06薛震-概率統(tǒng)計(jì)-D5基本極限定理-中北大學(xué)

基本極限定理 第五章 切比雪夫不等式與大數(shù)定律 中心極限定理 第五章 切比雪夫不等式與大數(shù)定律 第一節(jié) 一 切比雪夫不等式 二 大數(shù)定律 即 引言 頻率的穩(wěn)定性 用頻率代替概率的科學(xué)性 1 背景 2 內(nèi)容 用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的 一系列定理稱為大數(shù)定律 3 刻畫 定理1 設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 方差 則 有 或 注 切比雪夫不等式常用來(lái)在E X 和D X 已知時(shí) 對(duì)事 一 切比雪夫不等式 例1 已知我校有1萬(wàn)盞電燈 夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率 均為0 8 且它們開(kāi)關(guān)與否相互獨(dú)立 試用切比雪夫不等式 估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)燈7800 8200盞之間的概率 解 設(shè)X表示夜晚開(kāi)燈數(shù) 則 又因?yàn)镋 X 8000 D X 1600 則由切比雪夫不 這說(shuō)明只需供應(yīng)8200盞燈的電力就能以相當(dāng)大的概 率保證這1萬(wàn)盞燈的正常使用 等式知 1 切比雪夫大數(shù)定律 二 大數(shù)定律 定理2 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 具有有 限的期望和方差 若存在常數(shù)C使 則 有 即 推論 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 服從相 同的分布 且 則有 注 該結(jié)論的實(shí)際意義在于 為了減少測(cè)量的隨機(jī)誤差 常常用測(cè)量的平均值來(lái)代替真實(shí)值 即 切比雪夫大數(shù)定律推論的特殊形式 2 伯努利大數(shù)定律 定理3 且 則有 注 該結(jié)論的實(shí)際意義在于 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) 便可以 用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替其概率 3 辛欽大數(shù)定律 定理4 注 辛欽大數(shù)定律要求同分布但并不要求方差存在 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 服從相同的分布 且 則有 第五章 中心極限定理 第二節(jié) 一 獨(dú)立同分布中心極限定理 二 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 則當(dāng)n很大時(shí) 和方差都存在 2 內(nèi)容 3 刻劃 的期望 1 背景 若一個(gè)量受到大量獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響 而每一因素在總影響中所起的作用并不大 則這個(gè)量通常 近似服從正態(tài)分布 引言 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 定理1 Levy Lindeberg中心極限定理 一 獨(dú)立同分布的中心極限定理 服從相 同的分布 且 則 有 即 例2 設(shè)某食品用機(jī)器裝袋 每袋凈重的期望為100g 標(biāo) 準(zhǔn)差為4g 一箱裝100袋 求一箱凈重大于10100g的概率 解 同分布 且 而一箱凈重 由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知 所以 獨(dú)立同分布的中心極限定理的特殊形式 二 DeMoivre Laplace中心極限定理 定理2 且 則有 注 設(shè) 當(dāng)n比較大時(shí) 對(duì)任意的a b有 的次數(shù) 例3 保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明 因被盜理賠的用戶占 20 以X表示100個(gè)理賠用戶中因被盜理賠的個(gè)數(shù) 試寫出 X的概率分布 并利用拉普拉斯中心極限定理 求被盜理賠 用戶大于14且不多于30戶的概率近似值 解 1 易知 則X的分 2 已知n 100 p 0 2 由拉普拉斯中心極限定理得 布列為 內(nèi)容小結(jié) 1 利用切比雪夫不等式進(jìn)行近似計(jì)算 2 切比雪夫大數(shù)定律 3 伯努利大數(shù)定律 4 辛欽大數(shù)定律 6 獨(dú)立同分布的中心極限定理 7 德莫夫 拉普拉斯中心極限定理 5 利用中心極限定理進(jìn)行近似計(jì)算 切比雪夫 1821 1894 切比雪夫 俄羅斯數(shù)學(xué)家 1821年5月 生于俄國(guó)卡盧加 1894年12月卒于彼得堡 他出身于貴族家庭 左腳生來(lái)有殘疾 因而童年時(shí)代的他經(jīng)常獨(dú)坐家中 養(yǎng)成了 在孤寂中思索的習(xí)慣 16歲進(jìn)莫斯科大學(xué) 1841年因 方 程根的計(jì)算 一文獲銀質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?1847年進(jìn)彼得堡大學(xué) 兩 年后獲博士學(xué)位 1859年當(dāng)選為彼得堡科學(xué)院院士 切比雪夫一生發(fā)表了70多篇科學(xué)論文 論 概率論 函數(shù)逼近論 積分學(xué)等方面 內(nèi)容涉及數(shù) 辛欽 1894 1959 辛欽 現(xiàn)代概率論的奠 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 基者之一 1894年7月生于莫斯科 1959年 11月去世 1916年畢業(yè)于莫斯科大學(xué) 先 后在莫斯科大學(xué)和蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛 夫數(shù)學(xué)研究所等處工作 1939年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊 院士 他還是俄羅斯教育科學(xué)院院士 辛欽在函數(shù)的度量理論 數(shù)論 概率論 信息論等 方面都有重要的研究成果 在分析學(xué) 數(shù)論及概率論對(duì) 統(tǒng)計(jì)力學(xué)的應(yīng)用方面也有重要貢獻(xiàn) 拉普拉斯 1749 1827 拉普拉斯 法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家 1749年3月生于博蒙昂諾日 1827年3月卒 于巴黎 他一生在科學(xué)上的貢獻(xiàn)僅次于牛 頓而居第二 拉普拉斯是天體力學(xué)的主要奠基人 是天體演化學(xué)的 創(chuàng)立者之一 是分析概率論的創(chuàng)始人 是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀 他發(fā)