實驗五 用matlab求二元函數(shù)的極值.doc

實驗五 用matlab求二元函數(shù)的極值1計算二元函數(shù)的極值對于二元函數(shù)的極值問題,根據(jù)二元函數(shù)極值的必要和充分條件,可分為以下幾個步驟:步驟1.定義二元函數(shù).步驟2.求解方程組,得到駐點.步驟3.對于每一個駐點,求出二階偏導(dǎo)數(shù)步驟4. 對于每一個駐點,計算判別式,如果,則該駐點是極值點,當(dāng)為極小值, 為極大值;如果,需進一步判斷此駐點是否為極值點; 如果則該駐點不是極值點.2計算二元函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域上連續(xù)，則在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步驟為：步驟1. 計算在內(nèi)所有駐點處的函數(shù)值；步驟2. 計算在的各個邊界線上的最大值和最小值；步驟3. 將上述各函數(shù)值進行比較，最終確定出在內(nèi)的最大值和最小值。3函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),用jacobian求Jacobian矩陣。diff(f,x,n) 求函數(shù)f關(guān)于自變量x的n階導(dǎo)數(shù)。jacobian(f,x)求向量函數(shù)f關(guān)于自變量x(x也為向量)的jacobian矩陣?？梢杂胔elp diff, help jacobian查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息例1 求函數(shù)的極值點和極值.首先用diff命令求z關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)結(jié)果為ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y即再求解方程，求得各駐點的坐標(biāo)。一般方程組的符號解用solve命令，當(dāng)方程組不存在符號解時，solve將給出數(shù)值解。求解方程的MATLAB代碼為：clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)結(jié)果有三個駐點，分別是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判別式中的二階偏導(dǎo)數(shù)：clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)結(jié)果為A=2*x2B =-8 C =4由判別法可知和都是函數(shù)的極小值點，而點Q(0,0)不是極值點，實際上，和是函數(shù)的最小值點。當(dāng)然，我們可以通過畫函數(shù)圖形來觀測極值點與鞍點。clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)結(jié)果如圖16.5.1圖16.5.1 函數(shù)曲面圖可見在圖6.1中不容易觀測極值點,這是因為z的取值范圍為-500,100,是一幅遠(yuǎn)景圖,局部信息丟失較多,觀測不到圖像細(xì)節(jié).可以通過畫等值線來觀測極值.contour(X,Y,Z, 600)xlabel(x),ylabel(y)結(jié)果如圖16.5.2圖16.5.2 等值線圖由圖16.5.2可見,隨著圖形灰度的逐漸變淺,函數(shù)值逐漸減小,圖形中有兩個明顯的極小值點和.根據(jù)提梯度與等高線之間的關(guān)系,梯度的方向是等高線的法方向,且指向函數(shù)增加的方向.由此可知,極值點應(yīng)該有等高線環(huán)繞,而點周圍沒有等高線環(huán)繞,不是極值點,是鞍點.例 求函數(shù)在條件下的極值.構(gòu)造Lagrange函數(shù)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)clear; syms x y kl=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得再解方程clear; syms x y kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得進過判斷,此點為函數(shù)的極大值點,此時函數(shù)達(dá)到最大值.例3 拋物面被平面截成一個橢圓,求這個橢圓到原點的最長與最短距離.這個問題實際上就是求函數(shù)在條件及下的最大值和最小值問題.構(gòu)造Lagrange函數(shù)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得再解方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得上面就是Lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點，求所求的條件極值點必在其中取到。由于所求問題存在最大值與最小值（因為函數(shù)在有界閉集，上連續(xù)，從而存在最大值與最小值）