立體幾何之三棱錐知識(shí)要點(diǎn).doc

三棱錐定義 幾何體，錐體的一種，由四個(gè)三角形組成，亦稱為四面體。底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐稱作正三棱錐；而由四個(gè)全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。三棱錐有六條棱長(zhǎng)，四個(gè)頂點(diǎn)，四個(gè)面。相關(guān)計(jì)算h為底高（法線長(zhǎng)度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長(zhǎng)有：三棱錐棱錐的側(cè)面展開圖是由4個(gè)三角形組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側(cè)面積，則 ：(其中Si,i= 1,2為第i個(gè)側(cè)面的面積）S全=S棱錐側(cè)+S底S正三棱錐=1/2CL+S底V=S(底面積)H(高)3三棱錐體積公式一個(gè)三棱柱中的三個(gè)等體積的三棱錐：h為底高（法線長(zhǎng)度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長(zhǎng)三棱錐的底面面積S加頂點(diǎn)A面積0除以2的平均面積1/2S的一個(gè)三棱柱乘以高h(yuǎn),就是三棱錐體積：V=1/2（S+0）h=1/2ShS面積三角形AC乘h除以2三棱錐公式 海倫秦九韶體積公式任意一個(gè)三棱錐或者說四面體，其棱為a，b，c，d，e，f，其中a與d，b與e，c與f互為對(duì)邊，那么有三棱錐（四面體）的體積公式為內(nèi)切球心正三棱錐內(nèi)切球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處相關(guān)計(jì)算：因?yàn)檎忮F底面為正三角形，所以高線位于任意頂點(diǎn)與底邊中點(diǎn)連線，又三線合一，所以重心位于高線距頂點(diǎn)2/3處，即可算出頂點(diǎn)與重心的距離，又知正三棱錐邊長(zhǎng)，即可根據(jù)勾股定理算出圓心所在直線（即頂點(diǎn)與底面重心的連線）的長(zhǎng)度，即可算出底面與球心的距離（即內(nèi)切球半徑）。一般的三棱錐內(nèi)切球心在四個(gè)面上的射影與四個(gè)面的重心重合，據(jù)此可確定球心位置。外接球心正三棱錐外接球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處相關(guān)計(jì)算：和計(jì)算內(nèi)切球心一樣算出圓心所在直線（即頂點(diǎn)與底面重心的連線）的長(zhǎng)度，即可算出頂點(diǎn)與球心的距離（即外接球半徑）。一般的三棱錐外切球心在四個(gè)面上的射影與四個(gè)面的外心重合，據(jù)此可確定球心位置。與棱相切的球心正三棱錐的與棱相切的球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處（正三棱錐三心重合）一般的三棱錐與四條棱都相切的球心在四個(gè)面上的射影與四個(gè)面的內(nèi)心重合，據(jù)此可確定球心位置。三棱錐頂點(diǎn)射影與底面三角形的“心”設(shè)有三棱錐P-ABC，P在平面ABC上的射影為O， 外心當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成角相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形外內(nèi)心當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。當(dāng)三棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。旁心當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。當(dāng)三棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。垂心當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直（或每條側(cè)棱都與所對(duì)的側(cè)面垂直）時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。當(dāng)三棱錐有兩條側(cè)棱與對(duì)應(yīng)的對(duì)邊垂直時(shí)，第三組側(cè)棱與對(duì)邊也垂直，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。重心當(dāng)三棱錐的三個(gè)側(cè)面在底面上的射影面積相等時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的重心。正四面體定義正四面體是由四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長(zhǎng)都相等。它有4個(gè)面，6條棱，4個(gè)頂點(diǎn)。正四面體是最簡(jiǎn)單的正多面體。正三棱錐正四面體屬于正三棱錐，但是正三棱錐只需要底面為正三角形，其他三個(gè)面是全等的等腰三角形就可以，不需要四個(gè)面全等且都是等邊三角形。因此，正四面體又是特殊的正三棱錐。基本性質(zhì)正四面體是一種柏拉圖多面體，正四面體與自身對(duì)偶。正四面體的重心、四條高的交點(diǎn)、外接球、內(nèi)切球球心共點(diǎn)，此點(diǎn)稱為中心。正四面體有一個(gè)在其內(nèi)部的內(nèi)切球和七個(gè)與四個(gè)面都相切的旁切球，其中有三個(gè)旁切球球心在無窮遠(yuǎn)處。正四面體有四條三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，六個(gè)對(duì)稱面。正四面體可與正八面體填滿空間，在一頂點(diǎn)周圍有八個(gè)正四面體和六個(gè)正八面體。正四面體的對(duì)邊相互垂直。相關(guān)數(shù)據(jù)當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為a時(shí)，一些數(shù)據(jù)如下：高：6a/3。中心把高分為1:3兩部分。表面積：3a2體積：2a3/12對(duì)棱中點(diǎn)的連線段的長(zhǎng)：2a/2外接球半徑：6a/4，正四面體體積占外接球體積的2*30.5/9*，約12.2517532%。內(nèi)切球半徑：6a/12，內(nèi)切球體積占正四面體體積的*30.5/18，約30.2299894%。棱切球半徑：2a/4.如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體。正棱錐（1）正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；正四面體（2）正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形；（3）正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等