1.3.1且（and）

1 3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 引入歌德是18世紀(jì)德國的一位著名文藝大師 一天 他與一位文藝批評家 狹路相逢 這位批評家生性古怪 遇到歌德走來 不僅沒有相讓 反而賣弄聰明 一邊高傲地往前走 一邊大聲說道 我從來不給傻子讓路 面對如此尷尬局面 但見歌德笑容可掬 謙恭地閃在一旁 一邊有禮貌地回答道 呵呵 我可恰恰相反 結(jié)果故作聰明的批評家 反倒自討個(gè)沒趣 在這個(gè)故事里 批評家用他的語言和行動(dòng)表明了這樣幾句語句 1 我不給傻子讓路 2 你歌德是傻子 3 我不給你讓路 想進(jìn)一步了解有關(guān)的邏輯知識(shí)嗎 1 我給傻子讓路 2 你批評家是傻子 3 我給你讓路 而歌德用語言和行動(dòng)反擊 1 正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 或 非 的含義和表示 重點(diǎn) 2 會(huì)判斷用 且 或 非 聯(lián)結(jié)成新命題的真假 難點(diǎn) 提示 命題 3 是由命題 1 2 使用聯(lián)結(jié)詞 且 聯(lián)結(jié)得到的新命題 探究點(diǎn)1聯(lián)結(jié)詞 且 下列三個(gè)命題之間有什么關(guān)系 1 12能被3整除 2 12能被4整除 3 12能被3整除且能被4整除 p q p q 記作 p q讀作p且q 從集合角度看 p q x x p且x q 一般地 用聯(lián)結(jié)詞 且 把命題p和q聯(lián)結(jié)起來 就得到一個(gè)新命題 提升總結(jié) 如何確定命題 p q 的真假性呢 規(guī)定 當(dāng)p q都是真命題時(shí) p q 是真命題 當(dāng)p q兩個(gè)命題中有一個(gè)是假命題時(shí) p q 是假命題 簡記為 兩真且為真 將下列命題用 且 聯(lián)結(jié)成新命題 并判斷它們的真假 p 平行四邊形的對角線互相平分 q 平行四邊形的對角線相等 解 p且q 平行四邊形的對角線互相平分且相等 由于p是真命題 q是假命題 所以p q是假命題 即時(shí)訓(xùn)練 例1將下列命題用 且 聯(lián)結(jié)成新命題 并判斷它們的真假 p 平行四邊形的對角線互相平分 q 平行四邊形的對角線相等 2 p 菱形的對角線互相垂直 q 菱形的對角線互相平分 解析 1 p q 平行四邊形的對角線互相平分且相等 由于p是真命題 q是假命題 所以p q是假命題 2 p q 菱形的對角線互相垂直且平分 由于p是真命題 q是真命題 所以p q是真命題 例2用邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 改寫下列命題 并判斷他們的真假 1 1既是奇數(shù) 又是素?cái)?shù) 2 2和3都是素?cái)?shù) 解 1 命題 1既是奇數(shù) 又是素?cái)?shù) 可以改寫為 1是奇數(shù)且1是素?cái)?shù) 應(yīng)為 1是素?cái)?shù) 是假命題 所以這個(gè)命題是假命題 2 命題 2和3都是素?cái)?shù) 可以改寫為 2是素?cái)?shù)且3是素?cái)?shù) 因?yàn)?2是素?cái)?shù) 與 3是素?cái)?shù) 都是真命題 所以這個(gè)命題是真命題 將下列命題用 且 聯(lián)結(jié)成新命題 并判斷它們的真假 p 35是15的倍數(shù) q 35是7的倍數(shù) 解 p q 35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù) 由于p是假命題 q是真命題 所以p q是假命題 變式練習(xí) 邏輯聯(lián)結(jié)詞 或 聯(lián)結(jié)的命題之間是什么關(guān)系 下列三個(gè)命題間有什么關(guān)系 1 27是7的倍數(shù) 2 27是9的倍數(shù) 3 27是7的倍數(shù)或是9的倍數(shù) 提示 命題 3 是由命題 1 2 使用聯(lián)結(jié)詞 或 聯(lián)結(jié)得到的新命題 探究點(diǎn)2聯(lián)結(jié)詞 或 從集合角度看p q x x p或x q 注意 或 在實(shí)際生活中是不可兼容的 而作為邏輯聯(lián)結(jié)詞是可兼容的 一般地 用聯(lián)結(jié)詞 或 把命題p和q聯(lián)結(jié)起來 就得到一個(gè)新命題 記作 p q讀作 p或q 提升總結(jié) 如何確定命題p或q的真假性呢 規(guī)定 當(dāng)p q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí) p q是真命題 當(dāng)p q兩個(gè)命題都是假命題時(shí) p q是假命題 簡記為 兩假或才假 分別指出下列命題的形式并判斷真假 2 2 解析 該命題是 p或q 形式 其中p 2 2 q 2 2 因?yàn)閜是真命題 所以原命題是真命題 即時(shí)訓(xùn)練 例3分別指出下列命題的形式并判斷真假 1 集合A是A B的子集或是A B的子集 2 周長相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等 解析 1 該命題是 p或q 形式 其中p 集合A是A B的子集 q 集合A是A B的子集 因?yàn)槊}q是真命題 所以原命題是真命題 2 p 周長相等的兩個(gè)三角形全等 q 面積相等的兩個(gè)三角形全等 用 或 聯(lián)結(jié)后構(gòu)成的新命題 既p q 因?yàn)槊}p q都是假命題 所以命題p q是假命題 判斷下列命題的真假 1 47是7的倍數(shù)或49是7的倍數(shù) 2 3 4 3 若ax2 bx c 0 a 0 無實(shí)根 則b2 4ac 0 解析 1 真命題 2 假命題 3 真命題 變式練習(xí) 真 真 真 真 假 假 假 假 思考 如果p且q為真命題 那么p或q一定為真命題嗎 反之 如果p或q為真命題 那么p且q一定是真命題嗎 提示 主題三 非p p 自主認(rèn)知 1 觀察下列兩個(gè)命題 1 2 它們之間有什么關(guān)系 1 6是3的倍數(shù) 2 6不是3的倍數(shù) 提示 命題 2 是命題 1 的否定 2 以上兩個(gè)命題的真假如何 你能歸納出它們真假的一般規(guī)律嗎 提示 1 為真命題 2 為假命題 若p是真命題 則 p為假命題 若p為假命題 則 p為真命題 根據(jù)以上探究過程 試著寫出 非 的含義及命題 p 真假的判斷規(guī)則 1 非 的含義一般地 對一個(gè)命題p全盤否定 就得到一個(gè)新命題 記作 讀作 或 p的否定 2 p 命題的真假若p是真命題時(shí) 則 p必是 若p是假命題 則 p必是 p 非p 假命題 真 命題 合作探究 1 邏輯聯(lián)結(jié)詞中 非 的含義是什么 提示 邏輯聯(lián)結(jié)詞 非 也稱 否定 是從日常語言中的 不是 全盤否定 問題的反面 抽象而來的 非 是否定的意思 2 命題的否定與否命題有什么區(qū)別 提示 命題的否定只否定命題的結(jié)論 而否命題既否定命題的條件 又否定命題的結(jié)論 過關(guān)小練 1 命題p y tanx是奇函數(shù) 則 p 為 命題 解析 p y tanx不是奇函數(shù) 為假命題 答案 y tanx不是奇函數(shù)假 2 命題p y sin4x的周期是4 則 p 為 命題 解析 p y sin4x的周期不是4 為真命題 答案 y sin4x的周期不是4 真3 命題p 若m2 n2 0 則實(shí)數(shù)m n全為零 則 p 為 命題 填 真 或 假 解析 p 若m2 n2 0 則m n不全為零 為假命題 答案 若m2 n2 0 則m n不全為零假 歸納總結(jié) 1 從集合的角度理解 且 或 非 1 且 從集合角度看 可設(shè)A x x滿足命題p B x x滿足命題q 則 p q 對應(yīng)于集合中的交集A B x x A且x B 2 或 從集合的角度看 可設(shè)A x x滿足命題p B x x滿足命題q 則 p q 對應(yīng)于集合中的并集A B x x A或x B 3 非 從集合的角度看 若設(shè)P x x滿足命題p 則 p 對應(yīng)于集合P在全集U中的補(bǔ)集 x x U 且x P p與 p 的真假關(guān)系 真假對立 2 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) 1 真假規(guī)律 p q 一真必真 都假才假 p q 一假必假 都真才真 2 p p與p是互為否定的 從而有 p p p真p假 p假p真 3 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定 p q的否定為 p q p q的否定為 p q 其真假也可以參照含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假進(jìn)行判斷 拓展延伸 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題在電學(xué)上的理解 1 p q 從電學(xué)來講 p q 相當(dāng)于兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)時(shí) 電路形成閉路的情形 且從該電路閉合與斷開可得p q與 p q 的真假關(guān)系 全真才真 即p與q全為真時(shí) p q 才真 其他情況為假 2 p q 從電學(xué)來講 p q 相當(dāng)于兩個(gè)開關(guān)并聯(lián)時(shí) 電路形成閉路的情形 該電路的閉合與斷開也反映了p q與 p q 的真假關(guān)系 全假才假 即p與q全為假時(shí) p q 才假 其他情況為真 3 p 從電學(xué)來講 p 相當(dāng)于一個(gè)開關(guān)時(shí) 電路形成閉路的情形 該電路閉合與斷開可得p與 p的真假關(guān)系 真假相反 即p為真時(shí) p為假 p為假時(shí) p為真 類型一 含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的構(gòu)成形式 典例1 1 下列命題 末位不是0的數(shù)不能被5整除 指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù) 每一個(gè)向量都既有大小 又有方向 正方形是菱形或是矩形 其中含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有 A B C D 2 已知命題p 梯形有一組對邊平行 q 梯形有一組對邊相等 試確定由這組命題構(gòu)成的 p q p q p 形式的命題 解題指南 1 觀察是否含有邏輯聯(lián)結(jié)詞或具有相同含義的詞匯 2 本題關(guān)鍵是正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 或 非 的含義 應(yīng)根據(jù)組成上述各含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞或語句的意義 確定含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式 解析 1 選A 是簡單命題 其余的均為含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題 2 p q 形式 梯形有一組對邊平行且有一組對邊相等 p q 形式 梯形有一組對邊平行或有一組對邊相等 p 梯形沒有一組對邊平行 規(guī)律總結(jié) 確定含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題構(gòu)成形式的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) 1 簡單命題與含 或 且 非 的新命題 不含邏輯聯(lián)結(jié)詞 或 且 非 的命題是簡單命題 命題 p q p q p 是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題 其中p q為簡單命題 2 區(qū)別 若p則q 在 p q p q p 中 p q都是命題 但在 若p 則q 中 p q可以是命題 也可以是含有變量的陳述句 3 把握實(shí)質(zhì) 正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞 或 且 非 是解題的關(guān)鍵 有些命題并不一定包含 或 且 非 這些邏輯聯(lián)結(jié)詞 要結(jié)合命題的具體含義進(jìn)行正確的命題構(gòu)成的判定 鞏固訓(xùn)練 指出下列命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它們的簡單命題 1 方程2x2 1 0沒有實(shí)數(shù)根 2 12能被3或4整除 3 菱形的對角線垂直且平分 解析 1 這個(gè)命題是 p的形式 其中p 方程2x2 1 0有實(shí)數(shù)根 2 這個(gè)命題是p q的形式 其中p 12能被3整除 q 12能被4整除 3 這個(gè)命題是p q的形式 其中p 菱形的對角線垂直 q 菱形的對角線互相平分 補(bǔ)償訓(xùn)練 分別指出下列含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式及構(gòu)成的簡單命題 1 小李是老師 小趙也是老師 2 1是合數(shù)或質(zhì)數(shù) 3 方程2x 1 0無實(shí)根 4 2 1 解析 1 這個(gè)命題是p且q的形式 其中 p 小李是老師 q 小趙是老師 2 這個(gè)命題是p或q的形式 其中 p 1是合數(shù) q 1是質(zhì)數(shù) 3 這個(gè)命題是 p的形式 其中 p 方程2x 1 0有實(shí)根 4 這個(gè)命題是p或q的形式 其中 p 2 1 q 2 1 類型二 含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷 典例2 2015 杭州高二檢測 已知p 2 2 5 q 3 2 則下列判斷正確的是 A p q 為假 q 為假B p q 為真 q 為假C p q 為真 p 為假D p q 為真 p q 為假 解題指南 先判斷p q的真假 再判斷 p q p q p q 的真假 解析 選B 由題意可知 p假 q真 所以 p q 為真 p q 為假 p 為真 q 為假 延伸探究 本例條件不變 試判斷命題 p q p q p q 的真假 解析 由條件知 p假 q真 所以 p真 q為假 故 p q為真 p q 為假 p q 為假 規(guī)律總結(jié) 判斷命題 p q p q p 真假的步驟 1 確定命題構(gòu)成 確定命題是 p q 還是 p q 還是 p 形式的命題 2 判斷簡單命題的真假 對命題p和q 不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題 的真假作出判斷 3 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假 對于 p q 形式的命題 可記為 有真必真 對于 p q 形式的命題 可記為 一假必假 對于 p 形式的命題 可記為 真假相反 再由 p q p q p 的真假判斷方法給出結(jié)論 提醒 記憶口訣 同為真時(shí)且為真 同為假時(shí)或?yàn)榧?出現(xiàn)假時(shí)且為假 出現(xiàn)真時(shí)或?yàn)檎?補(bǔ)償訓(xùn)練 分別指出由下列各組命題構(gòu)成的 p或q p且q 非p 形式的含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假 1 p 9是質(zhì)數(shù) q 8是12的約數(shù) 2 p 函數(shù)y cosx是周期函數(shù) q 函數(shù)y cosx是偶函數(shù) 3 p 0 q 0 解析 1 p或q 9是質(zhì)數(shù)或8是12的約數(shù) p且q 9是質(zhì)數(shù)且8是12的約數(shù) 非p 9不是質(zhì)數(shù) 因?yàn)閜假q假 所以 p或q 為假 p且q 為假 非p 為真 2 p或q 函數(shù)y cosx是周期函數(shù)或是偶函數(shù) p且q 函數(shù)y cosx是周期函數(shù)且是偶函數(shù) 非p 函數(shù)y cosx不是周期函數(shù) 因?yàn)閜真q真 所以 p或q 為真 p且q 為真 非p 為假 3 p或q 0 或 0 p且q 0 且 0 非p 0 因?yàn)閜真q假 所以 p或q 為真 p且q 為假 非p 為假 類型三 根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假求參數(shù)的范圍 典例3 2015 青島高二檢測 命題p 關(guān)于x的不等式x2 2ax 4 0對一切x R恒成立 q 函數(shù)f x 5 2a x是減函數(shù) 若p或q為真 p且q為假 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解題指南 先求出命題p與q為真時(shí)a的取值范圍 然后根據(jù)題意討論p q的真假 求出參數(shù)a的取值范圍 解析 設(shè)g x x2 2ax 4 因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2 2ax 4 0對一切x R恒成立 所以函數(shù)g x 的圖象開口向上且與x軸沒有交點(diǎn) 故 4a2 161 即a 2 所以命題q a 2 由p或q為真 p且q為假 可知p和q一真一假 1 若p真q假 則此不等式組無解 2 若p假q真 則所以a 2 綜上 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2 延伸探究 若將 q 函數(shù)f x 5 2a x是減函數(shù) 改為 q 函數(shù)f x 5 2a x是增函數(shù) 其他條件不變 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 設(shè)g x x2 2ax 4 因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2 2ax 4 0對一切x R恒成立 所以函數(shù)g x 的圖象開口向上且與x軸沒有交點(diǎn) 故 4a2 16 0 所以 2 a 2 所以命題p 2 a 2 函數(shù)f x 5 2a x