x30.244x40.242 x50.236 x6f20.643x10.612 x20.077 x30.004 x40.106x50.009x6把變量分別代入以上表達(dá)式，可以得出f1 和f2 兩個主成分得分，但單獨(dú)一個主成分不能很好地評價十個地區(qū)人口結(jié)構(gòu)的情況，因此需要按照各主成分對應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)計算綜合統(tǒng)計f，（ f0.6639f10.20691f2）0.87081主成分分析法的優(yōu)點(diǎn)：1、 可消除評價指標(biāo)之間的相關(guān)影響因?yàn)橹鞒煞址治鲈趯υ笜?biāo)變量進(jìn)行變 換后形成了彼此相互獨(dú)立的主成分，而且實(shí)踐證明指標(biāo)之間相關(guān)程度越高，主成分分析效果越好。2、 可減少指標(biāo)選擇的工作量對于其它評價方法，由于難以消除評價指標(biāo)間的相關(guān)影響，所以選擇指標(biāo)時要花費(fèi)不少精力，而主成分分析由于可以消除這種相關(guān)影響，所以在指標(biāo)選擇上相對容易些。3、 當(dāng)評級指標(biāo)較多時還可以在保留絕大部分信息的情況下用少數(shù)幾個綜合指標(biāo)代替原指標(biāo)進(jìn)行分析主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問題時， 可以舍棄一部分主成分， 只取前后方差較大的幾個主成分來代表原變量，從而減少了計