北師大版必修4 2.7.2向量的應(yīng)用舉例 教案.doc

教學(xué)設(shè)計(jì)7.2 向量的應(yīng)用舉例整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 向量與物理學(xué)天然相聯(lián).向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)等有著天然的聯(lián)系,將向量這一工具應(yīng)用到物理中,可以使物理題解答更簡(jiǎn)捷、更清晰.并且向量知識(shí)不僅是解決物理許多問題的有利工具,而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題,可使我們對(duì)物理問題的認(rèn)識(shí)更深刻.物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究. 用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí).(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它們的合成與分解就是向量的加、減法,運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成;(2)動(dòng)量是數(shù)乘向量;(3)功即是力與所產(chǎn)生位移的數(shù)量積. 用向量知識(shí)研究物理問題的基本思路和方法.通過抽象、概括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題;認(rèn)真分析物理現(xiàn)象,深刻把握物理量之間的相互關(guān)系;利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問題,并獲得這個(gè)向量的解;利用這個(gè)結(jié)果,對(duì)原物理現(xiàn)象作出合理解釋,即用向量知識(shí)圓滿解決物理問題.教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的觀察、分析和比較,得出抽象的數(shù)學(xué)模型.例如,物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型.同時(shí),注重向量模型的運(yùn)用,引導(dǎo)解決現(xiàn)實(shí)中的一些物理和幾何問題.這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用.三維目標(biāo)1.通過力的合成與分解的物理模型,速度的合成與分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟,明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型,進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)向量的概念和向量運(yùn)算的認(rèn)識(shí).2.通過對(duì)具體問題的探究解決,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用.養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué),善于發(fā)現(xiàn)物理及其他科目中的數(shù)學(xué)及思考領(lǐng)悟各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):1.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)對(duì)物理中力的作用、速度的分解進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算.2.歸納利用向量方法解決物理問題的基本方法. 教學(xué)難點(diǎn):將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)生活中,道路、路標(biāo)體現(xiàn)了向量與位移、速度、力等物理量之間的密切聯(lián)系.說明了向量的研究對(duì)象及研究方法.那么向量究竟是怎樣應(yīng)用于物理的呢？它就像高速公路一樣,是一條解決物理問題的高速公路.在學(xué)生渴望了解的企盼中,教師展示物理模型,由此展開新課.思路2.(問題導(dǎo)入)你能舉出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,學(xué)生很容易就舉出來.進(jìn)一步,你能舉出應(yīng)用向量來分析和解決物理問題的例子嗎?你是怎樣解決的？教師由此引導(dǎo):向量是有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具,對(duì)向量在物理中的研究,有助于進(jìn)一步加深對(duì)這方面問題的認(rèn)識(shí).我們可以通過對(duì)下面若干問題的研究,體會(huì)向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新課.推進(jìn)新課應(yīng)用示例例1 在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn):兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力;在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?圖1活動(dòng):這個(gè)日常生活問題可以抽象為如圖1所示的數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則,力的平衡及解直角三角形等知識(shí)來思考探究這個(gè)數(shù)學(xué)問題.這樣物理中用力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題.只要分析清楚f、g、三者之間的關(guān)系(其中,f為f1、f2的合力),就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋. 在教學(xué)中要盡可能地采用多媒體,在信息技術(shù)的幫助下讓學(xué)生來動(dòng)態(tài)地觀察|f|、|g|、之間在變化過程中所產(chǎn)生的相互影響.由學(xué)生獨(dú)立完成本例后,與學(xué)生共同探究歸納出向量在物理中的應(yīng)用的解題步驟,也可以由學(xué)生自己完成,還可以用信息技術(shù)來驗(yàn)證. 用向量解決物理問題的一般步驟是:問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解理論參數(shù)值;問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.解:不妨設(shè)|f1|=|f2|,由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí),可以知道cos. 通過上面的式子,我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)由0到180逐漸變大時(shí),由0到90逐漸變大,cos的值由大逐漸變小,因此|f1|由小逐漸變大,即f1,f2之間的夾角越大越費(fèi)力,夾角越小越省力.點(diǎn)評(píng):本例是日常生活中經(jīng)常遇到的問題,學(xué)生也會(huì)有兩人共提一個(gè)旅行包以及在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).本例的關(guān)鍵是作出簡(jiǎn)單的受力分析圖,啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型,從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解釋,這就是本例活動(dòng)中所完成的事情.教學(xué)中要充分利用好這個(gè)模型,為解決其他物理問題打下基礎(chǔ).得到模型后就可以發(fā)現(xiàn),這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的向量問題,這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn).變式訓(xùn)練某人騎摩托車以20 km/h的速度向西行駛,感到風(fēng)從正南方向吹來,而當(dāng)其速度變?yōu)?0 km/h時(shí),他又感到風(fēng)從西南方向吹來,求實(shí)際的風(fēng)向和風(fēng)速.圖2解:如圖2所示.設(shè)v1表示20km/h的速度,在無風(fēng)時(shí),此人感到的風(fēng)速為-v1,實(shí)際的風(fēng)速為v,那么此人所感到的風(fēng)速為v+(-v1)=v-v1.令=-v1,=-2v1,實(shí)際風(fēng)速為v.+=,=v-v1,這就是騎車人感受到的從正南方向吹來的風(fēng)的速度.+=,=v-2v1,這就是當(dāng)車的速度為40km/h時(shí),騎車人感受到的風(fēng)速.由題意得dca=45,dbab,ab=bc,dca為等腰三角形,da=dc,dac=dca=45.da=dc=bc=20.|v|=20 km/h.答:實(shí)際的風(fēng)速v的大小是20km/h,方向是東南方向.例2 如圖3所示,利用這個(gè)裝置(沖擊擺)可測(cè)定子彈的速度,設(shè)有一砂箱懸掛在兩線下端,子彈擊中砂箱后,陷入箱內(nèi),使砂箱擺至某一高度h.設(shè)子彈和砂箱的質(zhì)量分別為m和m,求子彈的速度v的大小.圖3解:設(shè)v0為子彈和砂箱相對(duì)靜止后開始一起運(yùn)動(dòng)的速度,由于水平方向上動(dòng)量守恒,所以m|v|=(m+m)|v0|.由于機(jī)械能守恒,所以(m+m)v02=(m+m)gh.聯(lián)立解得|v|=.又因?yàn)閙相對(duì)于m很小,所以|v|,即子彈的速度大小約為.例3 一架飛機(jī)從a地向北偏西60的方向飛行1 000 km到達(dá)b地,然后向c地飛行.設(shè)c地恰好在a地的南偏西60,并且a,c兩地相距2 000 km,求飛機(jī)從b地到c地的位移.圖4解:如圖4,設(shè)a在東西基線和南北基線的交點(diǎn)處.依題意,的方向是北偏西60,=1 000 km;的方向是南偏西60,=2 000 km,所以bac=60.過點(diǎn)b作東西基線的垂線,交ac于d,則abd為正三角形.所以bd=cd=1 000 km,cbd=bcd=bda=30.所以abc=90,bc=acsin60=2 000=1 000(km),=1 000 km.答:飛機(jī)從b地到c地的位移大小是1 000km,方向是南偏西30.例4 已知力f與水平方向的夾角為30(斜向上),大小為50 n,一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力f的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)=0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20 m.問力f和摩擦力f所做的功分別為多少?(g=10 m/s2)圖5解:如圖5,設(shè)木塊的位移為s,則fs=fscos30=5020=500(j).將力f分解,它在鉛垂方向上的分力f1的大小為f1=fsin30=50=25(n),所以,摩擦力f的大小為f=(g-f1)=(80-25)0.02=1.1(n).因此fs=fscos180=1.120(-1)=-22(j).答:f和f所做的功分別是500j和-22 j.知能訓(xùn)練1.一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過3小時(shí),該船實(shí)際航程為( )a.2 km b.6 km c.km d.8 km2.如圖6,已知兩個(gè)力的大小和方向,則合力的大小為 n;若在圖示坐標(biāo)系中,用坐標(biāo)表示合力f,則f=_.圖63.一艘船以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,而該船實(shí)際航行的方向與水流方向成30角,求水流速度與船的實(shí)際速度.解答:1.b點(diǎn)評(píng):由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理,所以要通過作高來求.2. (5,4)3.解:如圖7所示,設(shè)表示水流速度,表示船垂直于對(duì)岸的速度,表示船的實(shí)際速度,aoc=30,|=5 km/h.圖7因?yàn)樗倪呅蝟acb為矩形,所以|=|cot30=|cot30=58.66 km/h,|=10 km/h.答:水流速度為8.66 km/h,船的實(shí)際速度為10 km/h.點(diǎn)評(píng):轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,畫出向量圖,在直角三角形中解出.課堂小結(jié)1.與學(xué)生共同歸納總結(jié)利用向量解決物理問題的步驟.問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解理論參數(shù)值;問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.2.與學(xué)生共同歸納總結(jié)向量在物理中應(yīng)用的基本題型.力、速度、加速度、位移都是向量;力、速度、加速度、位移的合成與分解對(duì)應(yīng)相應(yīng)向量的加減;動(dòng)量mv是數(shù)乘向量,沖量tf也是數(shù)乘向量;功是力f與位移s的數(shù)量積,即w=fs.作業(yè)1.課本習(xí)題27 a組4,b組2.2.歸納總結(jié)物理學(xué)中哪些地方可用向量.設(shè)計(jì)感想1.本教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是:由于本節(jié)重在解決兩個(gè)問題,一是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型;二是如何用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象.因此本教案設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也就放在怎樣讓學(xué)生探究解決這兩個(gè)問題上.而把這個(gè)探究的重點(diǎn)又放在這兩個(gè)中的第一個(gè)上,也就是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析物理現(xiàn)象、準(zhǔn)確把握物理量之間的相互關(guān)系.通過抽象、概括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題,然后利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問題.2.經(jīng)歷是最好的老師.充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問題的過程,這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),領(lǐng)悟思想方法的最好載體.學(xué)生這種經(jīng)歷的實(shí)踐活動(dòng)越多,解決實(shí)際問題的方法就越恰當(dāng)而簡(jiǎn)捷.教科書中對(duì)本節(jié)的兩個(gè)例題的處理方法,都不是先給出解法,而是先進(jìn)行分析,探索出解題思路,再給出解法,就足以說明這一點(diǎn).3.突出數(shù)形結(jié)合的思想.教科書例題都是先畫圖進(jìn)行分析的,本教案的設(shè)計(jì)中也突出了這一點(diǎn).讓學(xué)生在活動(dòng)的時(shí)候就先想到畫圖,并在這個(gè)活動(dòng)中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,體會(huì)數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用,體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性.備課資料一、向量與重心問題 假如有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1,m2,它們的質(zhì)量分別是m1,m2,由物理學(xué)知識(shí),這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心m在線段m1m2上,并且分此線段為與質(zhì)量成反比例的兩部分,即或m1現(xiàn)設(shè)點(diǎn)m1、m2、m,對(duì)應(yīng)的向量分別是r1、r2、r,則上式可以寫成m1(r-r1)=m2(r2-r).所以r=,點(diǎn)m處的質(zhì)量為m1+m2.現(xiàn)求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心問題.三個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2、m3的質(zhì)量分別是m1、m2、m3,所對(duì)應(yīng)的向量分別是r1、r2、r3,我們可設(shè)m1,m2的重心在點(diǎn)d處,該處對(duì)應(yīng)的向量為rd=,該點(diǎn)的質(zhì)量為m1+m2,然后求點(diǎn)d與點(diǎn)m3的重心m所對(duì)應(yīng)的向量r,易得r=.二、備用習(xí)題1.作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力f1和f2，|f1|=5,|f2|=3,夾角為60，則f1+f2的大小為_.2.一條漁船距對(duì)岸為4 km,現(xiàn)正以2 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去,到達(dá)對(duì)岸時(shí),船的實(shí)際航程為8 km,求河水的流速.3.在半徑為15 cm的均勻鐵板上,挖出一個(gè)圓洞,已知圓洞的圓心和鐵板中心相距8 cm,圓洞的半徑是5 cm,求挖去圓洞后所剩下鐵板的重心.4.如圖13所示,重力為g的均勻小球放在傾角為的斜面上,球被與斜面夾角為的木板擋住,球面、木板均光滑,若使球?qū)δ景宓膲毫ψ钚?求木板與斜面間夾角的大小.圖13參考答案:1.72.如圖14所示,設(shè)表示船垂直于對(duì)岸的速度,則+=,圖14知就是漁船實(shí)際航行的速度.因?yàn)楹叫械臅r(shí)間為42=2(h),所以在rtabc中,|=2 km/h,|=82=4 km/h,則|=km/h.答:河水的流速為km/h.3.如圖15所示,建立平面直角坐標(biāo)系,兩圓的圓心分別為o1(0,0),o2(8,0),圓o2是挖去的圓,不妨設(shè)鐵板的密度為=1,則小圓的質(zhì)量m1=25,挖去圓洞后,鐵板的質(zhì)量為m2=(225-25)=200,設(shè)所求的重心為o