12能得到直角三角形嗎.doc

2.能得到直角三角形嗎教學(xué)時(shí)間第三課時(shí)課 題1.2 能得到直角三角形嗎教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.掌握直角三角形的判別條件.2.熟記一些勾股數(shù).3.能對(duì)直角三角形的判別條件進(jìn)行一些綜合應(yīng)用.(二)能力訓(xùn)練要求1.用三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.2.通過(guò)對(duì)直角三角形判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神.(三)情感與價(jià)值觀要求1.通過(guò)介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的愿望.2.通過(guò)對(duì)勾股定理逆定理的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，克服困難的勇氣；體驗(yàn)勾股定理及其逆定理在生活實(shí)際中的實(shí)用性.教學(xué)重點(diǎn)直角三角形的判別條件及其應(yīng)用；它可用邊的關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。教學(xué)難點(diǎn)用直角三角形的判別條件判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形及綜合應(yīng)用直角三角形的知識(shí)解題.教學(xué)方法引導(dǎo)啟發(fā)法.教師通過(guò)介紹古埃及人作直角的方法啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已知數(shù)據(jù)作出三角形，并用測(cè)量的方法、探索、歸納用三角形三邊關(guān)系判定直角三角形的條件.教具準(zhǔn)備一根有13個(gè)等距的結(jié)的繩子.投影片兩張：第一張：例題(記作1.2 A)；第二張：隨堂練習(xí)(記作1.2 B).教學(xué)過(guò)程.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課師下面我們來(lái)總結(jié)一下直角三角形有哪些性質(zhì).生直角三角形有如下性質(zhì)：有一個(gè)內(nèi)角為直角；兩個(gè)銳角互余；兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.生在含30角的直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.師很好，反過(guò)來(lái)，一個(gè)三角形，滿足什么條件就是直角三角形呢？生如果有一個(gè)內(nèi)角是直角，它就是直角三角形.生如果有兩個(gè)角的和是90，那么這個(gè)三角形也是直角三角形.師我們可以注意到這些同學(xué)都是通過(guò)角的關(guān)系判定直角三角形的.前面，我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b，斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2+b2=c2.我們是否也可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來(lái)判定它是否為直角三角形呢？.講述新課1.古代埃及人作直角師其實(shí)，古代埃及人就曾用三角形三邊的關(guān)系作出了直角.下面我們一同演示一下.我這兒有一根繩子，上面有13個(gè)等距的結(jié)，把這根繩子分成等長(zhǎng)的12段.下面我讓一個(gè)同學(xué)同時(shí)握住繩子的第(1)個(gè)和第(13)個(gè)結(jié)，再讓兩個(gè)同學(xué)分別握住繩子的第(4)個(gè)結(jié)和第(8)個(gè)結(jié)，(如下圖所示)拉緊繩子，大家觀察可以發(fā)現(xiàn)什么？生得到一個(gè)直角三角形，在第(4)個(gè)結(jié)處的角是直角.師我們?cè)賮?lái)看在第(1)個(gè)結(jié)到第(4)個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長(zhǎng)度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因?yàn)?2+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三邊滿足a2+b2=c2，就可以得到一個(gè)直角三角形呢？我們不妨再找?guī)捉M數(shù)試一試.2.做一做下面四組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.(1)這四組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？(2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？師生共析(1)52+122=169=132；72+242=625=252；82+152=289=172；52+62=6172.所以這四組數(shù)，前三組滿足a2+b2=c2，而最后一組不滿足.師以5，12，13這一組數(shù)為例，誰(shuí)能告訴我如何作出以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的三角形呢？生作法：作線段AB=5個(gè)單位長(zhǎng)度；分別以A、B為圓心，12個(gè)單位長(zhǎng)度，13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于線段AB的同旁于一點(diǎn)C；連結(jié)AC、BC.ABC就是以5、12、13為邊長(zhǎng)的三角形.師很好.下面同學(xué)們就以小組為單位來(lái)完成第(2)小題.(讓學(xué)生親自動(dòng)手作三角形，并用量角器量出各個(gè)內(nèi)角，然后小組內(nèi)交流，從而獲得一個(gè)三角形是直角三角形三邊的條件)生我們通過(guò)作三角形，測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角發(fā)現(xiàn)：前三組數(shù)滿足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一組數(shù)不滿足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.師你能告訴我在你作出的直角三角形中，哪一邊是斜邊嗎？哪一個(gè)角是直角嗎？生前三組數(shù)中，較長(zhǎng)的邊是斜邊，斜邊所對(duì)的角是直角.師從“做一做”中你能猜想到什么結(jié)論呢？生如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.師剛才，我們只是從特例中猜想出來(lái)上面的結(jié)論.可能有的同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑慮，果真如此嗎？下面我用前面的知識(shí)解釋一下這個(gè)結(jié)論，大家就會(huì)知道，我們的猜想是正確的.已知：在ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.請(qǐng)說(shuō)明：c=90解：作ABC，使C=90，BC=a，AC=b，那么AB2=a2+b2(為什么？).由已知條件a2+b2=c2，可得AB2=c2，即AB=c.(AB0，c0)在ABC和ABC中有BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB，則ABCABC.所以C=C=90.現(xiàn)在大家沒有疑慮了吧.同時(shí)也明白了古埃及人那樣做的道理.實(shí)際上，古代中國(guó)人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技發(fā)達(dá)的今天人類已跨入21世紀(jì)，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”.“三四五放線法”是一種古老的規(guī)范操作.所謂“歸方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？如下圖，欲過(guò)基線MN上的一點(diǎn)C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測(cè)繩的0和12尺處，固定在C點(diǎn)；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點(diǎn)；再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點(diǎn).于是連結(jié)BC，就是MN的垂線.建筑工人用了3，4，5作出了一個(gè)直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？生可以.例如7，24，25；8，15，17等.師是的.如果三角形三條邊滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).那么滿足條件的勾股數(shù)有多少組呢？它們是如何形成的？我們的先人數(shù)學(xué)家劉徽和希臘數(shù)學(xué)家曾相繼提出了表示所有勾股整數(shù)組的方法.下面我們來(lái)了解一下這方面的情況.3.讀一讀師同學(xué)們可以打開課本P11，閱讀“讀一讀”勾股數(shù)組與費(fèi)馬大定理.(讀一讀介紹了尋找勾股數(shù)組的一種方法以及由此引發(fā)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)問(wèn)題費(fèi)馬大定理)現(xiàn)在我們就來(lái)嘗試驗(yàn)證其中提供的求勾股數(shù)組方法的合理性.即求證：m2n2，m2+n2，2mn(mn，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng).師生共析要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定條件來(lái)判斷它們是否是一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng).證明：mn，m、n是正整數(shù).(m2n2)+(m2+n2)=2m22mn.即(m2n2)+(m2+n2)2mn.又因?yàn)?m2n2)+2mn=m2+n(2mn)而2mn=m+(mn)0，所以(m2n2)+2mnm2+n2，由此可知， 這三條線段可組成三角形.又因?yàn)?m2n2)2+(2mn)2=m4+4m2n22m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.則(m2n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.由直角三角形的判定條件，可知：這三條線段組成的三角形是直角三 角形.師你能用這個(gè)方法找到5組勾股數(shù)嗎？生可以，如下表mnm、n是正整數(shù)勾股數(shù)組m2n22mnm2+n2m=2，n=1345m=3，n=251213m=4，n=372425m=5，n=494041m=3，n=18610下面我們利用直角三角形判定的條件來(lái)看幾個(gè)例題.4.例題講解出示投影片(1.2A)例1一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中A和DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎？分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問(wèn)題的例子.解：在ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以ABD是直角三角形，A是直角.在BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以BCD是直角三角形，DBC是直角.因此這個(gè)零件符合要求.隨堂練習(xí)1.(課本P18)下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理由.(1)9，12，15； (2)15，36，39；(3)12，35，36； (4)12，18，22.解：根據(jù)直角三角形的判定條件.(1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)兩組數(shù)可以作為直角三角形的三邊；但(3)122+352362，(4)122+182322，所以(3)(4)兩組數(shù)不能作為直角三角形的三邊.2.(補(bǔ)充練習(xí))出示投影片(1.2 B)(1)判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形.解：因?yàn)閍2+b2=100+64=164c2即a2+b2c2，所以由a，b，c不能組成直角三角形.請(qǐng)問(wèn)：上述解法對(duì)嗎？為什么？(2)已知：在ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC邊上的中線AD=12 cm.求證：AB=AC.(1)解：上述解法是不對(duì)的.因?yàn)閍=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于等三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，b、c是兩直角邊.評(píng)注：在解題時(shí)，我們不能簡(jiǎn)單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應(yīng)先判斷哪一條邊有可能作為斜邊.往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和.(2)證明：根據(jù)題意，畫出圖形.AB=13 cm，BC=10 cm.AD是BC邊上的中線BD=CD=5 cm.在ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.所以AB2=AD2+BD2.則ADB=90.ADC=180ADB=18090=90.在RtADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.所以AC=AB=13 cm.課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們歸納推理出直角三角形判定條件，并用它去解決生活實(shí)際中的問(wèn)題，最后我們還介紹了求勾股數(shù)組的方法.課后作業(yè)1.課本P20，習(xí)題1.4；2.熟記幾組常用的勾股數(shù).活動(dòng)與探究給出一組式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262(1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎？請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個(gè)式子；(2)請(qǐng)你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.過(guò)程：觀察式子，要注意這些式子中不變的形式，如等式兩邊每一項(xiàng)的指數(shù)為2，等式左邊是平方和的形式，右邊是一個(gè)數(shù)的平方.很顯然，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再觀察每一項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系.如32，82，152，242與序號(hào)有何關(guān)系，可知32=(221)2，82=(321)2，152=(421)2，242=(521)2；所以我們可推想，第一項(xiàng)一定是(n21)2.(其n1，n為整數(shù)).同理可得第二項(xiàng)一定是(2n)2，等式右邊一定是(n2+1)2(其中n1，n為整數(shù)).(1)解：上面的式子是有規(guī)律的，即(n21)2+(2n)2=(n2+1)2(n為大于1的整數(shù)).第5個(gè)式子是n=6時(shí)，即(621)2+(26)2=(62+1)2化簡(jiǎn)，得352+122=372.(2)證明：左邊=(n21)2+(2n)2=(n42n