2019-2020學(xué)年貴港市桂平市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年廣西壯族自治區(qū)貴港市桂平市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1拋物線x24y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A（0，2）B（2，0）C（0，1）D（l，0）【答案】C【解析】先根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出p值，判斷拋物線x24y的開口方向及焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線x24y 中，p2，1，焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，1 ），故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線 x22py 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），屬基礎(chǔ)題2已知向量，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)，有，解得的值.【詳解】根據(jù)，有，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，求參數(shù)的值.3某班有60名學(xué)生，其中男生有40人，現(xiàn)將男、女學(xué)生用分層抽樣法抽取12人觀看校演講總決賽，則該班中被抽取觀看校演講總決賽的女生人數(shù)為（ ）A8B6C4D2【答案】C【解析】根據(jù)男女生人數(shù)關(guān)系得男女生人數(shù)之比為，即可得出抽取的12人中男生女生各多少人.【詳解】某班有60名學(xué)生，其中男生有40人，則女生20人，男女生人數(shù)之比為，抽取的12人，女生人數(shù)為人.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查抽樣方法，根據(jù)分層抽樣求樣本中各類數(shù)據(jù).4若橢圓上的一點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離是（ ）A5B6C7D8【答案】D【解析】直接利用橢圓性質(zhì)計(jì)算得到答案.【詳解】由橢圓的方程可知，點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.因?yàn)辄c(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離是6，所以點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離是.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的長(zhǎng)度計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.5甲、乙兩人近五次某項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的得分情況如圖所示,則（ ）A甲得分的平均數(shù)比乙的大B乙的成績(jī)更穩(wěn)定C甲得分的中位數(shù)比乙的大D甲的成績(jī)更穩(wěn)定【答案】B【解析】根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，可求出甲乙的平均數(shù)，中位數(shù)，分析數(shù)據(jù)的離散程度，確定方差大小，即可求解.【詳解】甲、乙得分的平均數(shù)均為13，中位數(shù)均為13，甲得分的方差明顯比乙大.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及數(shù)據(jù)的分析，屬于基礎(chǔ)題.6給出下列四個(gè)說法，其中正確的是（ ）A命題“若，則”的否命題是“若，則”B“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C命題“，”的否定是“，”D命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題【答案】D【解析】A選項(xiàng)：否命題應(yīng)該對(duì)條件結(jié)論同時(shí)否定，說法不正確；B選項(xiàng)：雙曲線的離心率大于，解得，所以說法不正確；C選項(xiàng)：否定應(yīng)該是：，所以說法不正確；D選項(xiàng)：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項(xiàng)不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)不正確；命題“，”的否定是“，”， 所以C選項(xiàng)不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”， 在中，若，可能，此時(shí)三角形不是銳角三角形，所以這是一個(gè)假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項(xiàng)說法正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查四個(gè)命題關(guān)系，充分條件與必要條件，含有一個(gè)量詞的命題的否定，關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系，正確求解.7從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，則互為對(duì)立事件的是（ ）A“至少一個(gè)紅球”與“至少一個(gè)黃球”B“至多一個(gè)紅球”與“都是紅球”C“都是紅球”與“都是黃球”D“至少一個(gè)紅球”與“至多一個(gè)黃球”【答案】B【解析】A選項(xiàng)“至少一個(gè)紅球”與“至少一個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生；B選項(xiàng)說法正確；C選項(xiàng)僅僅是互斥而不是對(duì)立；D選項(xiàng)“至少一個(gè)紅球”與“至多一個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生.【詳解】從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，各種情況為：兩紅，一紅一黃，兩黃，三種情況，“至少一個(gè)紅球”即一紅一黃或兩紅，“至少一個(gè)黃球”即一紅一黃或兩黃，所以這兩個(gè)事件不是對(duì)立事件；“至多一個(gè)紅球”即一黃一紅或兩黃，與“都是紅球”互為對(duì)立事件；“都是紅球”與“都是黃球”僅僅是互斥事件；“至少一個(gè)紅球”即一紅一黃或兩紅，“至多一個(gè)黃球”即一紅一黃或兩紅，不是對(duì)立事件.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)立事件的辨析，關(guān)鍵在于弄清每個(gè)選項(xiàng)中的事件的本質(zhì)意義.8已知直線：與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于2，聯(lián)立直線和雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出 的值.【詳解】由題：，整理得：，設(shè)，是方程的兩根，由韋達(dá)定理，即，得：，即，此時(shí)符合題意，所以，所以雙曲線的漸近線方程是【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理求解漸近線方程.9求的程序框圖，如圖所示，則圖中判斷框中可填入（ ）ABCD【答案】A【解析】閱讀程序框圖，寫出前面幾步，再總結(jié)規(guī)律，得到時(shí)，從而推斷判斷框應(yīng)填的條件.【詳解】，；，； 依此類推，故判斷框中可填入“”.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的閱讀，求解的關(guān)鍵是抓住求和的規(guī)律，考查特殊到一般的思想的運(yùn)用.10已知點(diǎn)在橢圓：上，直線：，則“”是“點(diǎn)到直線的距離的最小值是”的（ ）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“點(diǎn)到直線的距離的最小值是”解得：，即可判斷.【詳解】點(diǎn)在橢圓：上，直線：，考慮“點(diǎn)到直線的距離的最小值是”設(shè)，點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離的最小值是，即的最小值，所以符號(hào)恒正或恒負(fù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：.所以“”是“點(diǎn)到直線的距離的最小值是”的充分不必要條件.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查充分條件與必要條件的辨析，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出參數(shù)的取值范圍.11已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在橢圓上，且，則的面積是（ ）A5BCD【答案】D【解析】在中，根據(jù)，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在橢圓上，且，所以，設(shè)，中，由余弦定理，解得：，所以，則的面積.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查橢圓焦點(diǎn)三角形，根據(jù)已知角度和邊長(zhǎng)結(jié)合解三角形知識(shí)計(jì)算面積.12已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當(dāng)為鈍角時(shí)的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可以只考慮點(diǎn)在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性不妨考慮點(diǎn)在雙曲線第一象限部分：當(dāng)為鈍角時(shí)，在中，設(shè)，有，即，所以；當(dāng)時(shí)，所在直線方程，所以，根據(jù)圖象可得要使，點(diǎn)向右上方移動(dòng)，此時(shí)，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.二、填空題13若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則_.【答案】【解析】將點(diǎn)代入拋物線即可求解.【詳解】由題：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)點(diǎn)在曲線上代入求解參數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題目.14如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則_.【答案】0【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則依次代換成形式，即可得出未知數(shù)的值.【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以由題：所以即.故答案為：0【點(diǎn)睛】此題考查空間向量的基本運(yùn)算，根據(jù)線性運(yùn)算關(guān)系依次表示出所求向量即可.15若投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，第一次投擲的點(diǎn)數(shù)為，第二次投擲的點(diǎn)數(shù)為，則的概率為_.【答案】【解析】將兩次點(diǎn)數(shù)表示成有序數(shù)對(duì)，分別求出基本事件總數(shù)和包含的基本事件個(gè)數(shù)即可求解概率.【詳解】將兩次點(diǎn)數(shù)表示成有序數(shù)對(duì)，根據(jù)基本計(jì)數(shù)原理得：基本事件總數(shù)為，包含的基本事件個(gè)數(shù)為，所以的概率.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查古典概型，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出基本事件總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).16已知拋物線：，點(diǎn)在軸上，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_.【答案】【解析】設(shè)出，線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，即三點(diǎn)共線，根據(jù)直線與直線的斜率互為相反數(shù)，即可求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】考慮直線：，即，所以直線恒過定點(diǎn)，設(shè)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，即三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)得： 所以，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，即恒成立，則所以即點(diǎn)的坐標(biāo)是 故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于合理使用點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系將題目所給條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算求解參數(shù).三、解答題17眾所周知，城市公交車的數(shù)量太多會(huì)造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿足乘客的需求，為此，某市公交公司在某站臺(tái)的50名候車乘客中隨機(jī)抽取10名，統(tǒng)計(jì)了他們的候車時(shí)間（單位：分鐘），得到下表.候車時(shí)間人數(shù)14221（1）估計(jì)這10名乘客的平均候車時(shí)間（同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）估計(jì)這50名乘客的候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù).【答案】（1）11.5；（2）【解析】（1）每組中點(diǎn)數(shù)據(jù)乘以該組人數(shù)，各組乘積之和再除以10即這10名乘客的平均候車時(shí)間；（2）根據(jù)樣本中候車時(shí)間少于10分鐘的頻率為，估計(jì)這50名乘客的候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù).【詳解】（1），故這10名乘客的平均候車時(shí)間約為11.5分鐘；（2）因?yàn)闃颖局泻蜍嚂r(shí)間少于10分鐘的頻率為，所以可估計(jì)這50名乘客的候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】此題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體特征，關(guān)鍵在于根據(jù)分布表格準(zhǔn)確求出平均數(shù)和某幾組之和.18已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程是.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求；（3）設(shè)點(diǎn)在拋物線上，且，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程得，即可求出拋物線方程；（2）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式求解；（3）根據(jù)求出的坐標(biāo)即可得出三角形的面積.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是，所以，即，故拋物線的方程為；（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線的方程是，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，故；（3）設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，將代入方程，解得，則的面積為.【點(diǎn)睛】此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，通過方程求解弦長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出三角形面積.19某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動(dòng)“悅”動(dòng)越健康親子運(yùn)動(dòng)打卡活動(dòng)，為了解小朋友堅(jiān)持打卡的情況，對(duì)該幼兒園所有小朋友進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：打卡天數(shù)1718192021男生人數(shù)35372女生人數(shù)35573（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生平均打卡的天數(shù)；（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出所有男生打卡天數(shù)總和再除以男生人數(shù)即平均打卡天數(shù)；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任選2人交流心得，求出基本事件總數(shù)和選到男生和女生各1人所包含的基本事件個(gè)數(shù)即可求解概率.【詳解】（1）男生平均打卡的天數(shù).（2）男生打卡21天的2人記為，女生打卡21天的3人記為，則從打卡21天的小朋友中任選2人的情況有，共10種，其中男生和女生各1人的情況有，共6種.故所求概率.【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù)和古典概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出打卡天數(shù)總和以及根據(jù)計(jì)數(shù)原理求出基本事件個(gè)數(shù).20某公司為了解某產(chǎn)品的獲利情況，將今年1至7月份的銷售收入（單位：萬(wàn)元）與純利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，得到如下表格：月份1234567銷售收入1313.513.81414.214.515純利潤(rùn)3.23.844.24.555.5該公司先從這7組數(shù)據(jù)中選取5組數(shù)據(jù)求純利潤(rùn)關(guān)于銷售收入的線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).假設(shè)選取的是2月至6月的數(shù)據(jù).（1）求純利潤(rùn)關(guān)于銷售收入的線性回歸方程（精確到0.01）；（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過0.1萬(wàn)元，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的.試問該公司所得線性回歸方程是否理想？參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）是【解析】（1）先求出，的平均數(shù)，再根據(jù)公式求出回歸方程；（2）根據(jù)所求出的回歸方程，依次檢驗(yàn)1,7兩月的數(shù)據(jù)誤差是否超過0.1，即可下結(jié)論.【詳解】（1）， ，.故純利潤(rùn)關(guān)于銷售收入的線性回歸方程是.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故該公司所得線性回歸方程是理想的.【點(diǎn)睛】此題考查求回歸直線方程，根據(jù)規(guī)則判斷模型是否理想，關(guān)鍵在于根據(jù)公式準(zhǔn)確求出相關(guān)數(shù)據(jù).21如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若是等邊三角形，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一證明和即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解二面角.【詳解】（1）證明：連接.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以.因?yàn)?，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危?由（1）可知平面，則，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以.因?yàn)槭堑冗吶切?，所?所以，則，.設(shè)平面的法向量，則，令，得.易知平面的一個(gè)法向量為，記二面角為，則，故.【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直的證明和建立空間直角坐標(biāo)系利用向量求解二面角的大小.22已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且的最小值是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知?jiǎng)又本€與圓：相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在【解析】（1）根據(jù)焦距和橢圓的幾何意義即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別對(duì)斜率不存在和