2013 年自主招生專題第一講 集合與命題(學(xué)生).doc

2013 年自主招生專題第一講 ：集合與命題（學(xué)生）第一部分 近年來自主招生數(shù)學(xué)試卷解讀近年來名牌高校自主招生考試競爭愈演愈烈，了解自主招生考試特點(diǎn)，合理安排日常學(xué)習(xí)，積極備考對各位考生意義重大。下面簡要分析一下自主招生數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn) ，并對一些有代表性的試題作簡要分析。 自主招生試題特點(diǎn)：試題總難度高于高考，多數(shù)題目達(dá)到高考中高難度，部分題目達(dá)到競賽難度，試題靈活多變，毫無規(guī)律可尋，但各個學(xué)校的試題已經(jīng)開始形成各自的風(fēng)格。總的來說，函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、排列組合等內(nèi)容是高頻考點(diǎn)。應(yīng)試策略：1、注重基礎(chǔ)：一般說來，自主招生中，中等難度題目分?jǐn)?shù)比例大約60% 左右。 2、聯(lián)系教材，適度拓寬知識面：注意課本上的自主.探究和閱讀材料，對和大學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘。自主招生中，有不少試題都來源于這些材料。 3、掌握競賽數(shù)學(xué)的基本知識和解題技巧，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。 4、考前進(jìn)行模擬訓(xùn)練，熟悉每個高校的命題特點(diǎn)，掌握答題技巧。高頻考點(diǎn)一覽：不等式均值不等式與柯西不等式的綜合運(yùn)用，凸函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式的常用方法雜題常見的組合數(shù)學(xué)問題（組合計(jì)算、組合構(gòu)造、博弈問題、染色問題）解析幾何解析幾何的基本運(yùn)算、取值范圍與最值問題以及探索性問題平面幾何平面幾何的基本計(jì)算和證明、三角形五心問題、圖形變換函數(shù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性的證明與應(yīng)用三角函數(shù)一些具有技巧性的三角變換，三角恒等式和簡單的三角不等式問題立體幾何復(fù)雜的空間幾何構(gòu)型，空間范圍內(nèi)的旋轉(zhuǎn)對稱等變換問題排列組合比較具有技巧性的排列組合問題和一些復(fù)雜的概率問題方程和多項(xiàng)式高次方程，無理方程的技巧性處理，一些簡單的多項(xiàng)式知識數(shù)列非等比等差數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式、求和公式的常見解法一、 試題特點(diǎn)分析：1. 突出對思維能力和解題技巧的考查。2. 注重?cái)?shù)學(xué)知識和其它科目的整合，考查學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。二、 應(yīng)試和準(zhǔn)備策略1. 注意知識點(diǎn)的全面數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，一般知識點(diǎn)都是靠平時(shí)積累，因此，要求學(xué)生平時(shí)要把基礎(chǔ)知識打扎實(shí)。剩下的就是個人的現(xiàn)場發(fā)揮。2. 注意適當(dāng)補(bǔ)充一點(diǎn)超綱內(nèi)容如上面提及的一些平時(shí)不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問題，如矩陣，行列式等也不可忽視。3. 適當(dāng)做近幾年的自主招生的真題俗話說，知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學(xué)們可適當(dāng)?shù)赜?xùn)練近幾年自己所考的高校自主招生的試題，熟悉一下題型和套路還是有益的。4. 注重知識的延伸加深復(fù)旦，交大，清華等全國重點(diǎn)院校自主招生試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競賽試題又稍簡單。有些問題稍有一定的深度，這就要求考生平時(shí)注意知識點(diǎn)的延伸加深。例如2008年復(fù)旦自主招生的第88題：此題若是知道三次方程的韋達(dá)定理，則容易解決。但平時(shí)同學(xué)們對二次方程的韋達(dá)定理很熟悉，對三次方程的韋達(dá)定理則比較陌生。又比如，柯西不等式可以解決許多不等式問題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其實(shí)應(yīng)用得非常廣泛，我們將在不等式一講中將會介紹它?？傊瑢W(xué)們?nèi)羰亲⒁庖恍┲R點(diǎn)的延伸和加深，考試時(shí)必定會有一種居高臨下的感覺。第二部分：集合與命題一、 知識補(bǔ)充：容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)問題：開運(yùn)動會時(shí)，高一某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，問同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人？解：二抽 屜 原 理抽屜原理的基本形式 定理1、如果把n+1個元素分成n個集合，那么不管怎么分，都存在一個集合，其中至少有兩個元素。 證明：（用反證法）若不存在至少有兩個元素的集合，則每個集合至多1個元素，從而n個集合至多有n個元素，此與共有n+1個元素矛盾，故命題成立。 例1 已知在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有任意五個點(diǎn)（圖1）。證明：至少有兩個點(diǎn)之間的距離不大于.第三部分、典型例題1（1987年全國高中聯(lián)賽）已知集合若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則a的值為 .解： 2.(2007年上海交大)設(shè)不等式與解集分別為M和N,若M是N的真子集,則的最小值為 .3.(2007年清華大學(xué))對于集合,稱M為開集,當(dāng)且僅當(dāng),使得.判斷集合與是否為開集,請證明你的結(jié)論.4.(2009年清華大學(xué))求證:一個數(shù)列中各數(shù)相等的充要條件是:其中任意個元素中的個之和等于另外個元素之和.5.(2006年清華大學(xué))求由正整數(shù)集組成的集合S,使S中的所有元素之和等于所有元素之積.6. (2009年浙江大學(xué))已知，設(shè)二次函數(shù).證明：對任意均有成立的充要條件是.7. (2009年清華大學(xué))求證：當(dāng)p,q均為奇數(shù)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為無理數(shù).8.(2009年北京大學(xué))是否存在,使與均為有理數(shù)?說明理由。9. (2006年清華大學(xué))已知都是有理數(shù)，也是有理數(shù).證明：都是有理數(shù).10.(43屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽)設(shè)S為集合的子集，并且S中的任意2個元素之和不能被7整除，那么S中元素最多有多少個？ 三、針對性訓(xùn)練1對集合1，2，n及其每一個非空了集，定義一個唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。2n元集合具有多少個不同的不交子集對？3.以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；1；若，,則。試判斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系。4.若為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三個集合中至少有兩個相等。（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？5.設(shè)，且A具有下列性質(zhì)：（1）對任意，恒有；（2）。試證A中的元素為奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)，且為定值.6(2010年江蘇五校)已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），l(A)表示aiaj(1ijn)的所有不同值的個數(shù)（1）已知集合P2，4，6，8