2019-2020學年貴港市桂平市高二上學期期末數(shù)學（理）試題（解析版）

2019-2020學年廣西壯族自治區(qū)貴港市桂平市高二上學期期末數(shù)學（理）試題一、單選題1拋物線x24y的焦點坐標是（）A（0，2）B（2，0）C（0，1）D（l，0）【答案】C【解析】先根據(jù)標準方程求出p值，判斷拋物線x24y的開口方向及焦點所在的坐標軸，從而寫出焦點坐標【詳解】拋物線x24y 中，p2，1，焦點在y軸上，開口向上，焦點坐標為 （0，1 ），故選：C【點睛】本題考查拋物線的標準方程和簡單性質的應用，拋物線 x22py 的焦點坐標為（0，），屬基礎題2已知向量，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)，有，解得的值.【詳解】根據(jù)，有，即，解得.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)向量共線的坐標表示，求參數(shù)的值.3某班有60名學生，其中男生有40人，現(xiàn)將男、女學生用分層抽樣法抽取12人觀看校演講總決賽，則該班中被抽取觀看校演講總決賽的女生人數(shù)為（ ）A8B6C4D2【答案】C【解析】根據(jù)男女生人數(shù)關系得男女生人數(shù)之比為，即可得出抽取的12人中男生女生各多少人.【詳解】某班有60名學生，其中男生有40人，則女生20人，男女生人數(shù)之比為，抽取的12人，女生人數(shù)為人.故選：C【點睛】此題考查抽樣方法，根據(jù)分層抽樣求樣本中各類數(shù)據(jù).4若橢圓上的一點到其左焦點的距離是6，則點到其右焦點的距離是（ ）A5B6C7D8【答案】D【解析】直接利用橢圓性質計算得到答案.【詳解】由橢圓的方程可知，點到兩個焦點的距離之和為.因為點到其左焦點的距離是6，所以點到其右焦點的距離是.故選：【點睛】本題考查了橢圓上的點到焦點的長度計算，屬于簡單題.5甲、乙兩人近五次某項測試成績的得分情況如圖所示,則（ ）A甲得分的平均數(shù)比乙的大B乙的成績更穩(wěn)定C甲得分的中位數(shù)比乙的大D甲的成績更穩(wěn)定【答案】B【解析】根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，可求出甲乙的平均數(shù)，中位數(shù)，分析數(shù)據(jù)的離散程度，確定方差大小，即可求解.【詳解】甲、乙得分的平均數(shù)均為13，中位數(shù)均為13，甲得分的方差明顯比乙大.故選:B【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及數(shù)據(jù)的分析，屬于基礎題.6給出下列四個說法，其中正確的是（ ）A命題“若，則”的否命題是“若，則”B“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C命題“，”的否定是“，”D命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題【答案】D【解析】A選項：否命題應該對條件結論同時否定，說法不正確；B選項：雙曲線的離心率大于，解得，所以說法不正確；C選項：否定應該是：，所以說法不正確；D選項：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項不正確；命題“，”的否定是“，”， 所以C選項不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”， 在中，若，可能，此時三角形不是銳角三角形，所以這是一個假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項說法正確.故選：D【點睛】此題考查四個命題關系，充分條件與必要條件，含有一個量詞的命題的否定，關鍵在于弄清邏輯關系，正確求解.7從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，則互為對立事件的是（ ）A“至少一個紅球”與“至少一個黃球”B“至多一個紅球”與“都是紅球”C“都是紅球”與“都是黃球”D“至少一個紅球”與“至多一個黃球”【答案】B【解析】A選項“至少一個紅球”與“至少一個黃球”可以同時發(fā)生；B選項說法正確；C選項僅僅是互斥而不是對立；D選項“至少一個紅球”與“至多一個黃球”可以同時發(fā)生.【詳解】從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，各種情況為：兩紅，一紅一黃，兩黃，三種情況，“至少一個紅球”即一紅一黃或兩紅，“至少一個黃球”即一紅一黃或兩黃，所以這兩個事件不是對立事件；“至多一個紅球”即一黃一紅或兩黃，與“都是紅球”互為對立事件；“都是紅球”與“都是黃球”僅僅是互斥事件；“至少一個紅球”即一紅一黃或兩紅，“至多一個黃球”即一紅一黃或兩紅，不是對立事件.故選：B【點睛】此題考查對立事件的辨析，關鍵在于弄清每個選項中的事件的本質意義.8已知直線：與雙曲線：交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的漸近線方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)點是弦的中點，兩點橫坐標之和等于2，聯(lián)立直線和雙曲線的方程，根據(jù)韋達定理求出 的值.【詳解】由題：，整理得：，設，是方程的兩根，由韋達定理，即，得：，即，此時符合題意，所以，所以雙曲線的漸近線方程是【點睛】此題考查根據(jù)直線與雙曲線的交點坐標關系結合韋達定理求解漸近線方程.9求的程序框圖，如圖所示，則圖中判斷框中可填入（ ）ABCD【答案】A【解析】閱讀程序框圖，寫出前面幾步，再總結規(guī)律，得到時，從而推斷判斷框應填的條件.【詳解】，；，； 依此類推，故判斷框中可填入“”.故選：A.【點睛】本題考查程序框圖的閱讀，求解的關鍵是抓住求和的規(guī)律，考查特殊到一般的思想的運用.10已知點在橢圓：上，直線：，則“”是“點到直線的距離的最小值是”的（ ）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“點到直線的距離的最小值是”解得：，即可判斷.【詳解】點在橢圓：上，直線：，考慮“點到直線的距離的最小值是”設，點到直線的距離點到直線的距離的最小值是，即的最小值，所以符號恒正或恒負，當時，當時，綜上所述：.所以“”是“點到直線的距離的最小值是”的充分不必要條件.故選：B【點睛】此題考查充分條件與必要條件的辨析，關鍵在于根據(jù)題意準確求出參數(shù)的取值范圍.11已知橢圓：的左、右焦點分別是，點在橢圓上，且，則的面積是（ ）A5BCD【答案】D【解析】在中，根據(jù)，結合余弦定理即可求解.【詳解】已知橢圓：的左、右焦點分別是，點在橢圓上，且，所以，設，中，由余弦定理，解得：，所以，則的面積.故選：D【點睛】此題考查橢圓焦點三角形，根據(jù)已知角度和邊長結合解三角形知識計算面積.12已知雙曲線：的左、右焦點分別為，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質，結合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設，有，即，所以；當時，所在直線方程，所以，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關計算，關鍵在于根據(jù)幾何意義結合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結合思想.二、填空題13若拋物線經(jīng)過點，則_.【答案】【解析】將點代入拋物線即可求解.【詳解】由題：拋物線經(jīng)過點，所以，即.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)點在曲線上代入求解參數(shù)值，屬于簡單題目.14如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，若，則_.【答案】0【解析】根據(jù)向量的運算法則依次代換成形式，即可得出未知數(shù)的值.【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，所以由題：所以即.故答案為：0【點睛】此題考查空間向量的基本運算，根據(jù)線性運算關系依次表示出所求向量即可.15若投擲一枚質地均勻的骰子，第一次投擲的點數(shù)為，第二次投擲的點數(shù)為，則的概率為_.【答案】【解析】將兩次點數(shù)表示成有序數(shù)對，分別求出基本事件總數(shù)和包含的基本事件個數(shù)即可求解概率.【詳解】將兩次點數(shù)表示成有序數(shù)對，根據(jù)基本計數(shù)原理得：基本事件總數(shù)為，包含的基本事件個數(shù)為，所以的概率.故答案為：【點睛】此題考查古典概型，關鍵在于準確求出基本事件總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).16已知拋物線：，點在軸上，直線：與拋物線交于，兩點，若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，則點的坐標是_.【答案】【解析】設出，線：與拋物線交于，兩點，即三點共線，根據(jù)直線與直線的斜率互為相反數(shù)，即可求出點坐標.【詳解】考慮直線：，即，所以直線恒過定點，設，直線：與拋物線交于，兩點，即三點共線，化簡得： 所以，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，即恒成立，則所以即點的坐標是 故答案為：【點睛】此題考查直線與拋物線的位置關系，關鍵在于合理使用點的坐標關系將題目所給條件轉化為代數(shù)運算求解參數(shù).三、解答題17眾所周知，城市公交車的數(shù)量太多會造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客的需求，為此，某市公交公司在某站臺的50名候車乘客中隨機抽取10名，統(tǒng)計了他們的候車時間（單位：分鐘），得到下表.候車時間人數(shù)14221（1）估計這10名乘客的平均候車時間（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）估計這50名乘客的候車時間少于10分鐘的人數(shù).【答案】（1）11.5；（2）【解析】（1）每組中點數(shù)據(jù)乘以該組人數(shù)，各組乘積之和再除以10即這10名乘客的平均候車時間；（2）根據(jù)樣本中候車時間少于10分鐘的頻率為，估計這50名乘客的候車時間少于10分鐘的人數(shù).【詳解】（1），故這10名乘客的平均候車時間約為11.5分鐘；（2）因為樣本中候車時間少于10分鐘的頻率為，所以可估計這50名乘客的候車時間少于10分鐘的人數(shù)為.【點睛】此題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體特征，關鍵在于根據(jù)分布表格準確求出平均數(shù)和某幾組之和.18已知拋物線：的焦點為，準線方程是.（1）求拋物線的方程；（2）過點且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，求；（3）設點在拋物線上，且，求的面積（為坐標原點）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)準線方程得，即可求出拋物線方程；（2）根據(jù)拋物線焦點弦的弦長公式求解；（3）根據(jù)求出的坐標即可得出三角形的面積.【詳解】（1）因為拋物線的準線方程是，所以，即，故拋物線的方程為；（2）因為直線過點，且傾斜角為，所以直線的方程是，聯(lián)立，整理得，設，則，故；（3）設，因為，所以，所以，將代入方程，解得，則的面積為.【點睛】此題考查直線與拋物線的位置關系，通過方程求解弦長和點的坐標進而求出三角形面積.19某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動“悅”動越健康親子運動打卡活動，為了解小朋友堅持打卡的情況，對該幼兒園所有小朋友進行了調查，調查結果如下表：打卡天數(shù)1718192021男生人數(shù)35372女生人數(shù)35573（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生平均打卡的天數(shù)；（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出所有男生打卡天數(shù)總和再除以男生人數(shù)即平均打卡天數(shù)；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任選2人交流心得，求出基本事件總數(shù)和選到男生和女生各1人所包含的基本事件個數(shù)即可求解概率.【詳解】（1）男生平均打卡的天數(shù).（2）男生打卡21天的2人記為，女生打卡21天的3人記為，則從打卡21天的小朋友中任選2人的情況有，共10種，其中男生和女生各1人的情況有，共6種.故所求概率.【點睛】此題考查求平均數(shù)和古典概率，關鍵在于準確求出打卡天數(shù)總和以及根據(jù)計數(shù)原理求出基本事件個數(shù).20某公司為了解某產(chǎn)品的獲利情況，將今年1至7月份的銷售收入（單位：萬元）與純利潤（單位：萬元）的數(shù)據(jù)進行整理后，得到如下表格：月份1234567銷售收入1313.513.81414.214.515純利潤3.23.844.24.555.5該公司先從這7組數(shù)據(jù)中選取5組數(shù)據(jù)求純利潤關于銷售收入的線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.假設選取的是2月至6月的數(shù)據(jù).（1）求純利潤關于銷售收入的線性回歸方程（精確到0.01）；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過0.1萬元，則認為得到的線性回歸方程是理想的.試問該公司所得線性回歸方程是否理想？參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）是【解析】（1）先求出，的平均數(shù)，再根據(jù)公式求出回歸方程；（2）根據(jù)所求出的回歸方程，依次檢驗1,7兩月的數(shù)據(jù)誤差是否超過0.1，即可下結論.【詳解】（1）， ，.故純利潤關于銷售收入的線性回歸方程是.（2）當時，；當時，.故該公司所得線性回歸方程是理想的.【點睛】此題考查求回歸直線方程，根據(jù)規(guī)則判斷模型是否理想，關鍵在于根據(jù)公式準確求出相關數(shù)據(jù).21如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，為的中點.（1）證明：平面.（2）若是等邊三角形，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一證明和即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量求解二面角.【詳解】（1）證明：連接.因為，所以，所以.因為為的中點，所以.因為為的中點，且，所以.因為，所以平面.（2）解：取的中點，連接，因為是等邊三角形，所以.由（1）可知平面，則，兩兩垂直，故以為原點，所在直線為軸，過作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系.因為底面是邊長為4的等邊三角形，所以.因為是等邊三角形，所以.所以，則，.設平面的法向量，則，令，得.易知平面的一個法向量為，記二面角為，則，故.【點睛】此題考查線面垂直的證明和建立空間直角坐標系利用向量求解二面角的大小.22已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上，且的最小值是（為坐標原點）.（1）求橢圓的標準方程.（2）已知動直線與圓：相切，且與橢圓交于，兩點.是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在【解析】（1）根據(jù)焦距和橢圓的幾何意義即可求出橢圓標準方程；（2）分別對斜率不存在和