黑龍江哈爾濱第五中學高二數(shù)學基本不等式人教

2006年黑龍江省哈爾濱市第五中學高二數(shù)學基本不等式http:/www.DearEDU.com課題: 6.2基本不等式第1課時授課類型：新授課【教學目標】1知識與技能：學會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣【教學重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學難點】基本不等式等號成立條件【教學過程】1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2.講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。2得到結(jié)論：一般的，如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為 當所以，即41）從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式特別的，如果a0,b0,我們用分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作： 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證 (1)只要證 a+b (2)要證（2），只要證 a+b- 0 （3）要證（3），只要證 （ - ） （4）顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。 3）理解基本不等式的幾何意義探究：課本第110頁的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2AB即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.2.在數(shù)學中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).補充例題例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在運用定理：時，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進行變形.解：x，y都是正數(shù) 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.隨堂練習1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證（ab）（bc）（ca）abc分析：對于此類題目，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果.解：a，b，c都是正數(shù)ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc.4.課時小結(jié)本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學習它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab，ab（）2.5.評價設(shè)計課本第113頁習題A組的第1題【板書設(shè)計】第2課時授課類型：新授課【教學目標】1知識與技能：進一步掌握基本不等式；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題2過程與方法：通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。3情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德?！窘虒W重點】基本不等式的應(yīng)用【教學難點】利用基本不等式求最大值、最小值?！窘虒W過程】1.課題導(dǎo)入1重要不等式：如果2基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù).成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。2.講授新課例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?解：（1）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長為2（x+y） m。由，可得 ， 。等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（362x）m，其中0x，其面積Sx（362x）2x（362x）當且僅當2x362x，即x9時菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9 m時菜園面積最大為81 m2解法二：設(shè)矩形菜園的長為x m.,寬為y m ,則2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜園的面積為xy m。由，可得 當且僅當x=y,即x=y=9時，等號成立。因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m歸納：1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，bR，且abM，M為定值，則ab，等號當且僅當ab時成立.2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，bR，且abP，P為定值，則ab2，等號當且僅當ab時成立.例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得當因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.3.隨堂練習1.已知x0，當x取什么值時，x2的值最小?最小值是多少?2課本第113頁的練習1、2、3、44.課時小結(jié)本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。5.評價設(shè)計課本第113頁習題A組的第2、4題【板書設(shè)計】【授后記】第3課時授課類型：習題課【教學目標】1知識與技能：進一步掌握基本不等式；會用此不等式證明不等式,會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值,能夠解決一些簡單的實際問題；2過程與方法：通過例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。3情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德。【教學重點】掌握基本不等式，會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數(shù)的最值【教學難點】利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值?！窘虒W過程】1.課題導(dǎo)入1基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么2用基本不等式求最大（?。┲档牟襟E。2.講授新課1）利用基本不等式證明不等式例1 已知m0,求證。思維切入因為m0,所以可把和分別看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。證明因為 m0,，由基本不等式得當且僅當=，即m=2時，取等號。規(guī)律技巧總結(jié) 注意：m0這一前提條件和=144為定值的前提條件。3.隨堂練習1思維拓展1 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證.思維拓展2 求證.例2 求證:.思維切入 由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用基本不等式,無法約掉字母a,而左邊.這樣變形后,在用基本不等式即可得證.證明 當且僅當=a-3即a=5時,等號成立.規(guī)律技巧總結(jié) 通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x0,求的最小值; (2)若x0和=36兩個前提條件;(2)中x0來轉(zhuǎn)化.解L1) 因為 x0 由基本不等式得,當且僅當即x=時, 取最小值12.(2)因為