2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步1.3兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案北師大版必修2.docx

1.3兩條直線的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能通過兩條直線的斜率判定兩直線平行或垂直2.能將直線的平行或垂直轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.【主干自填】1兩直線平行與斜率的關(guān)系(1)對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別是k1，k2，有l(wèi)1l2k1k2.(2)如果l1，l2的斜率都不存在，并且l1與l2不重合，那么它們都與x軸垂直，故l1l2.2兩直線垂直與斜率的關(guān)系(1)如果直線l1，l2的斜率都存在，并且分別為k1，k2，那么l1l2k1k21.(2)如果兩直線l1，l2中的一條斜率不存在，另一個是零，那么l1與l2的位置關(guān)系是l1l2.【即時小測】1思考下列問題(1)l1l2k1k2成立的前提條件是什么？提示：兩直線斜率存在且l1與l2不重合(2)若兩條直線平行，斜率一定相等嗎？提示：不一定只有在兩條直線的斜率都存在時，斜率相等，若兩條直線垂直于x軸，它們平行但斜率不存在(3)若兩條直線垂直，它們斜率之積一定為1嗎？提示：不一定兩條直線垂直，只有在斜率都存在時，斜率之積才為1.若其中一條直線斜率為0，而另一條直線斜率不存在，兩直線垂直，但斜率之積不是1.2已知直線l1過A(2,3)和B(2,6)，直線l2過點(diǎn)C(6,6)和D(10,3)則l1與l2的位置關(guān)系為()Al1l2 Bl1與l2重合Cl1l2 D非以上答案提示：C由斜率公式kAB，kCD.kABkCD，由已知可知，直線AB與CD不重合l1l2.3直線l1過A(1,0)和B(1,2)，l2與l1垂直且l2過點(diǎn)C(1,0)和D(a,1)，則a的值為()A2 B1 C0 D1提示：C直線l1的斜率k11，l1l2，l2斜率存在，l2的斜率k2，由l1l2，得k1k21，即11，解得a0.4與直線3x2y10垂直，且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程是_提示：2x3y80設(shè)與3x2y10垂直的直線方程為2x3yb0，將(1,2)代入方程，得b8，直線l的方程為2x3y80. 例1判斷下列各對直線平行還是垂直，并說明理由(1)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l2：2xy20；(3)l1：x2，l2：x4；(4)l1：y3，l2：x1.解(1)將兩直線方程分別化為斜截式：l1：yx；l2：yx.則k1，b1，k2，b2.k1k2，b1b2，l1l2.(2)將兩直線方程分別化為斜截式：l1：yx；l2：y2x2.則k1，k22.k1k21，l1l2.(3)由方程知l1x軸，l2x軸，且兩直線在x軸上的截距不相等，則l1l2.(4)由方程知l1y軸，l2x軸，則l1l2.類題通法已知直線方程判斷兩直線平行或垂直的方法(1)若兩直線l1與l2的斜率均存在，當(dāng)k1k21時，l1l2；當(dāng)k1k2，且它們在y軸上的截距不相等時，l1l2.(2)若兩直線斜率均不存在，且在x軸的截距不相等，則它們平行下列說法中，正確的有()若兩直線斜率相等，則兩直線平行；若l1l2，則k1k2；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行A1個 B2個 C3個 D4個答案A解析當(dāng)k1k2時，l1與l2平行或重合，不正確，中斜率不存在時，不正確；同也不正確只有正確.例2已知直線l1：(m2)x(m23m)y40，l2：2x4(m3)y10，如果l1l2，求m的值解(1)當(dāng)m0時，l1：x20，l2：2x12y10，顯然l1與l2不平行(2)當(dāng)m3時，l1：5x40，l2：2x10，l1與l2的斜率均不存在，l1l2.(3)當(dāng)m0且m3時，l1：yx，l2：yx.l1l2，.解得m4，此時l1：yx，l2：yx，l1與l2平行但不重合綜上所述：m3或m4.類題通法借助條件求參數(shù)的值在應(yīng)用兩條直線平行或垂直求直線方程中的參數(shù)時，若能直觀判斷兩條直線的斜率存在，則可直接利用平行或垂直時斜率滿足的條件列式求參數(shù)；若不能明確兩條直線的斜率是否存在，運(yùn)用斜率解題時要分情況討論已知直線l1：axy2a0與l2：(2a1)xaya0互相垂直，求a的值解(1)當(dāng)a0時，l1的斜率k1a，l2的斜率k2.l1l2，a1，即a1.(2)當(dāng)a0時，直線l1的斜率為0，l2的斜率不存在，兩直線垂直綜上所述，a0或a1為所求.例3已知點(diǎn)A(2,2)和直線l：3x4y200.求：(1)過點(diǎn)A和直線l平行的直線方程；(2)過點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程解(1)解法一：利用直線方程的點(diǎn)斜式求解由l：3x4y200，得kl.設(shè)過點(diǎn)A且平行于l的直線為l1，則kl1kl，所以l1的方程為y2(x2)，即3x4y140.解法二：利用直線系方程求解設(shè)過點(diǎn)A且平行于直線l的直線l1的方程為3x4ym0.由點(diǎn)A(2,2)在直線l1上，得3242m0，解得m14.故直線l1的方程為3x4y140.(2)解法一：設(shè)過點(diǎn)A與l垂直的直線為l2.因為klkl21，所以kl2，故直線l2的方程為y2(x2)，即4x3y20.解法二：設(shè)l2的方程為4x3yn0.因為l2經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，所以4232n0，解得n2.故l2的方程為4x3y20.類題通法利用平行垂直求直線方程常見的方法(1)求經(jīng)過點(diǎn)A(x0，y0)與直線l：AxByC0平行或垂直的直線方程，當(dāng)l的斜率存在(求垂直直線時，要求斜率不為零)時，可利用直線方程的點(diǎn)斜式求直線方程，也可利用待定系數(shù)法根據(jù)直線系方程求直線方程(2)常見直線方程設(shè)法所有與AxByC10平行的直線，均可表示為AxByC20(C1C2)的形式；所有與AxByC10垂直的直線，均可表示為BxAyC20的形式已知直線l的方程為3x2y120，求直線l的方程，l滿足：(1)過點(diǎn)(1,3)，且與l平行；(2)過點(diǎn)(1,3)，且與l垂直解(1)由l與l平行，可設(shè)l方程為3x2ym0.將點(diǎn)(1,3)代入上式，得m9.所求直線方程為3x2y90.(2)由l與l垂直，可設(shè)其方程為2x3yn0.將(1,3)代入上式，得n7.所求直線方程為2x3y70.易錯點(diǎn)利用斜率之間的關(guān)系判斷兩直線垂直時，忽略斜率不存在的情況典例已知直線m1經(jīng)過點(diǎn)A(3，a)，B(a2,3)，直線m2經(jīng)過點(diǎn)M(3，a)，N(6,5)，若m1m2，求a的值錯解設(shè)k1，k2分別是直線m1，m2的斜率，則m1m2k1k21，k1，k2，即1，解得a0.錯因分析錯解中忽略了利用斜率間關(guān)系判斷兩條直線的位置關(guān)系的前提條件：兩條直線的斜率存在且都不為0.正解由題意可知直線m2的斜率一定存在，直線m1的斜率可能不存在當(dāng)直線m1的斜率不存在時，a5，此時直線m2的斜率k20，所以兩直線垂直當(dāng)直線m1的斜率存在時，a5，m1m2k1k21，即1，解得a0.綜上，當(dāng)m1m2時，a的值為0或5.課堂小結(jié)1.兩直線平行或垂直的判定方法.斜率直線斜率均不存在平行或重合斜率均存在相等且不重合平行積為1垂直2.在兩條直線平行或垂直關(guān)系的判斷中體會分類討論的思想.1已知A(2,0)，B(3,3)，直線lAB，則直線l的斜率k()A3 B3 C D.答案B解析因為直線lAB，所以kkAB3.2已知直線l1的斜率為0，且l1l2，則l2的傾斜角為()A0 B135 C90 D180答案C解析k0且l1l2，k不存在，直線l2的傾斜角為90.3過點(diǎn)(，)，(0,3)的直線與過點(diǎn)(，)，(2,0)的直線的位置關(guān)系為()A垂直 B平行C重合 D以上都不正確答案A解析過點(diǎn)(，)，(0,3)的直線的斜率k1；過點(diǎn)(，)，