高考數(shù)學一輪復習 10.4 用樣本估計總體與變量間的相關關系精品課件 理 新人教A版.ppt

10 4用樣本估計總體與變量間的相關關系 1 用樣本的頻率分布估計總體分布 1 頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表和頻率分布直方圖 是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占的角度 來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律 它可以使我們看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況 比例大小 考點分析 2 頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中各小長方形 就得到頻率分布折線圖 3 總體密度曲線總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比 它能給我們提供更加精細的信息 4 莖葉圖2 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 上端的中點 眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中 頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù) 中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中 累積頻率為0 5時所對應的樣本數(shù)據(jù)值 累積頻率 樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫做該數(shù)值點的累積頻率 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù) 即x 2 標準差的計算公式 s 3 從散點圖上看 點散布在就稱這種相關關系為正相關 如果點散布在 從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi) 從左上角到右下 角的區(qū)域內(nèi) 就稱這種相關關系為負相關 4 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近 我們就稱這兩個變量之間具有 這條直線叫做回歸直線 回歸直線方程常記作 5 對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù) x1 y1 x2 y2 xn yn 用最小二乘法 求回歸直線系數(shù)a b的公式為b a 其中 x y 線性相關關系 通過求q 的最小值而得出回歸直線的方法 即求回歸直線 使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小 這一方法叫做最小二乘法 y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 對某電子元件進行壽命追蹤調查 情況如下 考點一繪制頻率分布直方圖 題型分析 分析 按要求列表 繪圖 用樣本的分布估計總體的分布 1 列出頻率分布表 2 畫出頻率分布直方圖 3 估計電子元件壽命在 100 400 以內(nèi)的概率 4 估計電子元件壽命在400h以上的概率 解析 1 樣本頻率分布表如下 2 頻率分布直方圖如圖 3 由頻率分布表可以看出 壽命在 100 400 內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0 65 所以我們估計電子元件壽命在 100 400 內(nèi)的概率為0 65 4 由頻率分布表可知 壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0 20 0 15 0 35 故我們估計電子元件壽命在400h以上的概率為0 35 評析 1 列頻率分布表時要注意區(qū)分頻數(shù) 頻率的意義 2 畫頻率分布直方圖時要注意縱 橫坐標代表的意義及單位 3 通過本題可以掌握總體分布估計的各種常見步驟和方法 4 解決總體分布估計問題的一般步驟如下 先確定分組的組數(shù) 分別計算各組的頻數(shù)及頻率 頻率 畫出頻率分布直方圖 并作出相應的估計 頻數(shù) 總數(shù) 對應演練 從某校高一年級的1002名新生中 用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為100的身高樣本 數(shù)據(jù)如下 單位 cm 試作出該樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖 1 在全部數(shù)據(jù)中找出最大值180和最小值151 則兩者之差為29 確定全距為30 決定以組距3將區(qū)間 150 5 180 5 分成10個組 2 從第一組 150 5 153 5開始 分別統(tǒng)計各組中的頻數(shù) 再計算各組的頻率 并將結果填入下表 3 作直角坐標系 以橫軸表示身高 縱軸表示 4 在橫軸上標上150 5 153 5 156 5 180 5表示的點 5 在上面標出的各點中 分別以相鄰兩點為端點的線段為底作矩形 高等于該組的 至此 就得到了這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖 如圖所示 頻率 組距 頻率 組距 為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況 抽查了該地區(qū)100名年齡為17 5歲 18歲的男生體重 kg 得到頻率分布直方圖如圖10 4 6所示 考點二頻率分布直方圖的應用 解析 1 樣本數(shù)據(jù)落在 62 5 64 5 內(nèi)的頻率為0 07 2 0 14 2 眾數(shù)為 65 5 kg 分析 在頻率直方圖中 頻率等于矩形的面積 每一小組的頻率等于這小組的頻數(shù)與樣本容量的商 而眾數(shù)是最高矩形的中點 1 樣本數(shù)據(jù)落在 62 5 64 5 內(nèi)的頻率是多少 2 100名學生的體重的眾數(shù)是多少 評析 解決該類問題時應正確理解圖表中各個量的意義 識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵 頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小 一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布 其中 頻率分布直方圖中縱軸表示 頻率 頻率分布直方圖中 各小長方形的面積之和為1 長因此在頻率分布直方圖中 組距是一個固定值 所以長方形高的比也就是頻率之比 頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式 前者準確 后者直觀 眾數(shù)為最高矩形的中點 中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標 頻率 組距 頻數(shù) 樣本容量 對應演練 在學校開展的綜合實踐活動中 某班進行了小制作評比 作品上交時間為5月1日到30日 評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計 繪制了頻率分布直方圖 如圖所示 已知從左到右各長方形的高的比為2 3 4 6 4 1 第三組的頻數(shù)為12 請回答下列問題 1 本次活動共有多少件作品參加評比 2 哪組上交的作品數(shù)最多 有多少件 3 經(jīng)過評比 第四組和第六組分別有10件 2件作品獲獎 問這兩組哪組獲獎率最高 1 依題意知第三組的頻率為又因為第三組的頻數(shù)為12 所以本次活動的參評作品數(shù)為 60 件 2 根據(jù)頻率分布直方圖 可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多 共有60 18 件 3 第四組的獲獎率是 第六組上交的作品數(shù)量為60 3 件 第六組的獲獎率為 顯然第六組的獲獎率較高 甲 乙兩臺機床同時加工直徑為10mm的零件 為了檢驗產(chǎn)品的質量 從產(chǎn)品中各隨機抽取6件進行測量 測得數(shù)據(jù)如下 單位 mm 甲 99 100 98 100 100 103乙 99 100 102 99 100 100 1 分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差 2 根據(jù) 1 的計算結果 說明哪一臺機床加工的這種零件更符合要求 考點三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 評析 兩個機床加工零件的平均數(shù)相等 平均數(shù)描述了數(shù)據(jù)的平均水平 要說明哪一臺機床加工的零件更符合要求 可再用方差來判斷 平均數(shù)和標準差超過了規(guī)定界限時 說明這批產(chǎn)品質量與生產(chǎn)要求有較大偏差 對應演練 甲 乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)x年的平均單位面積產(chǎn)量如下 試根據(jù)這組數(shù)據(jù) 估計哪一種小麥品種產(chǎn)量較穩(wěn)定 甲品種的樣本平均數(shù)為10 樣本方差為 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品種的樣本平均數(shù)也是10 樣本方差為 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 24 0 02 所以 由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種小麥的產(chǎn)量比乙種小麥的產(chǎn)量較穩(wěn)定 某化肥廠甲 乙兩個車間包裝肥料 在自動包裝傳送帶上每隔30min抽取一包產(chǎn)品 稱其重量 分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下 甲 102 101 99 98 103 98 99 乙 110 115 90 85 75 115 110 1 這種抽樣方法是哪一種 2 將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 3 將兩組數(shù)據(jù)比較 說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定 考點四莖葉圖 解析 1 因為間隔時間相同 故是系統(tǒng)抽樣 2 莖葉圖如圖所示 分析 1 根據(jù)各種抽樣的特點判斷 2 求出兩組數(shù)據(jù)的平均值與方差進行比較 3 甲車間 平均值 x1 102 101 99 98 103 98 99 100 方差 102 100 2 101 100 2 99 100 2 3 4286 乙車間 平均值 x2 110 115 90 85 75 115 110 100 方差 110 100 2 115 100 2 110 100 2 228 5714 x1 x2 甲車間產(chǎn)品穩(wěn)定 評析 1 莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù) 便于記錄及表示 能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況 2 莖葉圖不能直接反映總體的分布情況 這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 進一步估計總體情況 對應演練 某中學高一 2 班甲 乙兩名同學自高中以來每場數(shù)學考試成績情況如下 甲的得分 95 81 75 91 86 89 71 65 76 88 94 110 107 乙的得分 83 86 93 99 88 103 98 114 98 79 101 畫出兩人數(shù)學成績莖葉圖 請根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比較 甲 乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如圖從這個莖葉圖上可以看出 乙同學的得分情況是大致對稱的 中位數(shù)是98 甲同學的得分情況除一個特殊得分外 也大致對稱 中位數(shù)是88 因此乙同學發(fā)揮比較穩(wěn)定 總體得分情況比甲同學好 關于人體的脂肪含量 百分比 和年齡關系的研究中 得到如下一組數(shù)據(jù) 判斷它們是否有相關關系 考點五利用散點圖判定相關關系 分析 本題涉及兩個變量 年齡與脂肪含量 可以以年齡為自變量 考查脂肪含量的變化趨勢 而分析相關關系通常借助散點圖 解析 以年齡作為x軸 脂肪含量作為y軸 可得相應散點圖如圖所示 由散點圖可知 兩者之間具有相關關系 評析 判斷有無相關關系 一種常用的簡便方法就是繪制散點圖 已知10只狗的血球體積及紅血球數(shù)的測量值如下表 26 99355 90589 49406 20 對應演練 1 將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖 2 你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)狗的血球體積與紅血球數(shù)近似成什么關系嗎 3 如果近似成線性相關關系的話 請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關關系 1 畫出的散點圖如圖所示 2 由散點圖可以看出 狗的血球體積與紅血球數(shù)近似成線性相關關系 3 如圖中的直線 假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y 萬元 有如下的統(tǒng)計資料 1 線性回歸方程y bx a的回歸系數(shù)a b 2 估計使用年限為10年時 維修費用是多少 考點六求線性回歸直線 若由資料知 y與x呈線性相關關系 試求 解析 1 制表如下 分析 本題已知x與y之間有線性相關關系 就無需進行相關檢驗 于是有b a y bx 5 1 23 4 0 08 2 回歸直線方程是 y 1 23x 0 08 當x 10年時 y 1 23 10 0 08 12 3 0 08 12 38 萬元 即估計使用10年時 維修費用是12 38 萬元 評析 由本題中y對x的關系呈線性關系 故可用一元線性相關的方法解決問題 1 利用公式 來計算回歸系數(shù) 有時為了方便常制表對應出xiyi 以利于求和 2 獲得直線方程后 取x 10 即得所求 3 求線性回歸方程的計算量大 解題時可借助計算器 列出表格 再按分析時的步驟進行 4 本題是一個應用問題 其實就是求出回歸直線方程 通過回歸方程來分析使用年限與維修費用之間的關系 廣東省深圳外國語學校2011屆高三上學期第二次統(tǒng)測 一般說來 一個人的身高越高 他的手就越大 為調查這一問題 對10名高三男生的身高與右手一扎長測量得到如下一組數(shù)據(jù) 單位 cm 1 畫出散點圖 你能發(fā)現(xiàn)兩者有相關關系嗎 2 如果有相關關系 求回歸直線方程 3 如果一個學生身高185cm 估計他的右手一扎長 對應演練 1 散點圖如下 由散點圖可以發(fā)現(xiàn) 身高與右手一扎長之間的總體趨勢成一條直線 所以它們線性相關 2 設回歸直線方程為y bx a 將上述數(shù)據(jù)利用計算器計算得x 174 8 y 21 7 利用公式求得b 0 303 a y bx 31 264 因此所求回歸直線方程為y 0 303x 31 264 3 當x 185時 y 24 791 1 牢記畫頻率分布直方圖的步驟 1 先確定分組的組數(shù) 其方法是 最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù) 2 計算每組的頻數(shù)及頻率 其中頻率 3 畫出直方圖 同時要注意頻率分布直方圖的含義 2 利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征 1 眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中 就是最高矩形的中點的橫坐標 頻數(shù) 總數(shù) 高考專家助教 2 在頻率分布直方圖中 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等 由此可以估計中位數(shù)的值 3 平均數(shù)是頻率分布直方圖的 重心 等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊