（宜賓專版）2018屆中考數(shù)學(xué) 第1編 教材知識(shí)梳理篇 第4章 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第15講 等腰三角形與直角三角形（精講）試題.doc

第十五講等腰三角形與直角三角形,考標(biāo)完全解讀)考點(diǎn)考試內(nèi)容考試要求等腰三角形與直角三角形的定義等腰三角形的定義了解直角三角形的定義了解等腰三角形與直角三角形等腰三角形的性質(zhì)及其判定理解等邊三角形的性質(zhì)及其判定理解直角三角形的性質(zhì)及其判定理解,感受宜賓中考)1(宜賓中考)如圖，在abc中，adbc于d.請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，就可以確定abc是等腰三角形你添加的條件是_答案不唯一，如bdcd_2到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的(d)a三條高的交點(diǎn)b三條角平分線的交點(diǎn)c三條中線的交點(diǎn)d三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)3如圖，在abc中，ad平分bac，bead，be交ad的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，點(diǎn)f在ab上，且efac.求證：點(diǎn)f是ab的中點(diǎn)證明：ad平分bac，baecae.efac，aefcae，aefbae，afef.又bead，baeabe90，befaef90，又aefbae，abebef，bfef，afbf，點(diǎn)f為ab中點(diǎn),核心知識(shí)梳理)等腰三角形的性質(zhì)和判定1性質(zhì)： (1)等腰三角形兩腰_相等_(定義) (2)等腰三角形兩角底角_相等_(等邊對(duì)等角)(3)等腰三角形底邊上的中線，底邊上的高和頂角的平分線_互相重合_(簡(jiǎn)稱“三線合一”)2判定： (1)有_兩邊相等_的三角形是等腰三角形 (2)有_兩角相等_的三角形是等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)和判定3等邊三角形的性質(zhì)：(具有等腰三角形的所有性質(zhì)，結(jié)合定義更特殊). (1)等邊三角形的內(nèi)角都_相等_，且為_60_. (2)等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對(duì)角的平分線_互相重合_(簡(jiǎn)稱“三線合一”)(3)等邊三角形是_軸對(duì)稱_圖形，它有_三_條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是每條邊上的中線、高線或所對(duì)角的平分線所在直線4等邊三角形的判定：(首先考慮判斷三角形是等腰三角形) (1)_三邊_相等的三角形是等邊三角形(定義)(2)三個(gè)內(nèi)角都_相等_的三角形是等邊三角形. (3)有一個(gè)角是60的_等腰_三角形是等邊三角形直角三角形的性質(zhì)和判定5直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角_互余_(2)在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的_一半_(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_一半_(4)直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2.6直角三角形的判定判定1：有一個(gè)角為_90_的三角形是直角三角形判定2：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的_一半_，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形判定3：若_a2b2c2_，則以a，b，c為邊的三角形，是以c為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理)線段垂直平分線的定理及逆定理7線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_相等_【溫馨提示】它是證明兩條線段相等的重要的方法之一，在證明線段相等時(shí)，不要再證明兩個(gè)三角形全等了，方便了證明的過(guò)程8線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離_相等_的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上【溫馨提示】(1)關(guān)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理實(shí)際就是線段垂直平分線的判定定理；區(qū)分線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別的關(guān)鍵在于區(qū)分它們的題設(shè)和結(jié)論；(2)要想證明一條直線是一條線段的垂直平分線，只要證明這條直線上任意一點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等即可,重點(diǎn)難點(diǎn)解析)等腰三角形的應(yīng)用【例1】閱讀理解：如圖，在abc的邊ab上取一點(diǎn)p，連接cp，可以把a(bǔ)bc分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是等腰三角形，我們就稱點(diǎn)p是abc的邊ab上的和諧點(diǎn)解決問(wèn)題：(1)如圖，abc中，acb90，試找出邊ab上的和諧點(diǎn)p，并說(shuō)明理由；(2)已知a40，abc的頂點(diǎn)b在射線l上(圖)，點(diǎn)p是邊ab上的和諧點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合條件的b點(diǎn)，并寫出相應(yīng)的b的度數(shù)【解析】(1)由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找出和諧點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)；(2)由a為等腰三角形的頂角和底角分類討論得出符合條件的點(diǎn)b有3個(gè)【答案】解：(1)ab邊上的和諧點(diǎn)為ab的中點(diǎn)理由如下：p是ab的中點(diǎn)，pcabpapb，acp和bcp是等腰三角形；(2)當(dāng)aacp40時(shí)，則cpb404080.如答圖.若cpcb1，則cpb1cb1p80.若b2pb2c，則b2pcb2cp80，cb2p180808020.若pcb3p，則pb3cpb3c50；當(dāng)aapc40時(shí)，如答圖，cpb4180apc18040140，cb4p20；當(dāng)acpapc70時(shí)，如答圖，cpb5180apc18070110，cb5p35.綜上所述，符合條件的cbp的度數(shù)為35，50，80，20.【針對(duì)訓(xùn)練】1閱讀下列材料：我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則稱這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形如正方形，菱形都是和諧四邊形結(jié)合閱讀材料，完成下列問(wèn)題：如圖，等腰rtabd中，bad90.若點(diǎn)c為平面上一點(diǎn)，ac為凸四邊形abcd的和諧線，且abbc，請(qǐng)畫出圖形并求出abc的度數(shù)解：ac是四邊形abcd的和諧線，acd是等腰三角形，在等腰rtabd中，abad，abadbc，如圖，當(dāng)adac時(shí)，abacbc，acdadc，abc是正三角形，abc60.如圖，當(dāng)adcd時(shí)，abadbccd.bad90，四邊形abcd是正方形，abc90；如圖，當(dāng)accd時(shí)，過(guò)點(diǎn)c作cead于e，過(guò)點(diǎn)b作bfce于f.accd，cead，aead，acedce.badaefbfe90，四邊形abfe是矩形bfae.abadbc，bfbc，bcf30.abbc，acbbac.abce，bacace，acbbacbcf15，abc150，綜上所述，abc的度數(shù)為60或90或150.等邊三角形的性質(zhì)和判定【例2】圖中所示的遮陽(yáng)傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖.當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)p與點(diǎn)a重合；當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動(dòng)點(diǎn)p由a向b移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)p到過(guò)點(diǎn)b時(shí)，傘張得最開已知傘在撐開的過(guò)程中，總有pmpncmcn6.0 dm，cecf18.0 dm，bc2.0 dm.(1)求ap長(zhǎng)的取值范圍；(2)當(dāng)cpn60時(shí)，求ap的值【解析】(1)根據(jù)題意，得accnpn，進(jìn)一步求得ab的長(zhǎng)，即可求得ap的取值范圍；(2)根據(jù)等邊pcn的判定和性質(zhì)即可求解【答案】解：(1)bc2.0 dm，accnpn12 dm，ab12210(dm)，ap的取值范圍為：0 dmap10 dm.(2)cnpn，cpn60，pcn等邊三角形，cp6 dm.apacpc1266(dm)即當(dāng)cpn60時(shí)，ap6 dm. 【針對(duì)訓(xùn)練】2(2017南充中考)如圖，等邊oab的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為(d)a(1，1) b(，1)c(，) d(1，)3如圖，abc為等邊三角形，bd平分abc，debc.求證：(1)ade是等邊三角形；(2)aeab.證明：(1)abc為等邊三角形，aabcacb60.debc，aedabc60，adeacb60，aaedade，ade是等邊三角形；(2)ade是等邊三角形，adae.abc為等邊三角形，abac.bd平分abc，d是ac的中點(diǎn)(三線合一)，adacab，aeab.直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】如圖，一位同學(xué)做了一個(gè)斜面裝置進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，abc是該裝置左視圖，acb90，b15，為了加固斜面，在斜面ab的中點(diǎn)d處連結(jié)一條支撐桿cd，量得cd6.(1)求斜坡ab長(zhǎng)和adc的度數(shù)；(2)該同學(xué)想用彩紙裝飾實(shí)驗(yàn)裝置中的abc的表面，請(qǐng)你計(jì)算abc的面積【解析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ab2cd，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)過(guò)c作ceab于e，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到cecd3，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論【答案】解：(1)acb90，d是ab的中點(diǎn)，ab2cd2612.cdbd，adc2b30；(2)過(guò)c作ceab于e，adc30，cecd3，sabc12318.【針對(duì)訓(xùn)練】4如圖，在abc中，acb90，a15，d是邊ab的中點(diǎn)，deab交ac于點(diǎn)e.求：(1)cde的度數(shù)；(2)ceea.解：(1)在abc中，acb90，d是邊ab的中點(diǎn)，cdadbd，dcaa15，bdcadca30.edab，edb90，cde903060；(2)連結(jié)be.d為ab中點(diǎn)，deab，beae，ebaa15，bec151530，cosbeccos30.aebe，.線段中垂線的定理及逆定理【例4】如圖，在abc中，ad平分bac，deac，efad交bc延長(zhǎng)線于f.求證：facb.【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可得aeed，則ef是ad的垂直平分線，又fadcadfac，fdabbad，即可證得【答案】證明：ad平分bac，badcad.deac，edacad.edaead，aeed.又efad，ef是ad的垂直平分線，afdf，fadfda.又fadcadfac，fdabbad，facb.【針對(duì)訓(xùn)練】5(德州中考)如圖，在abc中，b55，c30，分別以點(diǎn)a和點(diǎn)c為圓心，大于ac的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)m，n，作直線mn，交bc于點(diǎn)d，連接ad，則bad的度數(shù)為(a)a65 b60 c55 d45,當(dāng)堂過(guò)關(guān)檢測(cè))1.(2017荊州中考)如圖，在abc中，abac，a30，ab的垂直平分線l交ac于點(diǎn)d，則cbd的度數(shù)為(b)a30 b45 c50 d75,(第1題圖),(第2題圖)2(2017濱州中考)如圖，在abc中，abac，d為bc上一點(diǎn)，且dadc，bdba，則b的大小為(b)a40 b36 c30