物理競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)知識(shí).doc

物理競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)知識(shí)一、重要函數(shù)1 指數(shù)函數(shù)2 三角函數(shù)3 反三角函數(shù)反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x這些函數(shù)的統(tǒng)稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。二、數(shù)列、極限1 數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，an，a（n+1）， 簡(jiǎn)記為an，通項(xiàng)公式：數(shù)列的第N項(xiàng)an與項(xiàng)的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。2 等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，前n項(xiàng)和等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。通項(xiàng)公式an=a1q (n-1)，前n項(xiàng)和所有項(xiàng)和3 求和符號(hào)4 數(shù)列的極限：設(shè)數(shù)列,當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí),若通項(xiàng)無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),則稱數(shù)列收斂于A,或稱A為數(shù)列的極限,記作否則稱數(shù)列發(fā)散或不存在.三、函數(shù)的極限：在自變量x的某變化過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x在該變化過(guò)程中的極限。設(shè)f(x)在xa(a0)有定義,對(duì)任意e0,總存在X0,當(dāng)xX時(shí)，恒有| f(x)-A|e，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x+時(shí)的極限。記為f(x)=A，或f(x) A(x+)。運(yùn)算法則f(x) g(x)=f(x) g(x)f(x) g(x)=f(x) g(x)，其中g(shù)(x) 0.四、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1若，則稱是時(shí)的無(wú)窮小量。（若則稱是時(shí)的無(wú)窮大量）?；颍喝鬭(x)=0 ,則稱a(x)當(dāng)x x0時(shí)為無(wú)窮小。在自變量某變化過(guò)程中，|f(x)|無(wú)限增大，則稱f(x)在自變量該變化過(guò)程中為無(wú)窮大。記為 2無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量；無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。3無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)（i）有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量。（ii）無(wú)窮小量乘有界變量仍為無(wú)窮小量。（iii）有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。4無(wú)窮小的比較定義：設(shè)a (x)=0，b (x)=0，1)若=0，則稱當(dāng)x x0時(shí)b (x)是比a (x)高階無(wú)窮小。2)若=，則稱當(dāng)x x0時(shí)b (x)是比a (x)低階無(wú)窮小。3)若=C(C0)，則稱當(dāng)x x0時(shí)b (x)與a (x)是同階無(wú)窮小，4)若=1,則稱當(dāng)x x0時(shí)b (x)與a (x)是等價(jià)無(wú)窮小。5常用的等價(jià)無(wú)窮小為：當(dāng)x0時(shí)： sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx，1-cos x， 。等價(jià)無(wú)窮小可代換五、二項(xiàng)式定理1 階乘：n!=123n2 組合數(shù)：從m個(gè)不同元素中取出n（nm）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)元素的組合數(shù)3 二項(xiàng)式定理即六、常用三角函數(shù)公式sin（）sin cos（）cos tan（）tansin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot 和差化積公式 積化和差公式 萬(wàn)能公式 典型物理問(wèn)題數(shù)列極限等應(yīng)用1 螞蟻離開(kāi)巢穴沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距巢中心距離L1=1m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是V1=2cm/s。 試問(wèn)螞蟻繼續(xù)由A點(diǎn)到距巢中心L2=2m的B點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？2 常見(jiàn)近似處理1 人在岸上以v0速度勻速運(yùn)動(dòng)，如圖位置時(shí)，船的速度是多少？2 如圖所示，頂桿AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動(dòng)，其下端由凹輪M推動(dòng)，凸輪繞O軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng).在圖示的瞬時(shí)，OA=r，凸輪輪緣與A接觸，法線n與OA之間的夾角為，試求此瞬時(shí)頂桿AB的速度.(第十一屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題)3三個(gè)芭蕾舞演員同時(shí)從邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正三角形頂點(diǎn)A,B,C出發(fā)，速率都是v，運(yùn)動(dòng)方向始終保持著A朝著B,B朝著C,C朝著A。經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三人相遇？每人經(jīng)過(guò)多少路程？4 如圖所示，半徑為R2的勻質(zhì)圓柱體置于水平放置的、半徑為R1的圓柱上，母線互相垂直，設(shè)兩圓柱間動(dòng)摩擦因數(shù)足夠大，不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，試問(wèn)穩(wěn)定平衡時(shí)，R1與R2應(yīng)滿足什么條件? 5.一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)DAB，且FD=L，如圖141所示，求獵犬的加速度的大小.解析：獵犬的運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因?yàn)閞不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于大小不變，如果求出D點(diǎn)的曲率半徑，此時(shí)獵犬的加速度大小也就求得了. 獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時(shí)刻開(kāi)始的一段很短的時(shí)間內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，則加速度其方向與速度方向垂直，如圖141甲所示.在時(shí)間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別 到達(dá)，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為/R而狐貍跑過(guò)的距離是： 因而/R/L，R=L/所以獵犬的加速度大小為=/L6如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩中的張力為多大？解析 取繩上一小段來(lái)研究，當(dāng)此段弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角很小時(shí)，有近似關(guān)系式若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對(duì)象，設(shè)這段繩所對(duì)應(yīng)的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為和（方向見(jiàn)圖143甲），因?yàn)槔K圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)這段繩子的質(zhì)量為，根據(jù)牛頓第二定律有：；因?yàn)槎魏芏?，它所?duì)應(yīng)的圓心角很小所以將此近似關(guān)系和代入上式得繩中的張力為7 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC，光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn)A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間.這里假設(shè)鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無(wú)碰撞的拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì). 在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖144中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希壍谰鶑腁點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點(diǎn)滑行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值.解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長(zhǎng)分別記為 、，如圖144甲所示，小球從A到B的時(shí)間記為，再?gòu)腂到C的時(shí)間為，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時(shí)間記為，由題意知，可得：=3：4：5，由此能得與的關(guān)系.因?yàn)樗砸驗(yàn)椋?3：4，所以 小球在圖144乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時(shí)間之和為，經(jīng)各水平段所需時(shí)間之和記為，則從A到C所經(jīng)時(shí)間總和為，最短的對(duì)應(yīng)的下限，最長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)的上限小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分別為勻速運(yùn)動(dòng)，同一水平段路程放在低處運(yùn)動(dòng)速度大，所需時(shí)間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時(shí)最短，其值即為，故= 的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，這兩個(gè)小量之間恒有，角即為ACB，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于、均為小量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速率運(yùn)動(dòng)，分別所經(jīng)的時(shí)間小量與之間有如下關(guān)聯(lián)：于是作為之和的上限與作為之和的之比也為故的上限必為，即得：這樣=7:5求導(dǎo)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念1導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,在該鄰域內(nèi)給自變量一個(gè)改變量,函數(shù)值有一相應(yīng)改變量,若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),此時(shí)稱y=f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo),用表示.若在集合D內(nèi)處處可導(dǎo)（這時(shí)稱f(x)在D內(nèi)可導(dǎo)）,則對(duì)任意,相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)將隨的變化而變化,因此它是x的函數(shù),稱其為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則就是曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,y0）處切線的斜率,此時(shí)切線方程為.當(dāng)=0,曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,y0）處的切線平行于x軸,切線方程為.若f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),又當(dāng)時(shí),此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,y0）處的切線垂直于x軸,切線方程為x=x0.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（1）；（2）；（3）；（4）二、微分1微分的概念設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,若在其中給一改變量,相應(yīng)的函數(shù)值的改變量可以表示為其中A與無(wú)關(guān),則稱在點(diǎn)可微,且稱A為在點(diǎn)的微分,記為是函數(shù)改變量的線性主部.在可微的充要條件是在可導(dǎo),且.當(dāng)時(shí),可得,因此由此可以看出,微分的計(jì)算完全可以借助導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來(lái)完成.（2）微分的幾何意義 當(dāng)由變到時(shí),函數(shù)縱坐標(biāo)的改變量為,此時(shí)過(guò)點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的改變量為dy.如圖2-1所示.當(dāng)dy時(shí),切線在曲線上方,曲線為凸弧.2微分運(yùn)算法則設(shè)可微,則三、不定積分1不定積分概念【定義】(原函數(shù)) 若對(duì)區(qū)間I上的每一點(diǎn)x,都有則稱F（x）是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)的特性 若函數(shù)f(x)有一個(gè)原函數(shù)F(x),則它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),且這無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)可表示為F（x）+C的形式,其中C是任意常數(shù).【定義】(不定積分) 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分,記作.若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則2不定積分的性質(zhì)（1）積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.（2）（3）3基本積分公式 四、定積分【定義】(定積分) 函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分定義為，【定理】(牛頓-萊布尼茨公式) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，是在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則.上述公式也稱為微積分基本定理,是計(jì)算定積分的基本公式.常見(jiàn)應(yīng)用1 一石砌堤，堤身在基石上，高為h，寬為b，如圖所示。堤前水深等于堤高h(yuǎn)，誰(shuí)和堤身的單位體積重量分別為q和，問(wèn)欲防止堤身繞A點(diǎn)翻倒，比值b/h應(yīng)等于多少？2一個(gè)半徑為四分之一的光滑球面置于水平桌面上球面上有一條光滑均勻的勻質(zhì)鐵鏈，一端固定于球面頂點(diǎn)A，另一段恰好與桌面不接觸，且單位長(zhǎng)度鐵鏈的質(zhì)量為p，求鐵鏈A端所受到拉力以及鐵連所受球面的支持力3質(zhì)量為m的均勻橡皮圈處于自然狀態(tài)下的半徑為r1，彈性系數(shù)為k。現(xiàn)將它保持水平套在半徑為r2的豎直圓柱上（r2r1），套上后橡皮圈的質(zhì)量分布仍是均勻的，橡皮圈與柱面之間的靜摩擦因數(shù)為?，F(xiàn)在圓柱體繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)