高中數(shù)學第二章平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式導學案新人教B版.docx

2.1.1平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式1.認識并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等幾種不同形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等的代數(shù)形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，證明比較簡單的不等式，會求某些函數(shù)的最值.自學導引1.若a1，a2，b1，b2R，則(aa)(bb)(a1b1a2b2)2，等號成立a1b2a2b1.2.設，為平面上的兩個向量，則|，等號成立與共線(0)；|，等號成立的條件為，0或與同向或(0).3.設a1，a2，b1，b2為實數(shù)，則，等號成立存在非負實數(shù)及，使得a1b1，a2b2.4.設平面上三點坐標為A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，則，其幾何意義為：|AB|BC|AC|.5.設，為平面向量，則|，等號成立的充要條件為()_(0).基礎自測1.已知a，bR*且ab1，則P(axby)2與Qax2by2的關系是()A.PQ B.PQ解析P(axby)2(x)(y)2(ax2by2)(ab)ax2by2QPQ，選A.答案A2.下列說法：二維形式的柯西不等式中a，b，c，d沒有取值限制.二維形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取數(shù)，不能為代數(shù)式.柯西不等式的向量式中取等號的條件是.柯西不等式只能應用于證明不等式或求最值.其中正確的個數(shù)有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析由柯西不等式的概念知，只正確，a，b，c，d是實數(shù)，沒有其取值限制.答案A3.設a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_.解析運用柯西不等式求解.根據柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.答案知識點1利用柯西不等式證明不等式【例1】 已知3x22y26，求證：2xy.證明由于2xy(x)(y).由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2(3x22y2)6611，|2xy|，2xy.反思感悟：柯西不等式(aa)(bb)(a1b1a2b2)2 |a1b1a2b2|，應用時關鍵是對已知條件的變形.1.已知a，b，c，dR，x0，y0，且x2a2b2，y2c2d2，求證：xyacbd. 證明由柯西不等式知：acbdxy.xyacbd.【例2】 (二維形式的三角不等式)設x1，y1，x2，y2R，用代數(shù)的方法證明 .證明()2xy2 xyxy2|x1x2y1y2|xyxy2(x1x2y1y2)xyx2x1x2xy2y1y2y(x1x2)2(y1y2)2 反思感悟：在平面中設(x1，y1)，(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)由向量加法的三角形法則知：|，由向量減法的幾何意義知：|.2.利用柯西不等式證明：.證明(a2b2).知識點2利用柯西不等式求函數(shù)的最值【例3】 求函數(shù)y5的最大值.解函數(shù)的定義域為x|1x5.y526當且僅當5即x時取等號，故函數(shù)的最大值為6.反思感悟：解題的關鍵是對函數(shù)解析式進行變形，使形式上適合應用柯西不等式，還要注意求出使函數(shù)取得最值時的自變量的值.3.已知xy1，求2x23y2的最小值.解2x23y2(x)2(y)2(xy)2.課堂小結1.二維形式的柯西不等式(aa)(bb)(a1b1a2b2)2當且僅當a1b2a2b1時等號成立.2.推論：(1)(ab)(cd)()2；(2)|a1b1a2b2|；(3)|a1b1|a2b2|.3.柯西不等式的向量形式|.當且僅當存在實數(shù)0，使時等號成立.4.二維形式的三角不等式(1)(或 )；(2) .隨堂演練1.寫出空間直角坐標系中柯西不等式的代數(shù)形式.解(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).當且僅當時等號成立.2.寫出空間代數(shù)形式的三角不等式.解有兩種形式分別對應定理3、定理4.定理3為 定理4為 .3.已知a2b2c21，x2y2z21.求證：axbycz1.證明由柯西不等式得：(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2a2b2c21，x2y2z21，|axbycz|1.axbycz1.基礎達標1.函數(shù)y的最小值是()A.20 B.25C.27 D.18解析y2x(12x)()2()2(23)225.答案B2.若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A.2，2 B.2，2C.， D.，解析(a2b2)12(1)2(ab)2|ab|2，ab2，2.答案A3.已知4x25y21，則2xy的最大值是()A. B.1C.3 D.9解析2xy2x1y1 .2xy的最大值為.答案A4.設a、b、c是正實數(shù)，且abc9，則的最小值是_.解析(abc)()2()2()2( )2( )2( )218.2.答案25.若a2b2c22，x2y2z24，則axbycz的取值范圍是_.解析(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，(axbycz)28，2axbycz2.答案2，2 6.已知a2b21，a，bR，求證：|acos bsin |1.證明(acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2)111，|acos bsin |1.綜合提高7.已知x，yR，且xy1，則的最小值為()A.4 B.2C.1 D.解析(1)224.答案A8.設a、bR，且ab，P，Qab，則()A.PQ B.PQC.P0，b0，ab0.(ab)又ab，而等號成立的條件是即ab，ab.即PQ.答案A9.設a，b，c，d，m，n都是正實數(shù)，P，Q，則P與Q的大小_.解析由柯西不等式，得PQ.答案PQ10.函數(shù)y2的最大值為_.解析y213.當且僅當1取等號.即22x4x2，x0時取等號.答案311.若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值點.解由柯西不等式(4x29y2)(1212)