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寧夏銀川市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共8小題)1.已知命題:向量,所在的直線平行,命題:向量,平行,則是的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足,則(
)A. B.2 C. D.3.已知點(diǎn),,向量,,則與的夾角的余弦值為(
)A. B. C. D.4.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且,則的形狀為(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形5.在平行四邊形ABCD中,已知,,,,則(
).A. B. C.6 D.96.為測(cè)量河對(duì)岸的直塔AB的高度,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C,D,測(cè)得的大小為60°,點(diǎn)C,D的距離為200m,在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°,在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,則直塔AB的高為(
)A.100m B. C. D.200m7.如圖所示的矩形中,,滿(mǎn)足,,G為EF的中點(diǎn),若,則的值為(
)A. B.3 C. D.28.如圖,在邊長(zhǎng)為4的等邊中,點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)),點(diǎn)為的中點(diǎn),則(
)A. B. C. D.–3二、多選題(本大題共3小題)9.下列說(shuō)法正確的有(
)A.已知,,若與共線,則B.若,,則C.若,則一定不與共線D.若,,為銳角,則實(shí)數(shù)的范圍是10.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立,該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集,建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián),在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位,被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式,下列說(shuō)法中正確的是(
)A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.為純虛數(shù)C.的模長(zhǎng)等于 D.的共軛復(fù)數(shù)為11.如圖1是一款家居裝飾物——博古架,它始見(jiàn)于北宋宮廷、官邸.博古架是類(lèi)似于書(shū)架式的木器,其每層形狀不規(guī)則,前后均敞開(kāi),無(wú)板壁封擋,便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論正確的是(
)A.B.若,則C.D.設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn),則的取值范圍是三、填空題(本大題共3小題)12.設(shè)是虛數(shù)單位,是實(shí)數(shù),若是實(shí)數(shù),則.13.已知a=3,4,b=4,-2,若2a-b與ka+214.在中,為上一點(diǎn),,為線段上任一點(diǎn),若,則的最小值是.四、解答題(本大題共5小題)15.如圖,已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長(zhǎng)為2,正三棱錐的高SO=1.(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積;(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積.16.己知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c;,且邊,(1)求的周長(zhǎng);(2)若角,求的面積.17.已知.(1)當(dāng)k為何值時(shí),與共線.(2)若,且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.18.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且.(1)求角A的大?。?2)求的取值范圍.19.在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)任意兩個(gè)向量,,作,.當(dāng),不共線時(shí),記以,為鄰邊的平行四邊形的面積為;當(dāng),共線時(shí),規(guī)定.(1)分別根據(jù)下列已知條件求:①,;②,;(2)若向量,求證:;(3)若A,B,C是以О為圓心的單位圓上不同的點(diǎn),記,,.(i)當(dāng)時(shí),求的最大值;(ii)寫(xiě)出的最大值.(只需寫(xiě)出結(jié)果)
參考答案1.【答案】A【詳解】因?yàn)橄蛄?,所在的直線平行時(shí),可得向量,平行,則充分性成立,而向量,平行時(shí),向量,所在的直線平行或重合,則必要性不成立,則命題是的充分不必要條件,故選:A.2.【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足,則,即,故選:A.3.【答案】A【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,,結(jié)合平面向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意,得,,則與的夾角的余弦值為.故選:A.4.【答案】A【詳解】,由正弦定理,得,即∴,可得,又,∴,則的形狀為等腰三角形.故選:A.5.【答案】A【詳解】由題意可得:,,∵,①,②①-②得:,即,∴.故選:A.6.【答案】A【分析】根據(jù)畫(huà)出圖形,設(shè),結(jié)合條件可得,,然后根據(jù)余弦定理即得.【詳解】設(shè),則,,∴,在中,由余弦定理可得,∴,∴(負(fù)值舍去),即直塔AB的高為100m.故選:A.7.【答案】A【詳解】因?yàn)?,,G為EF的中點(diǎn),所以,所以,所以.故選:A8.【答案】C【詳解】由已知,,,,所以.由已知是的中點(diǎn),所以,,.所以,,所以,.故選:C.9.【答案】AD【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)可直接判斷ABC選項(xiàng),再根據(jù)向量數(shù)量積與夾角的關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】A選項(xiàng):,,若與共線,則,,A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,,但不一定成立,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng):,無(wú)法確定兩個(gè)向量的方向,兩個(gè)向量可能共線,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng):,,若為銳角,則,解得,D選項(xiàng)正確;故選:AD.10.【答案】ACD【詳解】對(duì)于A項(xiàng):由題意可得:,則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,∵,則,∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,故A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng):由題意可得:為實(shí)數(shù),故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng):由題意可得:,則,故C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng):由題意可得:,則的共軛復(fù)數(shù)為,故D項(xiàng)正確;故選:ACD.11.【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量垂直的條件及向量相等的條件,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AJ所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.A選項(xiàng):易知,,,,所以,,則,所以,所以A正確.B選項(xiàng):易知,,,,,,所以,,,所以,得,解得,,所以,所以B錯(cuò)誤.C選項(xiàng):由選項(xiàng)A,B知,則,,,所以C錯(cuò)誤.D選項(xiàng):易知,,設(shè),則,,所以.因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),取得最小值;當(dāng)時(shí),取得最大值40.所以的取值范圍是,所以D正確.故選:AD.12.【答案】1【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù),所以,所以.故答案為:.13.【答案】-4【分析】由已知,分別表示出2a-b和ka+2b的坐標(biāo)形式,再根據(jù)兩向量共線,列出等量關(guān)系【詳解】因?yàn)閍=3,4,b=4,-2,所以因?yàn)?a-b與ka+2b為共線向量,所以24k-4故答案為:-4.14.【答案】8【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?,,三點(diǎn)共線,所以,所以.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.所以的最小值是8.故答案為:815.【答案】(1)(2)【詳解】(1)在正三棱錐S﹣ABC中,,所以.(2)連接CO延長(zhǎng)交AB于E,連接SE,則E為AB的中點(diǎn),如圖所示,所以,在直角三角形SOE中,,在△ABS中,SA=SB,所以SE⊥AB,所以,則表面積為:.16.【答案】(1)(2)【分析】(1)由正弦定理得,則得到其周長(zhǎng);(2)根據(jù)余弦定理得,解出的值,再利用三角形面積公式即可得到答案.【詳解】(1)∵,∴由正弦定理可得,∴,∴三角形周長(zhǎng)為.(2)由(1)知,由余弦定理得,即,解得,∴.17.【答案】(1)(2)【詳解】(1)根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示可求出結(jié)果;(2)根據(jù)向量共線定理可求出結(jié)果.(1)由,可得,,因?yàn)榕c共線,所以,即,解得(2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以,即,所以,解得.18.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由正弦定理可得,即,由余弦定理的變形得,又,所以.(2)由得,且,所以,所以,因?yàn)?,從而,所以,從?即的取值范圍為.19.【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解(3)(i);(ii)【分析】(1)由求解;(2)由證明;(3)(i)設(shè),由求解;(ii)設(shè),求
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