中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練【幾何綜合題】(幾何)精品解析

精品文檔 1歡迎下載 中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練 幾何綜合題 幾何 幾何 精品解析精品解析 在中考中 幾何綜合題主要考察了利用圖形變換 平移 旋轉(zhuǎn) 軸對稱 證明線段 角的數(shù)量關(guān)系及動態(tài)幾何問題 學(xué)生通常需要在熟悉基本幾何圖形及其輔助線添加的基礎(chǔ) 上 將幾何綜合題目分解為基本問題 轉(zhuǎn)化為基本圖形或者可與基本圖形 方法類比 從 而使問題得到解決 在解決幾何綜合題時 重點(diǎn)在思路 在老師講解及學(xué)生解題時 對于較復(fù)雜的圖形 根據(jù)題目敘述重復(fù)繪圖過程可以幫助學(xué)生分解出基本條件和圖形 將新題目與已有經(jīng)驗(yàn)建 立聯(lián)系從而找到思路 之后繪制思路流程圖往往能夠幫助學(xué)生把握題目的脈絡(luò) 在做完題 之后 注重解題反思 總結(jié)題目中的基本圖形及輔助線添加方法 將題目歸類整理 對于 典型的題目 可以解析題目條件 通過拓展題目條件或改變條件 給出題目的變式 從而 對于題目及相應(yīng)方法有更深入的理解 同時 在授課過程中 將同一類型的幾何綜合題成 組出現(xiàn) 分析講解 對學(xué)生積累對圖形的 感覺 有一定幫助 一 考試說明要求 圖形與證明中要求 會用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理 圖形的認(rèn)識中要求 會運(yùn)用幾何圖形的相關(guān)知識和方法 兩點(diǎn)之間的距離 等腰三角 形 等邊三角形 直角三角形的知識 全等三角形的知識和方法 平行四邊形的知識 矩 形 菱形和正方形的知識 直角三角形的性質(zhì) 圓的性質(zhì) 解決有關(guān)問題 能運(yùn)用三角函 數(shù)解決與直角三角形相關(guān)的簡單實(shí)際問題 能綜合運(yùn)用幾何知識解決與圓周角有關(guān)的問題 能解決與切線有關(guān)的問題 圖形與變換中要求 能運(yùn)用軸對稱 平移 旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題 二 基本圖形及輔助線 解決幾何綜合題 是需要厚積而薄發(fā) 所謂的 幾何感覺 是建立在足夠的知識積 累的基礎(chǔ)上的 熟悉基本圖形及常用的輔助線 在遇到特定條件時能夠及時聯(lián)想到對應(yīng)的 模型 找到 新 問題與 舊 模型間的關(guān)聯(lián) 明確努力方向 才能進(jìn)一步綜合應(yīng)用數(shù)學(xué) 知識來解決問題 在中檔幾何題目教學(xué)中注重對基本圖形及輔助線的積累是非常必要的 舉例 舉例 1 與相似及圓有關(guān)的基本圖形 C A BC B C B CB A B C CB A O A BC C B B O A BC O B C A BC E D A BC O D C A B O D A CBEO F E C A BD F D C B A E G 精品文檔 2歡迎下載 2 正方形中的基本圖形 3 基本輔助線 1 角平分線 過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線 角平分線的性質(zhì) 翻折 2 與中點(diǎn)相關(guān) 倍長中線 八字全等 中位線 直角三角形斜邊中線 3 共端點(diǎn)的等線段 旋轉(zhuǎn)基本圖形 60 90 構(gòu)造圓 垂直平分線 角平分線 翻折 轉(zhuǎn)移線段 平移基本圖形 線段 線段間有特殊關(guān)系時 翻折 4 特殊圖形的輔助線及其遷移 梯形的輔助線 什么時候需要這樣添加 等 作雙高 上底 下底 高 腰 等腰梯形 三推一 面積 銳角三角函數(shù) 平移腰 上下底之差 兩底角有特殊關(guān)系 延長兩腰 梯形 三角形 平移對角線 上下底之和 對角線有特殊位置 數(shù)量關(guān)系 注 在繪制輔助線時要注意同樣輔助線的不同說法 可能會導(dǎo)致解題難度有較大差異 三 題目舉例 一一 基本圖形與輔助線的添加基本圖形與輔助線的添加 例 1 已知 平分ACMAN 1 在圖 1 中 若 填寫 120MAN 90ADCABCACADAB 或 或 2 在圖 2 中 若 則 1 中結(jié)論是否仍然 120MAN 180ADCABC 成立 若成立 請給出證明 若不成立 請說明理由 3 在圖 3 中 若 判斷與的數(shù)量關(guān)系 并說 60MAN 180ADCABCADAB AC 明理由 若 則 1800 MAN 180ADCABC 用含的三角函數(shù)表示 直接寫出結(jié)果 不必證明 ACADAB F E A B D C 精品文檔 3歡迎下載 解 1 AB AD AC 1 分 2 仍然成立 證明 如圖 2 過 C 作 CE AM 于 E CF AN 于 F 則 CEA CFA 90 AC 平分 MAN MAN 120 MAC NAC 60 又 AC AC AEC AFC AE AF CE CF 在 Rt CEA 中 EAC 60 ECA 30 AC 2AE AE AF 2AE AC ED DA AF AC ABC ADC 180 CDE ADC 180 CDE CBF 又 CE CF CED CFB CED CFB ED FB FB DA AF AC AB AD AC 4 分 3 AB AD AC 3 證明 如圖 3 方法同 2 可證 AGC AHC AG AH MAN 60 GAC HAC 30 AG AH AC AG AH AC 2 3 3 GD DA AH AC 3 方法同 2 可證 GDC HBC GD HB HB DA AH AC 3 AD AB AC 3 6 分 AB AD AC 7 2 cos2 分 例 2 已知 中 中 AOB 2ABOB COD 3CDOC 連接 點(diǎn) 分別為 的中點(diǎn) ABODCO ADBCMNPOAODBC P N M D C BA O P N M DC A B O N M A C B D F E M N A D C BH G 精品文檔 4歡迎下載 圖 1 圖 2 1 如圖 1 若 三點(diǎn)在同一直線上 且 則的形狀是AOC60ABO PMN 此時 AD BC 2 如圖 2 若 三點(diǎn)在同一直線上 且 證明 AOC2ABO PMNBAO 并計算的值 用含的式子表示 AD BC 3 在圖 2 中 固定 將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 直接寫出的最大值 AOB COD OPM 例 3 在 Rt ABC 中 ACB 90 tan BAC 點(diǎn) D 在邊 AC 上 不與 A C 重合 連 1 2 結(jié) BD F 為 BD 中點(diǎn) 1 若過點(diǎn) D 作 DE AB 于 E 連結(jié) CF EF CE 如圖 1 設(shè) 則 k CFkEF 2 若將圖 1 中的 ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn) 使得 D E B 三點(diǎn)共線 點(diǎn) F 仍為 BD 中點(diǎn) 如 圖 2 所示 求證 BE DE 2CF 3 若 BC 6 點(diǎn) D 在邊 AC 的三等分點(diǎn)處 將線段 AD 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn) 點(diǎn) F 始終為 BD 中 點(diǎn) 求線段 CF 長度的最大值 解 1 k 1 2 分 2 如圖 2 過點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G 設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q 由題意 tan BAC 1 2 1 2 BCDE ACAE D E B三點(diǎn)共線 AE DB BQC AQD ACB 90 QBC EAQ ECA ACG 90 BCG ACG 90 BC A D E F B D E A F CB A C 1圖2圖備圖 2圖 B D E A F C G Q 精品文檔 5歡迎下載 ECA BCG BCGACE GB DE 1 2 BCGB ACAE F是BD中點(diǎn) F是EG中點(diǎn) 在中 5 分RtECG 1 2 CFEG 2BEDEEGCF 3 情況 1 如圖 當(dāng)AD 時 取AB的中點(diǎn)M 連結(jié)MF和CM 1 3 AC ACB 90 tan BAC 且BC 6 1 2 AC 12 AB 6 5 M為AB中點(diǎn) CM 3 5 AD 1 3 AC AD 4 M為AB中點(diǎn) F為BD中點(diǎn) FM 2 1 2 AD 當(dāng)且僅當(dāng)M F C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時CF最大 此時CF CM FM 6 分23 5 情況 2 如圖 當(dāng)AD 時 取AB的中點(diǎn)M 2 3 AC 連結(jié)MF和CM 類似于情況 1 可知CF的最大值為 7 分43 5 綜合情況 1 與情況 2 可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的 三等分點(diǎn)時 線段CF的長度取得最大值為 8 分43 5 二 直角三角形斜邊中線 二 直角三角形斜邊中線 四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓 例 4 已知 在 ABC中 ABC 90 點(diǎn)E在直線AB上 ED與直線AC垂直 垂足為D 且點(diǎn)M為EC中點(diǎn) 連接BM DM 1 如圖 1 若點(diǎn)E在線段AB上 探究線段BM與DM及 BMD與 BCD所滿足 的數(shù)量關(guān)系 并直接寫出你得到的結(jié)論 2 如圖 2 若點(diǎn)E在BA延長線上 你在 1 中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化 寫出 你的猜想并加以證明 3 若點(diǎn)E在AB延長線上 請你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形 并直接寫出線段BM 與DM及 BMD與 BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系 圖 1 圖 2 B E D A M C E B A CD M B E D A M C E B A CD M A D M F CB A D F C M B 精品文檔 6歡迎下載 三 倍長過中點(diǎn)的線段 三 倍長過中點(diǎn)的線段 例 5 請閱讀下列材料 問題 如圖 1 在菱形和菱形中 點(diǎn)在同一條直線上 是線段ABCDBEFGABE P 的中點(diǎn) 連結(jié) 若 探究與的位置關(guān)系及DFPGPC 60ABCBEF PGPC 的值 PG PC 小聰同學(xué)的思路是 延長交于點(diǎn) 構(gòu)造全等三角形 經(jīng)過推理使問題得到解GPDCH 決 請你參考小聰同學(xué)的思路 探究并解決下列問題 1 寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值 PGPC PG PC 2 將圖 1 中的菱形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 使菱形的對角線恰好與菱形BEFGBBEFGBF 的邊在同一條直線上 原問題中的其他條件不變 如圖 2 你在 1 中得到ABCDAB 的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化 寫出你的猜想并加以證明 3 若圖 1 中 將菱形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)任2 090 ABCBEF BEFGB 意角度 原問題中的其他條件不變 請你直接寫出的值 用含的式子表示 PG PC 解 1 線段與的位置關(guān)系是 PGPC PG PC 四 共端點(diǎn)的等線段 旋轉(zhuǎn) 四 共端點(diǎn)的等線段 旋轉(zhuǎn) 例 6 如圖 1 在 ABCD中 AE BC于E E恰為BC的中點(diǎn) 2tan B 1 求證 AD AE 2 如圖 2 點(diǎn)P在BE上 作EF DP于點(diǎn)F 連結(jié)AF 求證 AFEFDF2 3 請你在圖 3 中畫圖探究 當(dāng)P為射線EC 上任意一點(diǎn) P不與點(diǎn)E重合 時 作 EF DP于點(diǎn)F 連結(jié)AF 線段DF EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 直接寫出 你的結(jié)論 D A B E F C P G 圖 1 D C G P AB E F 圖 2 精品文檔 7歡迎下載 證明 1 在 Rt ABE中 AEB 90 2tan BE AE B 1 分BEAE2 E為BC的中點(diǎn) BEBC2 AE BC ABCD是平行四邊形 AD BC AE AD 2 分 2 在DP上截取DH EF 如圖 8 四邊形ABCD是平行四邊形 AE BC EAD 90 EF PD 1 2 ADH AEF AD AE ADH AEF 4 分 HAD FAE AH AF FAH 90 在 Rt FAH中 AH AF AFFH2 即 5 分AFEFFDHDFDFH2 AFEFDF2 3 按題目要求所畫圖形見圖 9 線段DF EF AF之間的數(shù)量關(guān)系為 AFEFDF2 五 利用平移變換轉(zhuǎn)移線段 類比梯形平移對角線 五 利用平移變換轉(zhuǎn)移線段 類比梯形平移對角線 例 7 我們給出如下定義 若一個四邊形的兩條對角線相等 則稱這個四邊形為等對角線 四邊形 請解答下列問題 1 寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱 2 探究 當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為 60 時 這對 60 角所對的 兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系 并證明你的結(jié)論 利用平移變換轉(zhuǎn)移線段 作圖 8 2011 西城一模 25 在 Rt ABC中 C 90 D E分 別為CB CA延長線上的點(diǎn) BE與AD的交點(diǎn)為P 1 若BD AC AE CD 在圖 1 中畫出符合題意的圖形 并直接寫出 APE的度數(shù) 2 若 求 APE的度數(shù) 3ACBD 3CDAE 解 1 如圖9 APE 45 圖 1 E BC A D 圖 3 EBC AD 圖 2 E CB A D F P H E CB AD F P 2 1 圖 8 E C B A F P D 圖 9 H 精品文檔 8歡迎下載 2 分 2 解法一 如圖 10 將AE平移到DF 連接BF EF 3 分 則四邊形AEFD是平行四邊形 AD EF AD EF 3ACBD 3CDAE 3 BD AC 3 DF CD AE CD 4 分 ACCD BDDF C 90 18090BDFC C BDF ACD BDF 5 分 1 2 3 ADAC BFBD 3 EFAD BFBF 1 3 90 2 3 90 BF AD BF EF 6 分 在 Rt BEF中 3 tan 3 BF BEF EF APE BEF 30 7 分 解法二 如圖 11 將CA平移到DF 連接AF BF EF 3 分 則四邊形ACDF是平行四邊形 C 90 四邊形ACDF是矩形 AFD CAF 90 1 2 90 在 Rt AEF中 3 tan3 3 AEAE AFCD 在 Rt BDF中 3 tan1 3 BDBD DFAC 3130 3 2 1 2 90 即 EFB 90 AFD EFB 4 分 又 3 2 DFAF BFEF 圖 10 圖 11 圖 9 精品文檔 9歡迎下載 ADF EBF 5 分 4 5 6 分 APE 4 3 5 APE 3 30 7 分 六 翻折全等 六 翻折全等 等腰 與角平分線類比 等腰 與角平分線類比 例 9 我們知道 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形 類 似地 我們定義 至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊 四邊形 1 請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖 形的名稱 2 如圖 在中 點(diǎn)分別在上 設(shè)ABC DE ABAC 相交于點(diǎn) 若 請你寫出圖中一個與CDBE O60A 1 2 DCBEBCA 相等的角 并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形 A 3 在中 如果是不等于的銳角 點(diǎn)分別在上 且ABC A 60 DE ABAC 探究 滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形 并證明 1 2 DCBEBCA 你的結(jié)論 解 1 回答正確的給 1 分 如 平行四邊形 等腰梯形等 2 答 與 A 相等的角是 BOD 或 COE 四邊形 DBCE 是等對邊四邊形 3 答 此時存在等對邊四邊形 是四邊形 DBCE 證法一證法一 如圖 1 作 CG BE 于 G 點(diǎn) 作 BF CD 交 CD 延長線于 F 點(diǎn) 因?yàn)?DCB EBC 1 2 A BC 為公共邊 所以 BCF CBG 所以 BF CG 因?yàn)?BDF ABE EBC DCB BEC ABE A 所以 BDF BEC 可證 BDF CEG 所以 BD CE 所以四邊形 DBCE 是等邊四邊形 證法二證法二 如圖 2 以 C 為頂點(diǎn)作 FCB DBC CF 交 BE 于 F 點(diǎn) 因?yàn)?DCB EBC 1 2 A BC 為公共邊 所以 BDC CFB 所以 BD CF BDC CFB 所以 ADC CFE 因?yàn)?ADC DCB EBC ABE FEC A ABE 所以 ADC FEC 所以 FEC CFE 所以 CF CE 所以 BD CE B O A D E C B O A D D E C F B O A D D E C F G 精品文檔 10歡迎下載 所以四邊形 DBCE 是等邊四邊形 說明 當(dāng)當(dāng)ABAB ACAC時 時 BDBD CECE仍成立 只有此證法 只給仍成立 只有此證法 只給 1 1 分 分 二 從題目中獲得方法的啟發(fā) 類比解決問題二 從題目中獲得方法的啟發(fā) 類比解決問題 一 由角平分線啟發(fā)翻折 垂線 例 1 如圖 OP是 MON的平分線 請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全 等三角形 請你參考這個作全等三角形的方法 解答下列問題 1 如圖 在 ABC中 ACB是直角 B 60 AD CE分別是 BAC BCA的 平分線 AD CE相交于點(diǎn)F 請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系 2 如圖 在 ABC中 如果 ACB不是直角 而 1 中的其它條件不變 請問 你 在 1 中所得結(jié)論是否仍然成立 若成立 請證明 若不成立 請說明理由 解 圖略 1 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系為 FE FD 2 答 1 中的結(jié)論 FE FD 仍然成立 證法一 證法一 如下圖 在 AC 上截取 AG AE 連結(jié) FG 因?yàn)?1 2 AF 為公共邊 可證 AEF AGF 所以 AFE AFG FE FG 由 B 60 AD CE 分別是 BAC BCA 的平分線 可得 2 3 60 所以 AFE CFD AFG 60 所以 CFG 60 由 3 4 及 FC 為公共邊 可得 CFG CFD 所以 FG FD 所以 FE FD 證法二 證法二 如下圖 過點(diǎn) F 分別作 FG AB 于點(diǎn) G FH BC 于點(diǎn) H 因?yàn)?B 60 且 AD CE 分別是 BAC BCA 的平分線 所以可得 2 3 60 F 是 ABC 的內(nèi)心 所以 GEF 60 1 FG FH 又因?yàn)?HDF B 1 所以 GEF HDF 因此可證 EGF DHF 所以 FE FD 二 啟發(fā)利用重心分中線 中點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容 二 啟發(fā)利用重心分中線 中點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容 例 2 我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心 經(jīng)過證明我們可得三角形重心 具備下面的性質(zhì) 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離之比為 2 1 請你 精品文檔 11歡迎下載 m M O FE D C B A 用此性質(zhì)解決下面的問題 已知 如圖 點(diǎn)為等腰直角三角形的重心 直線過點(diǎn) 過OABC 90 CABmO 三點(diǎn)分別作直線的垂線 垂足分別為點(diǎn) CBA mFED 1 當(dāng)直線與平行時 如圖 1 請你猜想線段和三者之間的數(shù)量mBCCFBE AD 關(guān)系并證明 2 當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不平行時 分別探究在圖 2 圖 3 這兩種情況下 mOBC 上述結(jié)論是否還成立 若成立 請給予證明 若不成立 線段三者之間CFBEAD 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請寫出你的結(jié)論 不需證明 解 1 猜想 BE CF AD 1 分 證明 如圖 延長 AO 交 BC 于 M 點(diǎn) 點(diǎn)為等腰直角三角形的重心OABC AO 2OM 且 AM BC 又 EF BC AM EF BE EF CF EF EB OM CF EB OM CF EB CF 2OM AD 3 分 2 圖 2 結(jié)論 BE CF AD 證明 聯(lián)結(jié) AO 并延長交 BC 于點(diǎn) G 過 G 做 GH EF 于 H 由重心性質(zhì)可得 AO 2OG ADO OHG 90 AOD HOG AOD GOH AD 2HG 5 分 O 為重心 G 為 BC 中點(diǎn) GH EF BE EF CF EF EB HG CF H 為 EF 中點(diǎn) HG EB CF 2 1 m O F E D C B A A B C D E F O mm A B C D EF O 圖 1 圖 2 圖 3 圖 1 H G A B C D E F O m 圖 2 m O F E D C B A 圖 3 精品文檔 12歡迎下載 EB CF AD 7 分 3 CF BE AD 8 分 三 由特殊形解題啟發(fā)構(gòu)造哪些相等的角 三 由特殊形解題啟發(fā)構(gòu)造哪些相等的角 例 3 如圖 P為 ABC內(nèi)一點(diǎn) 連接PA PB PC 在 PAB PBC和 PAC中 如果存 在一個三角形與 ABC相似 那么就稱P為 ABC的自相似點(diǎn) 1圖 已知Rt ABC中 ACB 90 ABC A CD是AB上的中線 過點(diǎn)B 作BE CD 垂足為E 試說明E是 ABC的自相似點(diǎn) 在 ABC中 A B C 如圖 利用尺規(guī)作出 ABC的自相似點(diǎn)P 寫出作法并保留作圖痕跡 若 ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn) 求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù) 三 一題多解與題目的變式及類題 1 點(diǎn)M 為正方形ABCD 的邊AB 或延長線上 任一點(diǎn) 不與A B 重合 射線MN 與的外角平分線交于點(diǎn)N 求證 90DMN ABC DM MN 變式 A 方法類比 改變圖形 1 等邊三角形ABC 中 在BC 邊上任取一點(diǎn)D 不與A B 重合 作 DE 交 C 的外角平分線于E 判斷 ADE 的形狀 并證明 60ADE 若D 是射線BC 上任一點(diǎn) 上述結(jié)論是否成立 2 2008 西城一模 25 如圖 正六邊形 ABCDEF 點(diǎn) M 在 AB 邊上 MH 與六邊形外角的平分線 BQ 交于 H 點(diǎn) 120FMH ABC 當(dāng)點(diǎn) M 不與點(diǎn) A B 重合時 求證 AFM BMH 當(dāng)點(diǎn) M 在正六邊形 ABCDEF 一邊 AB 上運(yùn)動 點(diǎn) M 不與點(diǎn) B 重合 時 猜想 FM 與 MH 的數(shù)量關(guān)系 并對猜想的結(jié)果加以證明 B 改變背景 3 2011 密云一模 24 如圖 邊長為 5 的正方形的頂OABC 點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處 點(diǎn)分別在軸 軸的正半軸上 點(diǎn)OAC xy 是邊上的點(diǎn) 不與點(diǎn)重合 且與正方形外角EOAAEFCE 平分線交于點(diǎn) ACP 1 當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時 試證明 E 3 0 CEEP 2 如果將上述條件 點(diǎn)坐標(biāo)為 3 0 改為 點(diǎn)坐標(biāo)為 0 結(jié)EEt0t 論 ED F A C BNM H Q B P G O F AE C y E N A B DC M E C A B D BBBCCC A A A D PE 精品文檔 13歡迎下載 D C BA AB C D AB C D 是否仍然成立 請說明理由 CEEP 3 在軸上是否存在點(diǎn) 使得四邊形是平行四邊形 若存在 請證明 若不yMBMEP 存在 請說明理由 2 如圖 在正方形 ABCD 中 E F 分別是 BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF 45 求證 EF BE FD 變式 方法類比 特殊到一般 削弱題目條件 1 如圖 在四邊形ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分別是BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF 是 BAD 的一半 那么結(jié)論 EF BE FD 是否仍然成立 若成立 請證明 請寫出它們之間的數(shù)量 關(guān) 系 并證明 改變圖形 2 在四邊形ABCD 中 AB AD B D 180 延長BC 到點(diǎn) E 延長CD 到點(diǎn)F 使得 EAF 仍然是 BAD 的一半 則結(jié)論EF BE FD 是否仍然成立 若成 立 請證明 若不成立 請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系 并證明 3 旋轉(zhuǎn)特殊角度轉(zhuǎn)移線段 比較線段大小 求最值 2011 房山一模 25 已知 等邊三角 形 ABC 1 如圖 1 P 為等邊 ABC 外一點(diǎn) 且 BPC 120 試猜想線段 BP PC AP 之間的 數(shù)量關(guān)系 并證明你的猜想 2 如圖 2 P 為等邊 ABC 內(nèi)一點(diǎn) 且 APD 120 求證 PA PD PC BD 類題 1 已知 在 ABC 中 BC a AC b 以 AB 為邊作等邊三角形 ABD 探究下列問題 1 如圖 1 當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) C 位于直線 AB 的兩側(cè)時 a b 3 且 ACB 60 則 CD 2 如圖 2 當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) C 位于直線 AB 的同側(cè)時 a b 6 且 ACB 90 則 CD 3 如圖 3 當(dāng) ACB 變化 且點(diǎn) D 與點(diǎn) C 位于直線 AB 的兩側(cè)時 求 CD 的最大值及相應(yīng) 的 ACB 的度數(shù) C A B P 圖 1 C B A P D 圖 2 A BC D E F A B C D E F 精品文檔 14歡迎下載 E D C B A D A B C E 圖 1 圖 2 圖 3 解 1 1 33 2 2 2363 3 以點(diǎn) D 為中心 將 DBC 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 則點(diǎn) B 落在點(diǎn) A 點(diǎn) C 落在點(diǎn) E 聯(lián)結(jié) AE CE CD ED CDE 60 AE CB a CDE 為等邊三角形 CE CD 4 當(dāng)點(diǎn) E A C 不在一條直線上時 有 CD CE AE AC a b 當(dāng)點(diǎn) E A C 在一條直線上時 CD 有最大值 CD CE a b 此時 CED BCD ECD 60 ACB 120 7 因此當(dāng) ACB 120 時 CD 有最大值是a b 三 啟發(fā)構(gòu)造三角形轉(zhuǎn)移線段啟發(fā)構(gòu)造三角形轉(zhuǎn)移線段 例 2 已知 以 AB 為一邊作正方形 ABCD 使2PA 4PB P D 兩點(diǎn)落在直線 AB 的兩側(cè) 1 如圖 當(dāng) APB 45 時 求 AB 及 PD 的長 2 當(dāng) APB 變化 且其它條件不變時 求 PD 的 最大值 及相應(yīng) APB 的大小 例 3 如圖 1 在梯形 ABCD 中 AD BC C 90 點(diǎn) E 為 CD 的中點(diǎn) 點(diǎn) F 在底邊 BC 上 且 FAE DAE 1 請你通過觀察 測量 猜想 得出 AEF 的度數(shù) 1 的方法多樣 垂線段 倍長 中位線 但是其中有的不好遷移到后面 需要在多種方法中選取 2 若梯形 ABCD 中 AD BC C 不是直角 點(diǎn) F 在底邊 BC 或其延長線上 如圖 2 圖 3 其他條件不變 你在 1 中得出的結(jié)論是否仍然成立 若都成立 請在圖 2 圖 3 中選擇其中一圖進(jìn)行證明 若不都成立 請說明理由 圖 1 圖 2 圖 3 類題 已知點(diǎn)A B分別是兩條平行線 上任意兩點(diǎn) C是直線上一點(diǎn) 且mnn ABC 90 點(diǎn)E在AC的延長線上 BC AB k 0 k 精品文檔 15歡迎下載 1 當(dāng) 1 時 在圖 1 中 作 BEF ABC EF交直線于點(diǎn)F 寫出線段EF與km EB的數(shù)量關(guān)系 并加以證明 2 若 1 如圖 2 BEF ABC 其它條件不變 探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系 k 并說明理由 1 2 四 方法的綜合應(yīng)用 1 如圖 已知 ABC 1 請你在邊上分別取兩點(diǎn) 的中點(diǎn)除外 連結(jié)BCDE BC 寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件 并ADAE 表示出面積相等的三角形 2 請你根據(jù)使 1 成立的相應(yīng)條件 證明 ABACADAE 2 問題 已知 ABC中 BAC 2 ACB 點(diǎn)D是 ABC內(nèi)的一點(diǎn) 且AD CD BD BA 探究 DBC與 ABC度數(shù)的比值 請你完成下列探究過程 先將圖形特殊化 得出猜想 再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明 1 當(dāng) BAC 90 時 依問題中的條件補(bǔ)全右圖 觀察圖形 AB與AC的數(shù)量關(guān)系為 當(dāng)推出 DAC 15 時 可進(jìn)一步推出 DBC的度數(shù)為 可得到 DBC與 ABC度數(shù)的比值為 2 當(dāng) BAC 90 時 請你畫出圖形 研究 DBC與 ABC度數(shù)的比值是否與 1 中的結(jié) 論相同 寫出你的猜想并加以證明 3 在 ABC中 點(diǎn)P為BC的中點(diǎn) 1 如圖 1 求證 AP AB AC 2 1 2 延長 AB 到 D 使得 BD AC 延長 AC 到 E 使得 CE AB 連結(jié) DE A B C B C A 精品文檔 16歡迎下載 如圖 2 連結(jié) BE 若 BAC 60 請你探究線段 BE 與線段 AP 之間的數(shù)量關(guān)系 寫出你 的結(jié)論 并加以證明 請在圖 3 中證明 BC DE 2 1 4 在 ABCD中 BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E 交直線DC于點(diǎn)F 1 在圖 1 中證明 CECF 2 若 G是EF的中點(diǎn) 如圖 2 直接寫出 BDG的度數(shù) 90ABC 3 若 FG CE 分別連結(jié)DB DG 如圖 3 求 BDG的度120ABC FGCE 數(shù) 五五 動點(diǎn)問題與分類討論動點(diǎn)問題與分類討論 不確定性引發(fā)分類討論不確定性引發(fā)分類討論 1 1 等腰三角形頂角頂點(diǎn) 等腰三角形頂角頂點(diǎn) 2 2 相似三角形對應(yīng)點(diǎn) 相似三角形對應(yīng)點(diǎn) 3 3 已知兩點(diǎn) 三點(diǎn) 已知兩點(diǎn) 三點(diǎn) 限制條件定平行四邊形 特殊梯形 限制條件定平行四邊形 特殊梯形 注意 分類不重不漏 動點(diǎn)問題定界點(diǎn) 注意 分類不重不漏 動點(diǎn)問題定界點(diǎn) 由位置的不確定引發(fā)的分類討論由位置的不確定引發(fā)的分類討論 1 在 Rt ABC中 ACB 90 BC 30 AB 50 點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn) 直線PE AB 與邊AC或BC相交于E 點(diǎn)M在線段AP上 點(diǎn)N在線段BP上 EM EN sin EMP 12 13 1 如圖 1 當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時 求CM的長 2 如圖 2 當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時 點(diǎn)E不與點(diǎn)A C重合 設(shè)AP x BN y 求y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 并寫出函數(shù)的定義域 3 若 AME ENB AME的頂點(diǎn)A M E分