高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件.ppt

空間向量復(fù)習(xí) 例3 如圖 一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為500kg 在它的頂點(diǎn)處分別受力f1 f2 f3 每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是60 且 f1 f2 f3 200kg 這塊鋼板在這些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng) 這三個(gè)力最小為多少時(shí) 才能提起這塊鋼板 o a b c f1 f2 f3 500kg 例4 如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 側(cè)棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中點(diǎn) 作ef pb交pb于點(diǎn)f 1 求證 pa 平面edb 2 求證 pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 d a b c e p f o a b 結(jié)論 空間任意兩個(gè)向量都是共面向量 所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示 因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題 平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們 3 1 1空間向量的運(yùn)算 平面向量 概念 加法減法數(shù)乘運(yùn)算 運(yùn)算律 定義 表示法 相等向量 減法 三角形法則 加法 三角形法則或平行四邊形法則 空間向量 具有大小和方向的量 數(shù)乘 ka k為正數(shù) 負(fù)數(shù) 零 加法交換律 加法結(jié)合律 數(shù)乘分配律 類比思想數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)乘 ka k為正數(shù) 負(fù)數(shù) 零 推廣 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量 2 首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形 則它們的和為零向量 g m 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和 等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量 一 共線向量 零向量與任意向量共線 3 1 2共線向量定理與共面向量定理 若p為a b中點(diǎn) 則 假如op oa tab 則點(diǎn)p a b三點(diǎn)共線 可用于證明點(diǎn)共線 二 共面向量 1 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空間任意兩個(gè)向量是共面的 但空間任意三個(gè)向量就不一定共面的了 2 共面向量定理 如果兩個(gè)向量不共線 則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)使 注 可用于證明三個(gè)向量共面 推論 空間一點(diǎn)p位于平面mab內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x y使或?qū)臻g任一點(diǎn)o 有 1 已知a 2 4 5 b 3 x y 若a b 求x y的值 2 證明 三向量a e1 e2 b 3e1 2e2 c 2e1 3e2共面 若a mb nc 試求實(shí)數(shù)m n之值 1 兩個(gè)向量的夾角 3 1 3空間向量的數(shù)量積 2 兩個(gè)向量的數(shù)量積 注意 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量 而不是向量 零向量與任意向量的數(shù)量積等于零 3 射影 b a 注意 是軸l上的正射影 a1b1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù) 它的符號(hào)代表向量與l的方向的相對(duì)關(guān)系 大小代表在l上射影的長(zhǎng)度 4 空間向量的數(shù)量積性質(zhì) 注意 性質(zhì)2 是證明兩向量垂直的依據(jù) 性質(zhì)3 是求向量的長(zhǎng)度 模 的依據(jù) 對(duì)于非零向量 有 5 空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 注意 1 應(yīng)用可證明兩直線垂直 2 利用可求線段的長(zhǎng)度 向量數(shù)量積的應(yīng)用 3 1 4空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示 二 空間直角坐標(biāo)系 3 1 5向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 二 距離與夾角 1 距離公式 1 向量的長(zhǎng)度 模 公式 注意 此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 則 2 空間兩點(diǎn)間的距離公式 2 兩個(gè)向量夾角公式 注意 1 當(dāng)時(shí) 同向 2 當(dāng)時(shí) 反向 3 當(dāng)時(shí) 思考 當(dāng)及時(shí) 的夾角在什么范圍內(nèi) 立體幾何中的向量方法 1 用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的 三步曲 1 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn) 直線 平面 把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題 2 通過(guò)向量運(yùn)算 研究點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題 3 把向量的運(yùn)算結(jié)果 翻譯 成相應(yīng)的幾何意義 化為向量問(wèn)題 進(jìn)行向量運(yùn)算 回到圖形問(wèn)題 二 怎樣求平面法向量 1 已知正方體abcd a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2 e f分別是bb1 dd1的中點(diǎn) 求證 1 fc1 平面ade 2 平面ade 平面b1c1f 證明 如圖1所示建立空間直角坐標(biāo)系d xyz 則有d 0 0 0 a 2 0 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 e 2 2 1 f 0 0 1 所以 設(shè) 分別是平面ade 平面b1c1f的法向量 則 2 已知向量則上的單位向量為 同理可求 1 又fc1 平面ade 平面ade 平面ade 平面b1c1f 2 取y 1 則 三 有關(guān)結(jié)論 異面直線所成角的范圍 結(jié)論 3 2 3利用空間向量求空間角 題型二 線面角 直線與平面所成角的范圍 直線ab與平面 所成的角 可看成是向量與平面 的法向量所成的銳角的余角 所以有 二面角的范圍 關(guān)鍵 觀察二面角的范圍 b a a m n n a b 一 求異面直線的距離 方法指導(dǎo) 作直線a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此異面直線a b的公垂線的方向向量 在直線a b上各取一點(diǎn)a b 作向量ab 求向量ab在n上的射影d 則異面直線a b間的距離為 方法指導(dǎo) 作直線a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此異面直線a b的公垂線的方向向量 在直線a b上各取一點(diǎn)a b 作向量ab 求向量ab在n上的射影d 則異面直線a b間的距離為 3 2 4 如圖點(diǎn)p為平面外一點(diǎn) 點(diǎn)a為平面內(nèi)的任一點(diǎn) 平面的法向量為n 過(guò)點(diǎn)p作平面 的垂線po 記pa和平面 所成的角為 則點(diǎn)p到平面的距離 n a p o 二 求點(diǎn)到平面的距離 例4 已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為4 cg 平面abcd cg 2 e f分別是ab ad的中點(diǎn) 求直線bd到平面gef的距離 d a b c g f e 三 求直線與平面間距離 例5 在邊長(zhǎng)為1的正方體abcd a1b1c1d1中 m n e f分別是棱a1b1 a1d1 b1c1 c1d1的中點(diǎn) 求平面amn與平面efdb的距離 四 求平行平面與平面間距離 立體幾何中的向量方法 坐標(biāo)法 問(wèn)題1 已知 abc為正三角形 ec 平面abc 且ec db在平面abc同側(cè) ce ca 2bd 求證 平面ade 平面ace 怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 怎樣證明平面ade 平面ace 如何求平面ade 平面ace的法向量 一個(gè)平面的法向量有多少個(gè) 能否設(shè)平面ade的法向量為n 1 y z 這樣做有什么好處 解 分別以cb ce所在直線為y z軸 c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系c xyz 如右下圖 設(shè)正三角形abc邊長(zhǎng)為2則c 0 0 0 e 0 0 2 d 0 2 1 b 0 2 0 設(shè)n為ac中點(diǎn) 則n連接bn abc為正三角形 bn ac ec 平面abc bn ec 又ac ec c bn 平面ace 因此可取向量為平面ace的法向量 那么 設(shè)平面ade的法向量為n 1 y z 則 nn n n 平面dea 平面ace 為了方便計(jì)算 能否取平面ace的法向量為 通過(guò)上例 你能說(shuō)出用坐標(biāo)法解決立體幾何中問(wèn)題的一般步驟嗎 步驟如下 1 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 2 寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo) 3 進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算 4寫出幾何意義下的結(jié)論 小結(jié) 1 怎樣利用向量求距離 點(diǎn)到平面的距離 連結(jié)該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)的向量在平面定向法向量上的射影 如果不