福建省南平市光澤二中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章第五節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課件 文 新人教A版.ppt

第五節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 一 對(duì)數(shù)的概念 1 對(duì)數(shù)的定義 如果 那么數(shù)x叫做以a為底n的對(duì)數(shù) 記作x logan 其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù) 叫做真數(shù) 2 兩種常見對(duì)數(shù) ax n a 0 且a 1 a n 二 對(duì)數(shù)的性質(zhì) 換底公式與運(yùn)算法則 三 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 圖象與性質(zhì) 四 反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y ax a 0且a 1 與對(duì)數(shù)函數(shù)y logax a 0且a 1 互為反函數(shù) 它們的圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱 1 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的拓展 1 比較同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小 例如比較logaf x 與logag x 的大小 其中a 0 且a 1 若a 1 f x 0 g x 0 則logaf x logag x f x g x 0 若00 g x 0 則logaf x logag x 0 f x g x 2 同真數(shù)的對(duì)數(shù)值大小關(guān)系如圖 則0 c d 1 a b 方法如下 過點(diǎn) 0 1 作平行于x軸的直線 直線方程為y 1 直線y 1與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即該對(duì)數(shù)函數(shù)的底 從而有b a 1 d c 0 也可以說 在同一坐標(biāo)系內(nèi) 當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí) 圖象繞 1 0 點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 則其對(duì)應(yīng)解析式中的底數(shù)變大 當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí) 圖象繞 1 0 點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 其所對(duì)應(yīng)的解析式中的底數(shù)也變大 2 對(duì)數(shù)logab的符號(hào)規(guī)律logab 0 a 0 a 1 b 0 a 1 b 1 0 logab0 a 1 b 0 a 1 b 1 0 1 函數(shù)y 的定義域是 a x 0 x 2 b x 0 x 1 或1 x 2 c x 0 x 2 d x 0 x 1 或1 x 2 答案 d 2 教材改編題 已知loga2b c 則 a a2b cb a2c bc bc a2d c2a b 解析 由對(duì)數(shù)的概念可知b正確 答案 b 3 若a 0 a 1 x y 0 n n 則下列各式 logax n nlogax logax n logaxn 其中正確的個(gè)數(shù)有 a 2個(gè)b 3個(gè)c 4個(gè)d 5個(gè) 解析 根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易知 正確 答案 b 4 教材改編題 log32 log92 log43 log89 5 文 比較大小 log35 log54 解析 log35 log33 1 log54 log55 1 答案 log35 log54 理 設(shè)a b為正數(shù) 且2a a b b 則a b的大小關(guān)系為 對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與計(jì)算 思路點(diǎn)撥 把式子變形為可求值的對(duì)數(shù)式子是變形目的 如出現(xiàn) 等形式 方法技巧 1 對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的基本思路 先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形 化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式 使冪的底數(shù)最簡(jiǎn) 一般要求底數(shù)為質(zhì)數(shù) 然后再用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求值 2 整體思想的運(yùn)用 如 考慮平方差公式 用1代替等 4 任意正實(shí)數(shù) 5 對(duì)數(shù)的底數(shù)不統(tǒng)一時(shí) 考慮利用換底公式先統(tǒng)一底數(shù)再運(yùn)算 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a a c bb b c ac a b cd b a c 思路點(diǎn)撥 已知的三個(gè)對(duì)數(shù)值底數(shù)不盡相同 不能直接運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較 因此可用 媒介法 借助于第三數(shù) 或用換底方式 先將a c中對(duì)數(shù)化為 同底 再用比較法進(jìn)行 解析 法一 c log45 1 a log54log53 log53 2 b c a b 法二 0 log53 1 0 log54 1 log53 2 log53 log54 即b a 答案 d 例2 理 2010年福建省六市高三年級(jí)5月聯(lián)考 已知f x 是定義在 上的偶函數(shù) 且在 0 上是增函數(shù) 設(shè)a f ln b f log43 c f 0 4 1 2 則a b c的大小關(guān)系是 a a b cb b a cc c a bd b c a 思路點(diǎn)撥 先比較ln log43 0 4 1 2的大小 根據(jù)這三個(gè)數(shù)的特點(diǎn) 可用指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及 媒介法 進(jìn)行比較 解析 由題意知f x 在 0 上是減函數(shù) e0 4 1 2 5 2 log43 ln3 0 4 1 2 f 0 4 1 2 f ln3 f log43 又f ln f ln3 f ln3 c a b 答案 b 變式探究 2 2008年山東卷 已知函數(shù)f x loga 2x b 1 a 0 a 1 的圖象如圖所示 則a b滿足的關(guān)系是 a 0 a 1 b 1b 0 b a 1 1c 0 b 1 a 1d 0 a 1 b 1 1 解析 由圖象知 函數(shù)f x loga 2x b 1 a 0 且a 1 在r上是增函數(shù) a 1 又由圖象知 1 f 0 0 即 1 logab 0 b 1 0 b 1 答案 a 方法技巧 對(duì)數(shù)式中的比較大小問題 一般有以下情況 1 同底型 可由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接比較 2 同真數(shù)型 可由換底公式化為同底型或用圖象比較 3 既不同底也不同真數(shù)型 可尋找中間量或用換底公式變形后比較 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題 例3 在同一平面直角坐標(biāo)系中 函數(shù)y g x 的圖象與y ex的圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱 而函數(shù)y f x 的圖象與y g x 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 若f m 1 試求m的值 思路點(diǎn)撥 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) 由題意可求g x 的解析式 進(jìn)而可求f x 的解析式 問題便可獲解 方法技巧 1 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱 2 解答此類問題應(yīng)注意函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征 運(yùn)算的準(zhǔn)確性 例1 2008年全國(guó) 卷 若x e 1 1 a lnx b 2lnx c ln3x 則 a a b cb c a bc b a cd b c a 解析 x e 1 1 10 所以2lnx lnx ln3x 即b a c 答案 c 例2 2010年天津卷 設(shè)函數(shù)f x 若f a f a 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a 1 0 0 1 b 1 1 c 1 0 1 d 1 0 1 解析 法一 若a 0 由f a f a 得log2a a 由換底公式得log2a log2a 即2log2a 0 a 1 若af a 得 a log2 a 由換底公式得log2 a 0 0 a 1 1 a 0 選c 法二 數(shù)形結(jié)合 畫出f x 草圖 顯然 a 1時(shí)f a 0 f a f a 同理 1f a 答案 c 類型混淆定義域與值域致誤 例 已知函數(shù)f x log2 ax2 ax 1 的值域?yàn)閞 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 正解 要使函數(shù)f x 的值域?yàn)閞 只需g x ax2 ax 1取盡所有正實(shí)數(shù) 即 0 是g x 值域的子集 則g x 的圖象與x軸恒有交點(diǎn) 所以有解得a 4 當(dāng)a 0時(shí) g x 1 f x 0不合題意 故所求a的取值范圍是 4 分析 解答本題極易出現(xiàn)如下解法 要使f x 的值域?yàn)閞 只需g x ax2 ax 1 0時(shí) x r都成立 解得0 a 4 當(dāng)a 0時(shí) g x 1 0成立 綜上a的取值范圍是 0 4 以上解法誤將f x 的值域?yàn)閞與f x 的定義域?yàn)閞相混淆 f x 的定義域?yàn)閞時(shí) ax2 ax 1 0對(duì) x r恒成立 而值域?yàn)閞時(shí) 必須有g(shù) x ax2 ax 1取盡所有正實(shí)數(shù) 顯然 恒有 與 取盡所有 是兩個(gè)根本不同的概念 取盡所有 指的是 函數(shù)f x 的定義域隨參數(shù)a的變化而變化 就是尋找a的取值范圍 使a在這個(gè)范圍內(nèi)任取一個(gè)值 都保證g x 取盡所有正實(shí)數(shù) 一 選擇題 1 下列函數(shù)圖象中不正確的是 解析 y log3 x 為偶函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 故選項(xiàng)d不正確 答案 d 2 函數(shù)y log2 x 的圖象大致是 解析 函數(shù)y log2 x 為偶函數(shù) 作出x 0時(shí)y log2x的圖象 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 應(yīng)選c 答案 c 3 文 福建省寧德市2010屆高三5月質(zhì)量檢測(cè) 已知全集u r 集合 ua x log2 x 1 x 7 9 2 b x 2 則a b等于 a 2 4 b 2 5 c 2 3 d 2 7 解析 由log2 x 1 x 7 9 2 x 1 x 7 9 4 x2 8x 12 0 x6 即 ua x x6 所以a x 2 x 6 又b x 1 x 3 所以a b x 2 x 3 答案 c 解析 a x x2 2x 0 x x2 b x x 1 0 x x 1 圖中的陰影部分表示的集合是 a ub ua b 0 1 2 答案 d 4 設(shè)f x 則不等式f x 2的解集為 a 1 2 3 b c 1 2 d 1 2 解析 此函數(shù)是分段函數(shù)應(yīng)分類考慮 當(dāng)x2 則2ex 1 2 ex 1 1 x 1 0 即12時(shí) f x log3 x2 1 2 即log3 x2 1 log39 x2 1 9 則x 或x2 所以x 不等式的解集為 1 2 故選c 答案 c 5 文 2010年福建省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷 已知函數(shù)f x 則f 2 log23 的值為 解析 2 log233 1 4 f 2 log23 3 log23 3 2 log23 答案 a 理 2010年福建模擬 定義運(yùn)算a b 若f x log2x 2x x r 則f 4 等于 a 3b 4c 2d 5 解析 f x 的定義域?yàn)?x x 0 而x 0時(shí)恒有l(wèi)og2x 2x f x log2x f 4 log24 2 答案 c 二 填空題 6 若xlog32 1 則4x 4 x 解析 7 2010年福建省寧德市模擬 在r上為減函數(shù) 則a 8 設(shè)a 0 且a 1 函數(shù)f x alg x2 2x 3 有最小值 則不等式loga x2 5x 7 0的解集為 解析 lg x2 2x 3 有最小值 a 1 則不等式loga x2 5x 7 0 解得2 x 3 不等式的解集為 2 3 答案 2 3 9 文 2010年廣東梅州質(zhì)檢 定義在r上的偶函數(shù)y f x 在 0 上遞減 且f 0 則滿足 0的x的集合為 解析 由偶函數(shù)y f x 在 0 上是減函數(shù) 且f 0 知函數(shù)y f x 在 0 上是增函數(shù) 且f 0 理 2010年浙江省溫州市十校聯(lián)合體模擬 函數(shù)f n logn 1 n 2 n n 定義使f 1 f 2 f k 為整數(shù)的數(shù)k k n 叫做企盼數(shù) 則在區(qū)間 1 10 內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有 個(gè) 解析 f 1 f 2 log23 log34 log24 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 3 在區(qū)間 1 10 內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有2個(gè) 答案 2 三 解答題 10 計(jì)算下列各式的值 解 1 法一 利用對(duì)數(shù)定義求值 x 1 法二 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解 3 原式 lg2 lg5 lg22 lg2 lg5 lg25 3lg2 lg5 lg2 lg5 2 1 y t 3 1 t t2 4t 3 t 2 2 1 t 3 2 從而y g t 在t 3 2 上是增函數(shù) 故函數(shù)ymax g 2 15 理 設(shè)a 0 a 1 函數(shù)y alg x2 2x 3 有最大值 求函數(shù)y loga 3 2x x2 的單調(diào)區(qū)間 解 設(shè)t lg x2 2x 3 lg x 1 2 2 當(dāng)x r時(shí) t有最小值lg2 又因?yàn)楹瘮?shù)y alg x2 2x 3 有最大值 所以0 a 1 又因?yàn)閒 x loga 3 2x x2 的定義域?yàn)?x 3 x 1 令u 3 2x x2 x 3 1 則y logau 因?yàn)閥 logau在定義域內(nèi)是減函數(shù) 當(dāng)x 3 1 時(shí) u x 1 2 4是增函數(shù) 所以f x 在 3 1 上是減函數(shù) 同理 f x 在 1 1 上是增函數(shù) 故f x 的單調(diào)減區(qū)間為 3 1 單調(diào)增區(qū)間為 1 1 綜合應(yīng)用 12 已知函數(shù)f x