華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本四年級(jí)(上).doc

華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本：四年級(jí)（上冊(cè)）第一講 速算與巧算（三）例1 計(jì)算999999999999999解：在涉及所有數(shù)字都是9的計(jì)算中，常使用湊整法.例如將999化成10001去計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧. 999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.例2 計(jì)算19999919999199919919解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.（如 1991200） 19999919999199919919（199991）（199991）（19991）（1991） （191）520000020000200020020-5222220-522225.例3 計(jì)算（1351989）（2461988）解法2：先把兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是： 從1到1989共有995個(gè)奇數(shù)，湊成497個(gè)1990，還剩下995，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從2到1988共有994個(gè)偶數(shù)，湊成497個(gè)1990.19904979951990497995.例4 計(jì)算 389387383385384386388解法1：認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準(zhǔn)數(shù). 38938738338538438638839071375642730282702.解法2：也可以選380為基準(zhǔn)數(shù)，則有 389387383385384386388380797354682660422702.例5 計(jì)算（494249434938493949414943）6解：認(rèn)真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號(hào)中6個(gè)相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準(zhǔn)數(shù). （494249434938493949414943）6（49406232113）6（494066）6（這里沒有把49406先算出來，而是運(yùn)49406666運(yùn)用了除法中的巧算方法）494014941.例6 計(jì)算54999945解：此題表面上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡算了. 54999945（5445）999999999999（199）991009900.例7 計(jì)算 9999222233333334解：此題如果直接乘，數(shù)字較大，容易出錯(cuò).如果將9999變?yōu)?3333，規(guī)律就出現(xiàn)了. 99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000.例8 1999999999解法1：199999999910009999999991000999（1999）100099910001000（9991）100010001000000.解法2：19999999991999999（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.有多少個(gè)零.總之，要想在計(jì)算中達(dá)到準(zhǔn)確、簡便、迅速，必須付出辛勤的勞動(dòng)，要多練習(xí)，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.習(xí)題一1.計(jì)算899998899988998898882.計(jì)算799999799997999799793.計(jì)算（198819861984642）（135198319851987）4.計(jì)算1234561991199219935.時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，依次類推.從1點(diǎn)到12點(diǎn)這12個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？6.求出從125的全體自然數(shù)之和.7.計(jì)算 10009999989979969959949931081071061051041031021018.計(jì)算9294899395889496879.計(jì)算（12599125）1610.計(jì)算 399939988292911.計(jì)算9999997805312.兩個(gè)10位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中，有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？第二講 速算與巧算（四）例1 比較下面兩個(gè)積的大?。篈987654321123456789，B987654322123456788.分析 經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小1，但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計(jì)算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無論是對(duì)A或是對(duì)B，直接把兩個(gè)因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.解： A987654321123456789 987654321（1234567881） 987654321123456788987654321.B987654322123456788 （9876543211）123456788 987654321123456788123456788.因?yàn)?987654321123456788，所以 AB.例2 不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.241249 242248 243247244246 245245.解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.241249（2401）（2501）24025019；242248（2402）（2502）24025028；243247（240 3）（250 3） 24025037；244246（2404）（2504）24025046；245245（2405）（250 5）24025055.恒等變形以后的各式有相同的部分 240 250，又有不同的部分 19， 28， 37， 4 6， 55，由此很容易看出 245245的積最大.一般說來，將一個(gè)整數(shù)拆成兩部分（或兩個(gè)整數(shù)），兩部分的差值越小時(shí)，這兩部分的乘積越大.如：101928374655則5525積最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個(gè)數(shù)的總和.解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大10，可看出1986是這五個(gè)數(shù)的平均值，故其總和為：198659930.例4 2、4、6、8、10、12是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè).解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為 320564，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)它是五個(gè)自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x2、x1、x、x1、x2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對(duì)于2n1個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：xn，xn1，xn2， x1， x， x1，xn1，xn，其中 x是這2n1個(gè)自然數(shù)的平均值.巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.例5 將11001各數(shù)按下面格式排列：一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：1986，2529，1989，能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說明理由.解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列3個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).1986不是9的倍數(shù)，故不行；25299281，是9的倍數(shù)，但是28174071，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；19899221，是9的倍數(shù)，且22173174，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.這個(gè)例題是所謂的“月歷卡”上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).習(xí)題二1.右圖的30個(gè)方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個(gè)格子中的數(shù)等于同一橫行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和（如方格中a141731）.右圖填滿后，這30個(gè)數(shù)的總和是多少？ 2.有兩個(gè)算式：9876598769，98766 98768，請(qǐng)先不要計(jì)算出結(jié)果，用最簡單的方法很快比較出哪個(gè)得數(shù)大，大多少？3.比較568764和567765哪個(gè)積大？4.在下面四個(gè)算式中，最大的得數(shù)是多少？ 199219991999 199319981998 199419971997 1995199619965.五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是85，求其中最大和最小的數(shù).6.45是從小到大五個(gè)整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3，請(qǐng)你寫出這五個(gè)數(shù).7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列.在這個(gè)數(shù)表里，把長的方面3個(gè)數(shù)，寬的方面2個(gè)數(shù)，一共6個(gè)數(shù)用長方形框圍起來，這6個(gè)數(shù)的和為81，在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來的6個(gè)數(shù)的和為429，問此時(shí)長方形框子里最大的數(shù)是多少？ 第三講 定義新運(yùn)算我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：、等.如：235 236都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“”，“”，“”，“”運(yùn)算不相同.我們先通過具體的運(yùn)算來了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定ab3a2b，求 32， 23；這個(gè)運(yùn)算“”有交換律嗎？求（176）2，17（62）；這個(gè)運(yùn)算“”有結(jié)合律嗎？如果已知4b2，求b.分析解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍.解： 32 33-229-4 5233223660.由的例子可知“”沒有交換律.要計(jì)算（176）2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：176317-2639；再計(jì)算第二步3923 39-22113，所以（176）2113.對(duì)于17（62），同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，6236-2214，其次171431721423，所以17（62）23.由的例子可知“”也沒有結(jié)合律.因?yàn)?b34-2b12-2b，那么12-2b2，解出b5.例2 定義運(yùn)算為abab（ab），求57，75；求12（34），（123）4；這個(gè)運(yùn)算“”有交換律、結(jié)合律嗎？如果3（5x）3，求x.解： 5757（57）35-1223，7 5 75（75）35-1223.要計(jì)算12（34），先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3434（34）5，再計(jì)算第二步125125（125）43，所以 12（34）43.對(duì)于（123）4，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，123123（123）21，其次214214（214）59，所以（12 3）459.由于abab（ab）；baba（ba）ab（ab）（普通加法、乘法交換律）所以有abba，因此“”有交換律.由的例子可知，運(yùn)算“”沒有結(jié)合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5）12x15（4x2） 8x 13那么 8x133 解出x2例5 x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求12）*3的值，首先我們要計(jì)算12，根據(jù)“”的定義：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l2的值也就計(jì)算出來了，我們?cè)O(shè)12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算（12）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）4=64求出 k的值.解：因?yàn)?*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：當(dāng)m=1，n=2時(shí)：（2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k有32k=64，解出k=2.當(dāng)m=3，n=1時(shí)：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k所以m=l，n=2，k=2. （12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題.習(xí)題三第四講 等差數(shù)列及其應(yīng)用許多同學(xué)都知道這樣一個(gè)故事：大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候，就利用巧妙的算法迅速計(jì)算出從1到100這100個(gè)自然數(shù)的總和.大家在佩服贊嘆之余，有沒有仔細(xì)想一想，高斯為什么算得快呢？當(dāng)然，小高斯的聰明和善于觀察是不必說了，往深處想，最基本的原因卻是這100個(gè)數(shù)及其排列的方法本身具有極強(qiáng)的規(guī)律性每項(xiàng)都比它前面的一項(xiàng)大1，即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡便的求和方法.通過這一講的學(xué)習(xí)，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和的方法，而且學(xué)會(huì)利用這種數(shù)列來解決許多有趣的問題.一、等差數(shù)列什么叫等差數(shù)列呢？我們先來看幾個(gè)例子：l，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，7，9，11，13. 2，4，6，8，10，12，14 3，6，9，12，15，18，21.100，95，90，85，80，75，70.20，18，16，14，12，10，8.這六個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)固定的數(shù)，像這樣的數(shù)列就稱為等差數(shù)列.其中這個(gè)固定的數(shù)就稱為公差，一般用字母d表示，如：數(shù)列中，d=2-1=3-2=4-3=1；數(shù)列中，d=3-1=5-3=13-11=2；數(shù)列中，d=100-95=95-90=75-70=5；數(shù)列中，d=20-18=18-16=10-8=2.例1下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說明理由.6，10，14，18，22，98；1，2，1，2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2；3，3，3，3，3，3，3，3；1，0，1，0，l，0，1，0；解：是，公差d=4.不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).不是，因?yàn)?-22-1.是，公差d=l.是，公差d=0.不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng).一般地說，如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)或者都不小于前面的項(xiàng)，或者每一項(xiàng)都大于前面的項(xiàng)，上述例1的數(shù)列中，第1項(xiàng)大于第2項(xiàng)，第2項(xiàng)卻又小于第3項(xiàng)，所以，顯然不符合等差數(shù)列的定義.為了敘述和書寫的方便，通常，我們把數(shù)列的第1項(xiàng)記為a1，第2項(xiàng)記為a2，第n項(xiàng)記為an，an。又稱為數(shù)列的通項(xiàng)，a1；又稱為數(shù)列的首項(xiàng)，最后一項(xiàng)又稱為數(shù)列的末項(xiàng).二、通項(xiàng)公式對(duì)于公差為d的等差數(shù)列a1，a2，an來說，如果a1；小于a2，則由此可知： (1)若a1；大于a2，則同理可推得：(2) 公式（1）（2）叫做等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式，在已知首項(xiàng)和公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項(xiàng).例2 求等差數(shù)列1，6，11，16的第20項(xiàng).解：首項(xiàng)a1 =1，又因?yàn)閍2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以運(yùn)用公式（1）可知：第20項(xiàng)a20=a1=（20-1）5=1+195=96.一般地，如果知道了通項(xiàng)公式中的兩個(gè)量就可以求出另外一個(gè)量，如：由通項(xiàng)公式，我們可以得到項(xiàng)數(shù)公式： 例3 已知等差數(shù)列2，5，8，11，14，問47是其中第幾項(xiàng)？解：首項(xiàng)a1=2，公差d=5-2=3令an=47則利用項(xiàng)數(shù)公式可得：n=（47-2）3+1=16.即47是第16項(xiàng).例4 如果一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第6項(xiàng)為33，求它的第8項(xiàng).分析與解答方法1：要求第8項(xiàng)，必須知道首項(xiàng)和公差.因?yàn)閍4=a1+3d，又a4=21，所以a1=21-3d又a6=a1+5d，又a6=33，所以a1=33-5d所以：21-3d=33-5d，所以d=6 a1=21-3d=3，所以 a8=3+76=45.方法2：考慮到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d，其中a6已知，只要求2d即可.又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d，所以 2d=a6-a4所以a8=3+76=45方法2說明：如果能夠靈活運(yùn)用等差數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系，解題將更為簡便.三、等差數(shù)列求和若a1 小于a2，則公差為d的等差數(shù)列a1,a2,a3an可以寫為a1,a1+d,a1+d2，a1+d（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=an-1+a2=an+a1.設(shè) Sn=a1+a2+a3+an則 Sn=an+an-1+an-2+a1兩式相加可得：2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+(an+a1)即：2Sn=n（a1+an）,所以，例5 計(jì)算 1+5+9+13+17+1993.當(dāng)a1；大于a2。時(shí)，同樣也可以得到上面的公式.這個(gè)公式就是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.解：因?yàn)?，5，9，13，17，1993是一個(gè)等差數(shù)列，且al=1，d=4，an=1993.所以，n=（ana1）d+1=499.所以，1+5+9+13+17+1993=（1+1993）4992=997499=497503.題目做完以后，我們?cè)賮矸治鲆幌?，本題中的等差數(shù)列有499項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第250項(xiàng)的值是997，而和恰等于997499.其實(shí)，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于中項(xiàng)有如下定理：這個(gè)定理稱為中項(xiàng)定理.例6 建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來，2，6，10，14， 容易知道，這是一個(gè)等差數(shù)列.方法1：a1=2， d=4， an=2106，貝n=（an-a1）d+1=527這堆磚共有則中間一項(xiàng)為 a264=a1+（264-1）4=1054.方法2：（a1+an）n2=（2+2106）5272=555458（塊）.則中間一項(xiàng)為（a1+an）2=1054a1=2， d=4， an=2106，這堆磚共有 1054527=555458（塊）.n=（an-a1）d+1=527例7 求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差.解：根據(jù)題意可列出算式：（2+4+6+8+2000）-（1+3+5+1999）解法1：可以看出，2，4，6，2000是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，1999也是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000.解法2：注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個(gè)1，即原式=10001=1000.例8 連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和為54，則以這九個(gè)自然數(shù)的末項(xiàng)作為首項(xiàng)的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是多少？分析與解答方法1：要想求這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，可以先求出這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè).即條件中的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的末項(xiàng).因?yàn)椋瑮l件中九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為54，所以，這九個(gè)自然數(shù)的中間數(shù)為549=6，則末項(xiàng)為6+4=10.因此，所求的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為（10+18）92=126.方法2：考察兩組自然數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：后一組自然數(shù)的每一項(xiàng)比前一組自然數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)大8，因此，后一組自然數(shù)的和應(yīng)為54+89=126.在方法1中，可以用另一種方法來求末項(xiàng)，根據(jù)求和公式Sn=（a1+an）n2，則 a1+a9=5429.又因?yàn)閍1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9 100個(gè)連續(xù)自然數(shù)（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個(gè)，第3個(gè)第99個(gè)，再把剩下的50個(gè)數(shù)相加，得多少？分析與解答方法1：要求和，我們可以先把這50個(gè)數(shù)算出來.100個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450，則：首項(xiàng)+末項(xiàng)=84502100=169，又因?yàn)槟╉?xiàng)比首項(xiàng)大99，所以，首項(xiàng)=（169-99）2=35.因此，剩下的50個(gè)數(shù)為：36，38，40，42，44，46134.這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為（36+134）502=4250.方法2：我們考慮這100個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?450.所以，剩下的數(shù)的總和為（8450+50）2=4250.四、等差數(shù)列的應(yīng)用例10 把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？解：由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為2107=30，所以，這7個(gè)數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個(gè)數(shù)是15，第6個(gè)數(shù)是40.例11 把27枚棋子放到7個(gè)不同的空盒中，如果要求每個(gè)盒子都不空，且任意兩個(gè)盒子里的棋子數(shù)目都不一樣多，問能否辦到，若能，寫出具體方案，若不能，說明理由.分析與解答因?yàn)槊總€(gè)盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同時(shí)，任兩盒中棋子數(shù)不一樣，所以7個(gè)盒中共有的棋子數(shù)至少為1+2+3+4+5+6+7=28.但題目中只給了27枚棋子，所以，題中要求不能辦到.例12 從1到50這50個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？解：設(shè)滿足條件的兩數(shù)為a、b，且ab，則若a=1，則b=50，共1種.若a=2，則b=49，50，共2種.若a=3，則b=48，49，50，共3種.若a=25，則b=26，27，50，共25種.若a=26，則b=27，28，50，共24種.（a=26，b=25的情形與a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，則b=28，29，50，共23種.若a=49，則b=50，共1種.所以，所有不同的取法種數(shù)為1+2+3+25+24+23+22+l=2（1+2+3+24）+25=625.例13 x+y+z=1993有多少組正整數(shù)解顯然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整數(shù)解的組數(shù)是：l+2+3+1991=1983036.本題中運(yùn)用了分類的思想，先按照x的值分類，在每一類中，又從y的角度來分類，如：x=1987時(shí)，因?yàn)閥+z=6，且y、z均為正整數(shù)，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分類，每一類對(duì)應(yīng)一組解，因此，x=1987時(shí)，共5組解.例13 把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)指出：197排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)？第10行的第9個(gè)數(shù)是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49 分析與解答197是奇數(shù)中的第99個(gè)數(shù).數(shù)表中，第1行有1個(gè)數(shù). 第2行有3個(gè)數(shù). 第3行有5個(gè)數(shù) 第n行有2n-l個(gè)數(shù)因此，前n行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+（2n-1）=1+（2n-1）n2=nn因?yàn)?9991010.所以，第99個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個(gè)數(shù)，即第18個(gè)數(shù)，即197位于第10行第18個(gè)數(shù).第10行的第9個(gè)數(shù)是奇數(shù)中的第90個(gè)數(shù).因?yàn)?9+9=90），它是179.例14 將自然數(shù)如下排列，1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 18 10 12 11 在這樣的排列下，數(shù)字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，問：1993排在第幾行第幾列？分析與解答不難看出，數(shù)表的排列規(guī)律如箭頭所指，為研究的方便，我們不妨把原圖順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45，就成為三角陣（如右圖），三角陣中，第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)第n行就有n個(gè)數(shù)，設(shè)1993在三角陣中的第n行，則：1+2+3+n-119931+2+3+n即：n（n-1）21993n（n+1）2用試值的方法，可以求出n=63.又因?yàn)?+2+62=1953，即第62行中最大的數(shù)為1953.三角陣中，奇數(shù)列的數(shù)字從左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角陣中第63行從左開始數(shù)起的第40個(gè)數(shù)（若從右開始數(shù)，則為第24個(gè)數(shù)）.把三角陣與左圖作比較，可以發(fā)現(xiàn)：三角陣中每一行從左開始數(shù)起的第幾個(gè)數(shù)，就位于左圖的第幾列.三角陣中每一行從右開始數(shù)起的第幾個(gè)數(shù)，就位于左圖的第幾行.由此，我們可知，1993位于原圖的24行40列.習(xí)題四1.求值： 6+11+16+501. 101+102+103+104+999.2.下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第100個(gè)算式的得數(shù)是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，3.11至18這8個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個(gè)連續(xù)數(shù)的和，這另外8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)如何分？5.300到400之間能被7整除的各數(shù)之和是多少？6.100到200之間不能被3整除的數(shù)之和是多少？7.把一堆蘋果分給8個(gè)小朋友，要使每個(gè)人都能拿到蘋果，而且每個(gè)人拿到蘋果個(gè)數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有幾個(gè)？8.下表是一個(gè)數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和.1，2，3，4，5，698，99，1002，3，4，5，6，799，100，1013，4，5，6，7，8100，101，102100，101，102，103，104，105197，198，199第五講 倒推法的妙用在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1 一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析 這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？把一個(gè)數(shù)用來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：（8）107456.如何求出中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56414.14是除以7后得到的，除以7之前是14798.98是加10后得到的，加10以前是98-1088.88是減8以后得到的，減8以前是88896.這樣倒推使問題得解.解：（8）107456 （8）107564答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意：從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).例2 馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析 馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少716，而把十位上的7看成1，使差增加701060.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111（7010）（71）57答：正確的答案是57.例3 樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析 倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48316（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16610（只）.同理，第二棵樹上原有鳥166814（只）.第一棵樹上原落鳥16824（只），使問題得解.解：現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48316（只）第一棵樹上原有鳥只數(shù). 16824（只）第二棵樹上原有鳥只數(shù).166814（只）第三棵樹上原有鳥只數(shù).16610（只）答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.例4 籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？分析 依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：（11）2121222（個(gè)）答：籃子里原有梨22個(gè).例5 甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？分析 解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個(gè)油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油1521416（千克）.又已知“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油”及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.解：甲乙兩桶油共剩多少千克？152-1416（千克）乙桶油剩多少千克？16（31）4（千克）甲桶油剩多少千克？4312（千克）用倒推法畫圖如下：從甲桶賣出油多少千克？ 15-114（千克）從乙桶賣出油多少千克？ 15510（千克）答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.例6 菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？分析 解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來.解：剩余的白菜是多少千克？18003600（千克）第二天運(yùn)進(jìn)200千克后的一半是多少千克？60030630（千克）第二天運(yùn)進(jìn)200千克后有白菜多少千克？63021260（千克）原來的一半是多少千克？12602001060（千克）原有貯存多少千克？106022120（千克）答：菜站原來貯存大白菜2120千克.綜合算式：（1800330）220022120（千克）答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.習(xí)題五1.某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).2.生產(chǎn)一批零件共560個(gè)，師徒二人合作用4天做完.已知師傅每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個(gè)？3.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時(shí)哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準(zhǔn)備挑幾塊磚？4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11?！蹦阒腊⒎蔡嵋还矌Я硕嗌馘X？買魚用了多少錢？第六講 行程問題（一）我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間存在這樣的基本關(guān)系：路程速度時(shí)間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題反向運(yùn)動(dòng)問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問題，下面，我們來具體看幾個(gè)例子.例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？分析 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6410（千米），即兩人的速度的和（簡稱速度和），所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.解：30（64）30103（小時(shí)）答：3小時(shí)后兩人相遇.例1是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：路程速度和時(shí)間. 例2 一列貨車早晨6時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？分析 貨車每小時(shí)行45千米，客車每小時(shí)比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時(shí)（4515）千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了（126）小時(shí)，而客車已行（1262）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：甲、乙兩地之間的距離是： 45（126）（4515）（1262）456604510（千米）.客車行完全程所需的時(shí)間是： 510（4515）510608.5（小時(shí)）.客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離： 51045（8.52）510472.537.5（千米）.答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米.例3 兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000360010（米），乙車的速度是每秒鐘54000360015（米）.本題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（1015）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（1015）14350（米）.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄?，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：（1015）14 350（米）答：乙車的車長為350米.我們也可以把例3稱為一個(gè)相背運(yùn)動(dòng)問題，對(duì)于相背問題而言，相遇問題中的基本關(guān)系仍然成立.例4 甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？分析 甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.解：AB間的距離是 6434819248144（千米）.兩次相遇點(diǎn)的距離為 14448643