2019-2020學(xué)年大慶市鐵人中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1若98與63的最大公約數(shù)為，二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)為，則（ ）A53B54C58D60【答案】C【解析】由題意知，與63的最大公約數(shù)為7，又，選C點睛：求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)時，可用較大的數(shù)字除以較小的數(shù)字，得到商和余數(shù)，然后再用上一式中的除數(shù)和得到的余數(shù)中較大的除以較小的，以此類推，當(dāng)出現(xiàn)整除時，就得到要求的最大公約數(shù)2與命題“若，則”等價的命題是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】C【解析】分析：根據(jù)四種命題等價性關(guān)系判斷.詳解：原命題與其逆否命題等價，項是原命題的逆否命題，符合要求故選點睛： 與非非，與非非，與非非具有等價關(guān)系.3在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線變?yōu)榍€，則曲線的方程為（ ）ABCD【答案】B【解析】將代入曲線化簡可得到式子.【詳解】將代入曲線方程得到故答案為B.【點睛】本題考查了曲線的變換公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形.若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)直角三角形的三條邊長分別為,用表示出的關(guān)系,即可分別求出兩個陰影部分的面積,即可根據(jù)幾何概型概率的求法求得飛鏢落在陰影區(qū)域概率.【詳解】直角三角形的三條邊長分別為則,則兩個陰影部分的面積和為 所以飛鏢落在陰影區(qū)域概率為故選:D【點睛】本題考查了幾何概型概率的求法,三角函數(shù)的化簡求值,屬于中檔題.5袋中裝有3個黑球、2個白球、1個紅球，從中任取兩個，互斥而不對立的事件是（ ）A“至少有一個黑球”和“沒有黑球”B“至少有一個白球”和“至少有一個紅球”C“至少有一個白球”和“紅球黑球各有一個”D“恰有一個白球”和“恰有一個黑球”【答案】C【解析】根據(jù)互斥事件與對立事件的定義即可判斷.【詳解】對于A, “至少有一個黑球”和“沒有黑球”不能同時發(fā)生,且必有一個發(fā)生,因而為對立事件;對于B, “至少有一個白球”和“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生,所以不是互斥事件;對于C, “至少有一個白球”和“紅球黑球各有一個”兩個事件不能同時發(fā)生,且除這兩個事件還有其他事件(如兩個黑球)發(fā)生,所以兩個事件為互斥事件,但為不對立事件對于D, “恰有一個白球”和“恰有一個黑球”可以同時發(fā)生,所以不是互斥事件.綜上可知,C為正確選項故選:C【點睛】本題考查了互斥與對立事件的概念和判斷,屬于基礎(chǔ)題.6“”是“方程表示橢圓”的A充分必要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】 由題意，方程表示一個橢圓，則，解得且，所以“”是“方程”的必要不充分條件，故選C.點睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的形式，列出不等式組是解答關(guān)鍵，此類問題解答中容易忽視條件導(dǎo)致錯解，同時注意有時橢圓的焦點的位置，做到分類討論.7某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖,估計這次測試中數(shù)學(xué)成績的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）A73.3，75，72B72，75，73.3C75，72，73.3D75，73.3，72【答案】B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖,結(jié)合平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法,即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知,平均數(shù)為 眾數(shù)為最高矩形底邊的中點,即中為數(shù)為: 可得所以中為數(shù)為 綜上可知,B為正確選項故選:B【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算,屬于基礎(chǔ)題.8閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出S的值為()A-10B6C14D18【答案】B【解析】模擬法：輸入；不成立；不成立成立輸出,故選B.【考點】本題主要考查程序框圖與模擬計算的過程.9已知橢圓上有一點P，是橢圓的左右焦點，若為直角三角形，則這樣的點P有（ ）個A3B4C6D8【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性，這樣的點有2個；同理當(dāng)當(dāng)為直角時，這樣的點有2個；當(dāng)為直角時，由于橢圓的短軸端點與兩個焦點所張的角最大，本題張角恰好為直角，這時這樣的點也有2個，故符合條件的點有6個，選項C為正確答案【考點】1、橢圓的對稱性；2、分類討論的數(shù)學(xué)思想10已知雙曲線與雙曲線，給出下列說法，其中錯誤的是（ ）A它們的焦距相等B它們的焦點在同一個圓上C它們的漸近線方程相同D它們的離心率相等【答案】D【解析】由兩雙曲線的方程可得 的半焦距 相等，它們的漸近線方程相同，的焦點均在以原點為圓心，為半徑的圓上，離心率不相等，故選D.11把正方形沿對角線折起,當(dāng)以四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面所成的角的大小為ABCD【答案】B【解析】當(dāng)平面與平面垂直時，棱錐的高最大，體積最大，解直角三角形可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)平面與平面垂直時，棱錐的高最大，由于底面積為定值，所以其體積最大，設(shè)是中點，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，是直線和平面所成的角，因為，所以，故選B.【點睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及直線與平面所成的角，屬于基礎(chǔ)題.12已知拋物線：，直線及上一點，拋物線上有一動點P到的距離為，P到的距離為，則的最小值為（ ）A5B6C7D9【答案】C【解析】根據(jù)拋物線的定義,將P到的距離為轉(zhuǎn)化為P到的距離,即可由三點共線時取得距離最小值,解得的最小值.【詳解】拋物線,則其焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為設(shè)動點P到準(zhǔn)線的距離為, P到焦點的距離為由拋物線定義可知則由題意可知拋物線上的動點P到的距離為則因為P到的距離為則當(dāng)在同一條直線上時取得最小值此時即所以故選:C【點睛】本題考查了拋物線定義的簡單應(yīng)用,拋物線中線段的最小值求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題13某班共有56名學(xué)生，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知12號、26號、54號同學(xué)在樣本中，則樣本中還有一名同學(xué)的編號是_【答案】40【解析】先求出組距，然后根據(jù)已知的第二個樣本的編號，求得第三個樣本的編號.【詳解】從名學(xué)生中抽取名，組距為，由于抽取到第二個編號為號，故第三個樣本的編號為號.【點睛】本小題主要考查系統(tǒng)抽樣的知識，先求得系統(tǒng)抽樣的組距，然后根據(jù)已知來求得未知的樣本編號，屬于基礎(chǔ)題.14已知正方體中，E為的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為 .【答案】【解析】【詳解】連接DE，設(shè)AD=2，易知ADBC，DAE就是異面直線AE與BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，cosDAE=15下列說法中正確的個數(shù)是_.（1）命題“若，則方程有實數(shù)根”的逆否命題為“若方程無實數(shù)根，則”.（2）命題“，”的否定“，”.（3）若為假命題，則，均為假命題.（4）“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.【答案】1【解析】根據(jù)命題與逆否命題的定義可判斷（1）;根據(jù)特稱命題的否定即可判斷（2）;由復(fù)合命題真假的關(guān)系可判斷（3）;根據(jù)兩條直線平行時的斜率關(guān)系可判斷（4）.【詳解】對于（1）,命題“若,則方程有實數(shù)根”的逆否命題為“若方程無實數(shù)根,則”,所以（1）正確;對于（2）,命題“,”的否定“,”,所以（2）錯誤;對于（3）,若為假命題,則、中至少有一個為假命題,所以（3）錯誤;對于（4）,當(dāng)時, 直線：與直線：,則且,所以是“”是“直線：與直線：平行”的充分條件;當(dāng)“直線：與直線：平行”時,則,解得或,所以“”是“直線：與直線：平行”的充分不必要條件.所以（4）錯誤.綜上可知,正確的為（1）故答案為:1【點睛】本題考查了命題與逆否命題的關(guān)系,特稱命題的否定形式,復(fù)合命題真假的判斷及充分必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.16已知雙曲線E：的右頂點為A，拋物線C：的焦點為若在E的漸近線上存在點P，使得，則雙曲線E的離心率的取值范圍是_【答案】【解析】求出雙曲線的右頂點和漸近線方程，拋物線的焦點坐標(biāo)，可設(shè)，以及向量的垂直的條件：數(shù)量積為0，再由二次方程有實根的條件：判別式大于等于0，化簡整理，結(jié)合離心率公式即可得到所求范圍【詳解】雙曲線E：的右頂點為，拋物線C：的焦點為，雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)，即有，可得，即為，化為，由題意可得，即有，即，則由，可得故答案為：【點睛】對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范圍).三、解答題17在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線C交于兩點（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求【答案】（1）直線l的方程為yx+1，曲線C的方程為1；（2）.【解析】（）消去參數(shù)，即可求得直線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解【詳解】（）由直線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得直線的方程為，由曲線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)，曲線的方程為（）將（參數(shù)），代入1，得，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，則【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題18如表是某位同學(xué)連續(xù)5次周考的數(shù)學(xué)、物理的成績，結(jié)果如下：周次12345數(shù)學(xué)（分）7981838587物理（分）7779798283參考公式：，表示樣本均值（1）求該生5次月考數(shù)學(xué)成績的平均分和物理成績的方差；（2）一般來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求兩個變量的線性回歸方程【答案】（1）數(shù)學(xué)成績的平均分；物理成績的方差（2）【解析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義及求法,代入即可求得該生5次月考數(shù)學(xué)成績的平均分;先求得物理平均分,根據(jù)方差公式即可求得物理成績的方差.（2）根據(jù)所給回歸直線的方程公式,先求得及,即可求得,再代入公式求得,即可得線性回歸方程.【詳解】（1）（2）根據(jù)（1）中所得,及結(jié)合表中數(shù)據(jù)計算可得,所以回歸系數(shù)為故所求的線性回歸方程為【點睛】本題考查了平均數(shù)及方差的求法,線性回歸方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.19把一顆骰子投擲2次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為，試就方程組解答下列各題：（1）求方程組只有一個解的概率；（2）求方程組只有正數(shù)解的概率【答案】（1）（2）【解析】（1）先求得投擲骰子出現(xiàn)的所有情況總數(shù).將方程組求解,根據(jù)方程組只有一個解時,未知數(shù)系數(shù)不為0,先求得系數(shù)為0的情況,根據(jù)對立事件的概率求法即可求得方程組只有一個解的概率.（2）根據(jù)正數(shù)解的要求解不等式組,即可求得的取值范圍,結(jié)合總數(shù)情況即可得解.【詳解】事件的基本事件有36個由方程組可得（1）方程組只有一個解,需滿足 即 ,而 的事件有共3個所以方程組只有一個解的概率為（2）方程組只有正數(shù)解,需且即或其包含的事件有13個： 因此所求的概率為.【點睛】本題考查了古典概型概率的求法,方程組的解法及方程組解的要求,屬于基礎(chǔ)題.20已知拋物線：的焦點，上一點到焦點的距離為5（1）求的方程；（2）過作直線，交于，兩點，若直線中點的縱坐標(biāo)為-1，求直線的方程【答案】（1）（2）【解析】法一：利用已知條件列出方程組，求解即可法二：利用拋物線的準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義列出方程，求解即可法一：由可得拋物線焦點的坐標(biāo)，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用點差法，求出線段中點的縱坐標(biāo)為，得到直線的斜率，求出直線方程法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，通過線段中點的縱坐標(biāo)為，求出即可【詳解】法一:拋物線: 的焦點的坐標(biāo)為,由已知解得或,的方程為. 法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為由拋物線的定義可知解得的方程為. 2.法一:由(1)得拋物線C的方程為,焦點設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,則 兩式相減,整理得線段中點的縱坐標(biāo)為直線的斜率直線的方程為即分法二:由(1)得拋物線的方程為,焦點設(shè)直線的方程為由消去,得設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,線段中點的縱坐標(biāo)為解得直線的方程為即【點睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問題，對于涉及到中點弦的問題，一般采用點差法能直接求出未知參數(shù)，或是將直線方程設(shè)出，設(shè)直線方程時要注意考慮斜率的問題，此題可設(shè)直線的方程為，就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關(guān)系，求出未知參數(shù)21如圖，在四棱柱中，點和分別為和的中點,側(cè)棱底面.（1）求證：/平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意,以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),可通過證明與平面的法向量垂直,來證明/平面.（2）根據(jù)（1）中建立的平面直角坐標(biāo)系,分別求得平面的法向量與平面的法向量,即可求得兩個平面夾角的余弦值,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：根據(jù)題意,以為坐標(biāo)原點,為軸,為軸,為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系: 點和分別為和的中點, ,則,則,則所以依題意可知為平面的一個法向量而所以又因為直線平面所以平面（2）設(shè)為平面的法向量,則,即不妨設(shè),可得設(shè)為平面的一個法向量,則,又,得不妨設(shè),可得因此有,于是所以二面角的正弦值為【點睛】本題考查了利