老師多邊形及其內(nèi)角和經(jīng)典例題透析

1 知識要點(diǎn)梳理知識要點(diǎn)梳理 定義 由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形 凸多邊形 分類 1 凹多邊形 正多邊形 各邊相等 各角也相等的多邊形叫做正多邊形 分類 2 多邊形非正多邊形 1 n 邊形的內(nèi)角和等于 180 n 2 多邊形的定理 2 任意凸形多邊形的外角和等于 360 3 n 邊形的對角線條數(shù)等于 1 2 n n 3 只用一種正多邊形 3 4 6 鑲嵌拼成 360 度的角 只用一種非正多邊形 全等 3 4 知識點(diǎn)一 多邊形及有關(guān)概念知識點(diǎn)一 多邊形及有關(guān)概念 1 多邊形的定義 多邊形的定義 在平面內(nèi) 由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形 1 多邊形的一些要素 邊 組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 2 頂點(diǎn) 每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn) 內(nèi)角 多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角 一個 n 邊形有 n 個內(nèi)角 外角 多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角 2 在定義中應(yīng)注意 一些線段 多邊形的邊數(shù)是大于等于 3 的正整數(shù) 首尾順次相連 二者缺一不可 理解時要特別注意 在同一平面內(nèi) 這個條件 其目的是為了排除幾個點(diǎn)不共面的情況 即空間 多邊形 2 多邊形的分類 多邊形的分類 1 多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形 畫出多邊形的任何一條邊所在的直線 如果整個多邊形都在這 條直線的同一側(cè) 則此多邊形為凸多邊形 反之為凹多邊形 見圖 1 本章所講 的多邊形都是指凸 多邊形 凸多邊形 凹多邊形 圖 1 2 多邊形通常還以邊數(shù)命名 多邊形有 n 條邊就叫做 n 邊形 三角形 四邊形都屬于多邊形 其中三角 形是邊數(shù)最少的多邊形 知識點(diǎn)二 正多邊形知識點(diǎn)二 正多邊形 各個角都相等 各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形 如正三角形 正方形 正五邊形等 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形 要點(diǎn)詮釋 要點(diǎn)詮釋 各角相等 各邊也相等是正多邊形的必備條件 二者缺一不可 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形 四個 角都相等的四邊形也不一定是正方形 只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形 知識點(diǎn)三 多邊形的對角線知識點(diǎn)三 多邊形的對角線 多邊形的對角線多邊形的對角線 連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段 叫做多邊形的對角線 如圖 2 BD 為四邊形 ABCD 的 一條對角線 要點(diǎn)詮釋 要點(diǎn)詮釋 1 從 n 邊形一個頂點(diǎn)可以引 n 3 條對角線 將多邊形分成 n 2 個三角形 2 n 邊形共有條對角線 證明證明 過一個頂點(diǎn)有 n 3 條對角線 n 3 的正整數(shù) 又 共有 n 個頂點(diǎn) 共有 n n 3 條對角線 但過兩個不相鄰頂點(diǎn)的對角線重復(fù)了一次 凸 n 邊形 共有條對角線 知識點(diǎn)四 多邊形的內(nèi)角和公式知識點(diǎn)四 多邊形的內(nèi)角和公式 1 公式 公式 邊形的內(nèi)角和為 2 公式的證明 公式的證明 證法證法 1 在邊形內(nèi)任取一點(diǎn) 并把這點(diǎn)與各個頂點(diǎn)連接起來 共構(gòu)成個三角形 這個三角形的內(nèi)角和為 3 再減去一個周角 即得到邊形的內(nèi)角和為 證法證法 2 從邊形一個頂點(diǎn)作對角線 可以作條對角線 并且邊形被分成個三角形 這 個三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和 等于 證法證法 3 在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個頂點(diǎn)相連 得個三角形 邊形內(nèi)角和等于這個三角形的 內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個平角的度數(shù) 即 要點(diǎn)詮釋 要點(diǎn)詮釋 1 注意 以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想 2 內(nèi)角和定理的應(yīng)用 已知多邊形的邊數(shù) 求其內(nèi)角和 已知多邊形內(nèi)角和 求其邊數(shù) 知識點(diǎn)五 多邊形的外角和公式知識點(diǎn)五 多邊形的外角和公式 1 公式 公式 多邊形的外角和等于 360 2 多邊形外角和公式的證明 多邊形外角和公式的證明 多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角 所以邊形的內(nèi)角和加外角和為 外角和等于 注意 n 邊形的外角和恒等于 360 它與邊數(shù)的多少無關(guān) 要點(diǎn)詮釋 要點(diǎn)詮釋 1 外角和公式的應(yīng)用 已知外角度數(shù) 求正多邊形邊數(shù) 已知正多邊形邊數(shù) 求外角度數(shù) 2 多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和 外角和的關(guān)系 n 邊形的內(nèi)角和等于 n 2 180 n 3 n 是正整數(shù) 可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù) n 有關(guān) 每增加 1 條邊 內(nèi)角和增加 180 多邊形的外角和等于 360 與邊數(shù)的多少無關(guān) 知識點(diǎn)六 鑲嵌的概念和特征知識點(diǎn)六 鑲嵌的概念和特征 1 定義 定義 用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋 通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面 或平面 鑲嵌 這里的多邊形可以形狀相同 也可以形狀不相同 2 實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件 實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件 拼接在同一點(diǎn)的各個角的和恰好等于 360 相鄰的多邊形有公共邊 3 常見的一些正多邊形的鑲嵌問題 常見的一些正多邊形的鑲嵌問題 1 用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件 邊長相等 頂點(diǎn)公用 在一個頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為 360 2 只用一種正多邊形鑲嵌地面 對于給定的某種正多邊形 怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形 且不留一點(diǎn)空隙 解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形 的內(nèi)角特點(diǎn) 當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角 360 時 就能鋪成一個平面圖 形 事實(shí)上 正 n 邊形的每一個內(nèi)角為 要求 k 個正 n 邊形各有一個內(nèi)角拼于一點(diǎn) 恰好覆蓋地面 這樣 360 由此導(dǎo)出 k 2 而 k 是正整數(shù) 所以 n 只能取 3 4 6 因而 用相同的正 多邊形地磚鋪地面 只有正三角形 正方形 正六邊形的地磚可以用 注意 注意 任意四邊形的內(nèi)角和都等于 360 所以用一批形狀 大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無 空隙的地板 用任意相同的三角形也可以鋪滿地面 3 用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面 用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形 關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形 交接處各角之和能否拼成一個周 4 角 的問題 例如 用正三角形與正方形 正三角形與正六邊形 正三角形與正十二邊形 正四邊形與正八邊形都可 以作平面鑲嵌 見下圖 又如 用一個正三角形 兩個正方形 一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面 因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵?恰好為一個周角 360 規(guī)律方法指導(dǎo)規(guī)律方法指導(dǎo) 1 內(nèi)角和與邊數(shù)成正比 邊數(shù)增加 內(nèi)角和增加 邊數(shù)減少 內(nèi)角和減少 每增加一條邊 內(nèi)角的和 就增加 180 反過來也成立 且多邊形的內(nèi)角和必須是 180 的整數(shù)倍 2 多邊形外角和恒等于 360 與邊數(shù)的多少無關(guān) 3 多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角 最少沒有銳角 如矩形 多邊形的外角中最多有三個鈍角 最少 沒有鈍角 4 在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時 常與方程思想相結(jié)合 運(yùn)用方程思想是解決本節(jié) 問題的常用方法 5 在解決多邊形的內(nèi)角和問題時 通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決 三角形是一種基本圖形 是 研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ) 同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù) 學(xué)中的應(yīng)用 經(jīng)典例題透析經(jīng)典例題透析 經(jīng)典例題透析經(jīng)典例題透析 類型一 多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用類型一 多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用 1 一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的 5 倍 它是幾邊形 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 本題實(shí)際告訴了這個多邊形的內(nèi)角和是 解析 解析 設(shè)這個多邊形是邊形 則它的內(nèi)角和是 所以 解得 所以這個多邊形是十二邊形 總結(jié)升華 總結(jié)升華 本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用 只要設(shè)出邊數(shù) 根據(jù)條件列出關(guān)于的方程 求出的值即可 這是一種常用的解題思路 舉一反三 舉一反三 變式變式 1 若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為 1800 求這個多邊形的邊數(shù) 答案答案 設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為 根據(jù)題意得 解得 所以多邊形的邊數(shù)為 10 變式變式 2 一個多邊形除了一個內(nèi)角外 其余各內(nèi)角和為 2750 求這個多邊形的內(nèi)角和是多少 5 答案答案 設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為 這個內(nèi)角為 則 即 因?yàn)榈仁阶筮吺?180 的整數(shù)倍 所以等式右邊也是 180 的整數(shù)倍 又因?yàn)?所以 此時 所以這個多邊形的內(nèi)角和是 變式變式 3 個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為 1350 求這個多邊形的邊數(shù) 答案答案 可設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n 某一個外角為 則 n 2 180 1350 從而 n 2 因?yàn)檫厰?shù) n 為正整數(shù) 所以 90 n 9 類型二 多邊形對角線公式的運(yùn)用類型二 多邊形對角線公式的運(yùn)用 2 某校七年級六班舉行籃球比賽 比賽采用單循環(huán)積分制 即每兩個班都進(jìn)行一次比賽 你能算出一共需 要進(jìn)行多少場比賽嗎 思路點(diǎn)撥 思路點(diǎn)撥 本題體現(xiàn)與體育學(xué)科的綜合 解題方法參照多邊形對角線條數(shù)的求法 即多邊形的對角線條數(shù)加上邊 數(shù) 如圖 解析 解析 共需要比賽 場 所以一共需要進(jìn)行 15 場比賽 總結(jié)升華 總結(jié)升華 對于其他學(xué)科問題要善于把它與數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起 便于解決 舉一反三 舉一反三 變式變式 1 一個多邊形共有 20 條對角線 則多邊形的邊數(shù)是 A 6 B 7 C 8 D 9 答案答案 C 提示 一個多邊形的對角線條數(shù)為條 將 6 7 8 9 分別代入 結(jié)果為 20 的即為正確答 案 變式變式 2 一個十二邊形有幾條對角線 解析解析 過十二邊形的任意一個頂點(diǎn)可以畫 9 條對角線 那么十二個頂點(diǎn)可以畫 12 9 條對角線 但每條對角線在每個頂點(diǎn)都數(shù)了一次 所以實(shí)際對角線的條數(shù)應(yīng)該為 12 9 2 54 條 十二邊形的對角線共有 54 條 總結(jié)升華總結(jié)升華 對于一個 n 邊形的對角線的條數(shù) 我們可以總結(jié)出規(guī)律條 牢記這個公式 以后只要用相應(yīng) 的 n 的值代入即可求出對角線的條數(shù) 要記住這個公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢 6 類型三 可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題類型三 可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題 3 如圖 求 A B C D E F G 的度數(shù) 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 設(shè)法將這幾個角轉(zhuǎn)移到一個多邊形中 然后利用多邊形內(nèi) 角和公式求解 解析 解析 連接 BF 則 A G 1 2 A ABC C D E EFG G 1 2 ABC C D E EFG 5 2 180 540 總結(jié)升華 總結(jié)升華 本題通過作輔助線 把 A 與 G 的和轉(zhuǎn)化為 1 與 2 的和 從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和運(yùn) 算 轉(zhuǎn)化思想 是解決本題的關(guān)鍵 舉一反三 舉一反三 變式變式 1 如圖所示 1 2 3 4 5 6 答案答案 360 提示 把 1 2 3 4 5 6 轉(zhuǎn)移到同一個多邊形內(nèi) 變式變式 2 如圖所示 求 A B C D E F 的度數(shù) 解析解析 連結(jié) ED 在 AOB 和 DOE 中 AOB DOE 1 2 A B A B C CDO OEF F 2 1 C CDO OEF F C CDE DEF F 360 類型四 實(shí)際應(yīng)用題類型四 實(shí)際應(yīng)用題 4 如圖 一輛小汽車從 P 市出發(fā) 先到 B 市 再到 C 市 再到 A 市 最后返回 P 市 這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角 思路點(diǎn)撥 思路點(diǎn)撥 根據(jù)多邊形的外角和定理解決 解析 解析 如圖 當(dāng)小汽車從 P 出發(fā)行駛到 B 市 由 B 市向 C 市行駛時轉(zhuǎn)的角是 由 C 市向 A 市行駛時轉(zhuǎn)的角是 由 A 市向 P 市行駛時轉(zhuǎn)的角是 因此 小汽車從 P 市出發(fā) 經(jīng) B 市 C 市 A 市 又回到 P 市 共轉(zhuǎn) 總結(jié)升華 總結(jié)升華 旋轉(zhuǎn)的角度是指原來前進(jìn)的方向與轉(zhuǎn)彎后的方向的夾角 小汽車沿 任意多邊形行駛一周回到原處 轉(zhuǎn)過的角度都是 360 7 舉一反三 舉一反三 變式變式 1 如圖所示 小亮從 A 點(diǎn)出發(fā)前進(jìn) 10m 向右轉(zhuǎn) 15 再前進(jìn) 10m 又向右轉(zhuǎn) 15 這樣一直走 下去 當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時 一共走了 m 答案答案 240 提示 小亮每次向右轉(zhuǎn)的角度相同 并且前進(jìn)的路程也相同 因此當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn) A 時 所走的路程是一個正多邊形的周長 每次轉(zhuǎn)的角度是這個正多邊形的一個外角 所以這個正多邊形的邊數(shù)是 360 15 24 所以小亮一共走了 10 24 240 m 變式變式 2 小華從點(diǎn) A 出發(fā)向前走 10 米 向右轉(zhuǎn) 36 然后繼續(xù)向前走 10 米 再向右轉(zhuǎn) 36 他以同樣的方 法繼續(xù)走下去 他能回到點(diǎn) A 嗎 若能 當(dāng)他走回點(diǎn) A 時共走了多少米 若不能 寫出理由 解析解析 可以走回到 A 點(diǎn) 共走 100 米 理由 根據(jù)多邊形的外角和是 360 可知 每次向右轉(zhuǎn) 36 并且都走 10 米 可得 小華共轉(zhuǎn) 10 次 故共走 100 米 所以 可以走回到 A 點(diǎn) 共走 100 米 變式變式 3 如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板 已知該模板的邊 AB CF CD AE 按規(guī)定 AB CD 的延長線相 交成 80 角 因交點(diǎn)不在模板上 不便測量 這時師傅告訴徒弟只需測一個角 便知道AB CD 的延長線的夾角是否 合乎規(guī)定 你知道需測哪一個角嗎 說明理由 思路點(diǎn)撥 思路點(diǎn)撥 本題中將 AB CD 延長后會得到一個五邊形 根據(jù)五邊形內(nèi)角和為 540 又由 AB CF CD AE 可知 BAE AEF EFC 360 從 540 中減去 80 再減去 360 剩下 C 的度數(shù)為 100 所以只需測 C 的度數(shù)即可 同理還可直接測 A 的度數(shù) 解析 解析 測 A 或 C 的度數(shù) 只需 A 100 或 C 100 即知模板中 AB CD 的延長線的夾角是否符合規(guī)定 理由如下 連接 AF AB CF BAF AFC 180 又 EAF E AFE 180 BAE E EFC 360 若 C 100 則 AB CD 的延長線的夾角 540 360 100 80 即符合規(guī)定 同理 若連接 CE 可得 AEF F DCF 360 若 A 100 則也符合規(guī)定 總結(jié)升華 總結(jié)升華 本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算 關(guān)鍵在于正確添加輔助線 類型五 鑲嵌問題類型五 鑲嵌問題 5 分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖 1 正方形和正八邊形 2 正三角形和正十二邊形 3 正三角形 正方形和正六邊形 思路點(diǎn)撥 思