2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版）

第 1頁 共 9頁 2013 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目要求 的 在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目要求 的 1 5 分 設(shè)集合 A 1 2 3 B 4 5 M x x a b a A b B 則 M 中元素的個數(shù)為 A 3B 4C 5D 6 2 5 分 A 8B 8C 8iD 8i 3 5 分 已知向量 1 1 2 2 若 則 A 4B 3C 2D 1 4 5 分 已知函數(shù) f x 的定義域為 1 0 則函數(shù) f 2x 1 的定義域為 A 1 1 B C 1 0 D 5 5 分 函數(shù) f x log2 1 x 0 的反函數(shù) f 1 x A B C 2x 1 x R D 2x 1 x 0 6 5 分 已知數(shù)列 an 滿足 3an 1 an 0 a2 則 an 的前 10 項和等于 A 6 1 3 10 B C 3 1 3 10 D 3 1 3 10 7 5 分 1 x 3 1 y 4的展開式中 x2y2的系數(shù)是 A 5B 8C 12D 18 8 5 分 橢圓 C 的左 右頂點分別為 A1 A2 點 P 在 C 上且直線 PA2斜率的取值范圍是 2 1 那么直線 PA1斜率的取值范圍是 A B C D 9 5 分 若函數(shù) f x x2 ax 是增函數(shù) 則 a 的取值范圍是 A 1 0 B 1 C 0 3 D 3 10 5 分 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 則 CD 與平面 BDC1所成角的正弦值等于 A B C D 11 5 分 已知拋物線 C y2 8x 的焦點為 F 點 M 2 2 過點 F 且斜率為 k 的直線與 C 交于 A B 兩點 若 則 k A B C D 2 12 5 分 已知函數(shù) f x cosxsin2x 下列結(jié)論中不正確的是 A y f x 的圖象關(guān)于 0 中心對稱 B C D f x 既是奇函數(shù) 又是周期函數(shù) 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分分 13 5 分 已知 是第三象限角 sin 則 cot 14 5 分 6 個人排成一行 其中甲 乙兩人不相鄰的不同排法共有種 用數(shù)字作答 15 5 分 記不等式組所表示的平面區(qū)域為 D 若直線 y a x 1 與 D 有公共點 則 a 的 取值范圍是 16 5 分 已 知 圓 O 和 圓 K 是 球 O 的 大 圓 和 小 圓 其 公 共 弦 長 等 于 球 O 的 半 徑 則球 O 的表面積等于 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 10 分 等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn 已知 S3 a22 且 S1 S2 S4成等比數(shù)列 求 an 的通項式 18 12 分 設(shè) ABC 的內(nèi)角 A B C 的內(nèi)角對邊分別為 a b c 滿足 a b c a b c ac 求 B 若 sinAsinC 求 C 第 2頁 共 9頁 19 12 分 如圖 四棱錐 P ABCD 中 ABC BAD 90 BC 2AD PAB 與 PAD 都是等邊三角 形 證明 PB CD 求二面角 A PD C 的大小 20 12 分 甲 乙 丙三人進行羽毛球練習(xí)賽 其中兩人比賽 另一人當裁判 每局比賽結(jié)束時 負的一方在下一局當裁判 設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為 各局比賽的結(jié)果都相互獨立 第 1 局 甲當裁判 求第 4 局甲當裁判的概率 X 表示前 4 局中乙當裁判的次數(shù) 求 X 的數(shù)學(xué)期望 21 12 分 已知雙曲線 C 1 a 0 b 0 的左 右焦點分別為 F1 F2 離心率為 3 直 線 y 2 與 C 的兩個交點間的距離為 I 求 a b II 設(shè)過 F2的直線 l 與 C 的左 右兩支分別相交于 A B 兩點 且 AF1 BF1 證明 AF2 AB BF2 成等比數(shù)列 22 12 分 已知函數(shù) I 若 x 0 時 f x 0 求 的最小值 II 設(shè)數(shù)列 an 的通項 an 1 第 3頁 共 9頁 2013 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目要求 的 在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目要求 的 1 考點 集合的確定性 互異性 無序性 集合中元素個數(shù)的最值 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 利用已知條件 直接求出 a b 利用集合元素互異求出 M 中元素的個數(shù)即可 解答 解 因為集合 A 1 2 3 B 4 5 M x x a b a A b B 所以 a b 的值可能為 1 4 5 1 5 6 2 4 6 2 5 7 3 4 7 3 5 8 所以 M 中元素只有 5 6 7 8 共 4 個 故選 故選 B 點評 本題考查集合中元素個數(shù)的最值 集合中元素的互異性的應(yīng)用 考查計算能力 2 考點 復(fù)數(shù)的運算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 復(fù)數(shù)分子 分母同乘 8 利用 1 的立方虛根的性質(zhì) 化簡即可 解答 解 故選 故選 A 點評 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算 是基礎(chǔ)題 3 考點 數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 利用向量的運算法則 向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出 解答 解 2 3 3 0 2 3 3 0 解得 3 故選 故選 B 點評 熟練掌握向量的運算法則 向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 4 考點 函數(shù)的定義域及其求法 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 原函數(shù)的定義域 即為 2x 1 的范圍 解不等式組即可得解 解答 解 原函數(shù)的定義域為 1 0 1 2x 1 0 解得 1 x 則函數(shù) f 2x 1 的定義域為 故選 故選 B 點評 考查復(fù)合函數(shù)的定義域的求法 注意變量范圍的轉(zhuǎn)化 屬簡單題 5 考點 反函數(shù) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 把 y 看作常數(shù) 求出 x x x y 互換 得到 y log2 1 的反函數(shù) 注意反函數(shù)的 定義域 解答 解 設(shè) y log2 1 把 y 看作常數(shù) 求出 x 1 2y x 其中 y 0 x y 互換 得到 y log2 1 的反函數(shù) y 故選 故選 A 點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法 解題時要認真審題 注意對數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化 6 考點 等比數(shù)列的前 n 項和 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由已知可知 數(shù)列 an 是以 為公比的等比數(shù)列 結(jié)合已知可求 a1 然后代入等比 數(shù)列的求和公式可求 解答 解 3an 1 an 0 第 4頁 共 9頁 數(shù)列 an 是以 為公比的等比數(shù)列 a1 4 由等比數(shù)列的求和公式可得 S10 3 1 3 10 故選 故選 C 點評 本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用 屬于基礎(chǔ)試題 7 考點 二項式定理 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 由題意知利用二項展開式的通項公式寫出展開式的通項 令 x 的指數(shù)為 2 寫出出展開式中 x2的系數(shù) 第二個因式 y2的系數(shù) 即可得到結(jié)果 解答 解 x 1 3的展開式的通項為 Tr 1 C3rxr 令 r 2 得到展開式中 x2的系數(shù)是 C32 3 1 y 4的展開式的通項為 Tr 1 C4ryr 令 r 2 得到展開式中 y2的系數(shù)是 C42 6 1 x 3 1 y 4的展開式中 x2y2的系數(shù)是 3 6 18 故選 故選 D 點評 本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題 本題解題的關(guān)鍵是寫出 二項式的展開式 所有的這類問題都是利用通項來解決的 8 考點 直線的斜率 直線與圓錐曲線的綜合 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 由橢圓 C 可知其左頂點 A1 2 0 右頂點 A2 2 0 設(shè) P x0 y0 x0 2 代入橢圓方程可得 利用斜率計算公式可得 再利用已知給出的的范 圍即可解出 解答 解 由橢圓 C 可知其左頂點 A1 2 0 右頂點 A2 2 0 設(shè) P x0 y0 x0 2 則 得 解得 故選 故選 B 點評 熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì) 斜率的計算公式 不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵 9 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由函數(shù)在 上是增函數(shù) 可得 0 在 上恒成立 進而可轉(zhuǎn)化為 a 2x 在 上恒成立 構(gòu)造函數(shù)求出 2x 在 上的最值 可得 a 的取值范圍 解答 解 在 上是增函數(shù) 故 0 在 上恒成立 即 a 2x 在 上恒成立 令 h x 2x 則 h x 2 當 x 時 h x 0 則 h x 為減函數(shù) h x h 3 a 3 故選 故選 D 點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 恒成立問題 是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 難度中 檔 第 5頁 共 9頁 10 考點 直線與平面所成的角 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 設(shè) AB 1 則 AA1 2 分別以的方向為 x 軸 y 軸 z 軸的正方向建立空間 直角坐標系 設(shè) x y z 為平面 BDC1的一個法向量 CD 與平面 BDC1所成角為 則 sin 在空間坐標系下求出向量坐標 代入計算即可 解答 解 設(shè) AB 1 則 AA1 2 分別以的方向為 x 軸 y 軸 z 軸的正方向建立 空間直角坐標系 如下圖所示 則 D 0 0 2 C1 1 0 0 B 1 1 2 C 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 0 設(shè) x y z 為平面 BDC1的一個法向量 則 即 取 2 2 1 設(shè) CD 與平面 BDC1所成角為 則 sin 故選 故選 A 點評 本題考查直線與平面所成的角 考查空間向量的運算及應(yīng)用 準確理解線面角與直線方向向 量 平面法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵 11 考點 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算 拋物線的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 斜率 k 存在 設(shè)直線 AB 為 y k x 2 代入拋物線方程 利用 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 0 即可求出 k 的值 解答 解 由拋物線 C y2 8x 得焦點 2 0 由題意可知 斜率 k 存在 設(shè)直線 AB 為 y k x 2 代入拋物線方程 得到 k2x2 4k2 8 x 4k2 0 0 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 4 x1x2 4 y1 y2 y1y2 16 又 0 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 0 k 2 故選 故選 D 點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系 考查向量的數(shù)量積公式 考查學(xué)生的計算能力 屬于中 檔題 12 考點 三角函數(shù)的周期性 三角函數(shù)的最值 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于某點中心對稱或關(guān)于某條直線對稱的公式 對 A B 兩項加以驗證 可得 它們都正確 根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡 得 f x 2sinx 1 sin2x 再 換元 令 t sinx 得到關(guān)于 t 的三次函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性可得 f x 的最大值為 故 C 不正確 根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的定義加以驗證 可得 D 項正確 由此可得本題的答案 解答 解 對于 A 因為 f x cos x sin 2 2x cosxsin2x f x cos x sin 2 2x cosxsin2x 所以 f x f x 0 可得 y f x 的圖象關(guān)于 0 中心對稱 故 A 正確 對于 B 因為 f x cos x sin 2x sinx sin2x sinxsin2x f x cos x sin 2x sinxsin2x 所以 f x f x 可得 y f x 的圖象關(guān)于直線 x 對稱 故 B 正確 對于 C 化簡得 f x cosxsin2x 2cos2xsinx 2sinx 1 sin2x 令 t sinx f x g t 2t 1 t2 1 t 1 g t 2t 1 t2 的導(dǎo)數(shù) g t 2 6t2 2 1 t 1 t 當 t 1 時或 t 1 時 g t 0 函數(shù) g t 為減函數(shù) 第 6頁 共 9頁 當 t 時 g t 0 函數(shù) g t 為增函數(shù) 因此函數(shù) g t 的最大值為 t 1 時或 t 時的函數(shù)值 結(jié)合 g 1 0 g 可得 g t 的最大值為 由此可得 f x 的最大值為而不是 故 C 不正確 對于 D 因為 f x cos x sin 2x cosxsin2x f x 所以 f x 是奇函數(shù) 因為 f 2 x cos 2 x sin 4 2x cosxsin2x f x 所以 2 為函數(shù)的一個周期 得 f x 為周期函數(shù) 可得 f x 既是奇函數(shù) 又是周期函數(shù) 得 D 正 確 綜上所述 只有 C 項不正確 故選 故選 C 點評 本題給出三角函數(shù)式 研究函數(shù)的奇偶性 單調(diào)性和周期性 著重考查了三角恒等變換公式 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的對稱性等知識 屬于中檔題 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分分 13 2 考點 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù) 是第三象限的角 得到 cos 小于 0 然后由 sin 的值 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān) 系求出 cos 的值 進而求出 cot 的值 解答 解 由 是第三象限的角 得到 cos 0 又 sin 所以 cos 則 cot 2 故答案為 2 點評 此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值 是一道基礎(chǔ)題 學(xué)生做題時注 意 的范圍 14 480 考點 排列 組合及簡單計數(shù)問題 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 排列好甲 乙兩人外的 4 人 然后把甲 乙兩人插入 4 個人的 5 個空位中即可 解答 解 6 個人排成一行 其中甲 乙兩人不相鄰的不同排法 排列好甲 乙兩人外的 4 人 有 中方法 然后把甲 乙兩人插入 4 個人的 5 個空位 有種方法 所以共有 480 故答案為 480 點評 本題考查了乘法原理 以及排列的簡單應(yīng)用 插空法解答不相鄰問題 15 4 考點 簡單線性規(guī)劃 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用 我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū) 域 然后分析平面區(qū)域里各個角點 然后將其代入 y a x 1 中 求出 y a x 1 對應(yīng)的 a 的端 點值即可 解答 解 滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示 因為 y a x 1 過定點 1 0 所以當 y a x 1 過點 B 0 4 時 得到 a 4 當 y a x 1 過點 A 1 1 時 對應(yīng) a 又因為直線 y a x 1 與平面區(qū)域 D 有公共點 所以 a 4 故答案為 4 第 7頁 共 9頁 點評 在解決線性規(guī)劃的小題時 我們常用 角點法 其步驟為 由約束條件畫出可行域 求 出可行域各個角點的坐標 將坐標逐一代入目標函數(shù) 驗證 求出最優(yōu)解 16 16 考點 LG 球的體積和表面積 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 專題 16 壓軸題 5F 空間位置關(guān)系與距離 分析 正確作出圖形 利用勾股定理 建立方程 即可求得結(jié)論 解答 解 如圖所示 設(shè)球 O 的半徑為 r AB 是公共弦 OCK 是面面角 根據(jù)題意得 OC CK 在 OCK 中 OC2 OK2 CK2 即 r2 4 球 O 的表面積等于 4 r2 16 故答案為 16 點評 本題考查球的表面積 考查學(xué)生分析解決問題的能力 屬于中檔題 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 解答 解 設(shè)數(shù)列的公差為 d 由得 3 a2 0 或 a2 3 由題意可得 若 a2 0 則可得 d2 2d2即 d 0 不符合題意 若 a2 3 則可得 6 d 2 3 d 12 2d 解可得 d 0 或 d 2 an 3 或 an 2n 1 點評 本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用 等比數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用 屬于 基礎(chǔ)試題 18 解答 解 I a b c a b c a c 2 b2 ac a2 c2 b2 ac cosB 又 B 為三角形的內(nèi)角 則 B 120 II 由 I 得 A C 60 sinAsinC cos A C cos A C cosAcosC sinAsinC cosAcosC sinAsinC 2sinAsinC cos A C 2sinAsinC 2 A C 30 或 A C 30 則 C 15 或 C 45 點評 此題考查了余弦定理 兩角和與差的余弦函數(shù)公式 以及特殊角的三角函數(shù)值 熟練掌握余 弦定理是解本題的關(guān)鍵 19 解答 解 I 取 BC 的中點 E 連接 DE 可得四邊形 ABED 是正方形 過點 P 作 PO 平面 ABCD 垂足為 O 連接 OA OB OD OE PAB 與 PAD 都是等邊三角形 PA PB PD 可得 OA OB OD 因此 O 是正方形 ABED 的對角線的交點 可得 OE OB 第 8頁 共 9頁 PO 平面 ABCD 得直線 OB 是直線 PB 在內(nèi)的射影 OE PB BCD 中 E O 分別為 BC BD 的中點 OE CD 可得 PB CD II 由 I 知 CD PO CD PB PO PB 是平面 PBD 內(nèi)的相交直線 CD 平面 PBD PD 平面 PBD CD PD 取 PD 的中點 F PC 的中點 G 連接 FG 則 FG 為 PCD 有中位線 FG CD 可得 FG PD 連接 AF 由 PAD 是等邊三角形可得 AF PD AFG 為二面角 A PD C 的平面角 連接 AG EG 則 EG PB PB OE EG OE 設(shè) AB 2 則 AE 2 EG PB 1 故 AG 3 在 AFG 中 FG CD AF AG 3 cos AFG 得 AFG arccos 即二面角 A PD C 的平面角大小是 arccos 點評 本題給出特殊的四棱錐 求證直線與直線垂直并求二面角平面角的大小 著重考查了線面垂 直的判定與性質(zhì) 三垂線定理和運用余弦定理求二面的大小等知識 屬于中檔題 20 解答 解 I 令 A1表示第 2 局結(jié)果為甲獲勝 A2表示第 3 局甲參加比賽時 結(jié)果為甲負 A 表示第 4 局甲當裁判 則 A A1 A2 P A P A1 A2 P A1 P A2 X 的所有可能值為 0 1 2 令 A3表示第 3 局乙和丙比賽時 結(jié)果為乙勝 B1表示第 1 局結(jié)果為乙獲勝 B2表示第 2 局乙和甲比賽時 結(jié)果為乙勝 B3表示第 3 局乙參加比賽時 結(jié)果為乙負 則 P X 0 P B1B2 P B1 P B2 P P X 2 P B3 P P B3 P X 1 1 P X 0 P X 2 從而 EX 0 1 2 點評 本題考查互斥 獨立事件的概率 離散型隨機變量的分布列和期望等知識 同時考查利用概 率知識解決問題的能力 21 解答 解 I 由題設(shè)知 3 即 9 故 b2 8a2 所以 C 的方程