雙曲線專題復(fù)習(xí)義及練習(xí).doc

雙曲線知識(shí)梳理1. 雙曲線的定義（1）第一定義：當(dāng)時(shí), 的軌跡為雙曲線; 當(dāng)時(shí), 的軌跡不存在; 當(dāng)時(shí), 的軌跡為以為端點(diǎn)的兩條射線（2）雙曲線的第二義平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為雙曲線2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)焦點(diǎn)， 焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線漸近線與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程為：與雙曲線共軛的雙曲線為等軸雙曲線的漸近線方程為 ，離心率為.； 重難點(diǎn)突破1.注意定義中“陷阱”問(wèn)題1：已知，一曲線上的動(dòng)點(diǎn)到距離之差為6，則雙曲線的方程為 點(diǎn)撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支 ，的軌跡是雙曲線的右支.其方程為2.注意焦點(diǎn)的位置問(wèn)題2：雙曲線的漸近線為，則離心率為 點(diǎn)撥：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1：運(yùn)用雙曲線的定義例1 某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s. 已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)【解題思路】時(shí)間差即為距離差，到兩定點(diǎn)距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線型的解析如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，故|PB| |PA|=3404=1360由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，ABCPOxy依題意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處.【名師指引】解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學(xué)模型”【新題導(dǎo)練】1.設(shè)P為雙曲線上的一點(diǎn)F1、F2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故選B。2.如圖2所示，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，選C3. P是雙曲線左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（ ）（A）（B）（C）（D）解析設(shè)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為，由圓的切線性質(zhì)知， 題型2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3，2）.求雙曲線C的方程【解題思路】運(yùn)用方程思想，列關(guān)于的方程組解析 解法一：設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.解法二：設(shè)雙曲線方程為1，將點(diǎn)（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1.【名師指引】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.【新題導(dǎo)練】4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 解析設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，化為，綜上，雙曲線方程為或5.以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_(kāi).解析 拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為6.已知點(diǎn)，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，過(guò)、與圓相切的兩直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A BC（x 0） D解析，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，選B考點(diǎn)2 雙曲線的幾何性質(zhì)題型1 求離心率或離心率的范圍例3 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為 【解題思路】這是一個(gè)存在性問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解決解析(方法1)由定義知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得即的最大值為(方法2) ，雙曲線上存在一點(diǎn)P使，等價(jià)于 (方法3)設(shè)，由焦半徑公式得，的最大值為【名師指引】（1）解法1用余弦定理轉(zhuǎn)化，解法2用定義轉(zhuǎn)化，解法3用焦半徑轉(zhuǎn)化；（2）點(diǎn)P在變化過(guò)程中，的范圍變化值得探究；（3）運(yùn)用不等式知識(shí)轉(zhuǎn)化為的齊次式是關(guān)鍵【新題導(dǎo)練】7.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為 解析當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或8. 已知雙曲線的右頂點(diǎn)為E，雙曲線的左準(zhǔn)線與該雙曲線的兩漸近線的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，若AEB=60，則該雙曲線的離心率e是（ ）A B2 C或2 D不存在解析設(shè)雙曲線的左準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D,則，題型2 與漸近線有關(guān)的問(wèn)題例4若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為 （ ）A. B. C. D.【解題思路】通過(guò)漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系解析 焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，故，,所以【名師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)的比例關(guān)系可以求離心率,也可以求漸近線方程【新題導(dǎo)練】9. 雙曲線的漸近線方程是 ( )A. B. C. D. 解析選C10.焦點(diǎn)為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D解析從焦點(diǎn)位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 （A） （B） （C） （D）解析橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，選A 2.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的方程是（）A B C D 解析由 和得，選A3.兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且則雙曲線的離心率為( ) A B C D解析 ，選D4.設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為( C )A B1C2D不確定解析 C. 設(shè)，5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）(A). (B). (C). (D).解析 ，選B6.曲線與曲線的（ ）A焦距相等 B焦點(diǎn)相同 C離心率相等 D以上都不對(duì)解析 方程的曲線為焦點(diǎn)在x軸的橢圓，方程的曲線為焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，故選A綜合提高訓(xùn)練7. 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，（1）求雙曲線的漸近線方程（2）直線過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程 解析（1）依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，（2）設(shè)漸近線與直線交于A、B，則，解得即，又，雙曲線的方程為8.已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn),點(diǎn)是雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的最小值為,雙曲線的一條漸近線方程為. 求雙曲線的方程;解析,.的一條漸進(jìn)線方程為 ，又 由得9.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B且（其中為原點(diǎn)），求k的取值范圍解（1）設(shè)雙曲線方程為由已知得，再由，得故雙曲線的方程為.（2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點(diǎn)得 即且. 設(shè)，則，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范圍為參考例題：已知雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且（1）求雙曲線的離心率；（2）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于兩點(diǎn)，若，求雙曲線C的方程（1）設(shè)，則，（2）由（1）知，故，從而雙曲線的漸近線方程為，依題意，可設(shè)，由，得 由，得，解得點(diǎn)在雙曲線上，又，上式化簡(jiǎn)得 由，得，從而得故雙曲線C的方程為雙曲線專題練習(xí)一一、填空題 1橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則k= 。2雙曲線的漸近線為 兩漸近線夾角為 。 3已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，若該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則面積的最大值為 4過(guò)點(diǎn)（-6，3）且和雙曲線x2-2y2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為 。 5過(guò)原點(diǎn)與雙曲線 交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是 6、若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，3），則k的值是 。7. 已知直線y=kx-1與雙曲線,試列出實(shí)數(shù)k需滿足的不等式組,使直線與雙曲線交同支于兩點(diǎn)， 。8點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線焦點(diǎn)，若F1PF2=120o，則DF1PF2的面積 。9過(guò)點(diǎn)（，）的直線L與橢圓x22y22交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線l的斜率為k1（k10），直線的斜率為k2，則k1k2的值為_(kāi).10若對(duì)任意kR，直線與雙曲線總有公共點(diǎn)，則b范圍 。11若方程x+k-=0只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_。 12給出問(wèn)題：F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由 |PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi). 。二、選擇題13.平面內(nèi)有定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么甲是乙的 ( )A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件14. 經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線與、兩點(diǎn)，若|AB|=4,則這樣的直線存在的條數(shù)為 （ ）（A）；（B）3；（C）2；（D）15雙曲線與其共軛雙曲線有 （ ）A相同的焦點(diǎn) B. 相同的漸近線 C.相等的實(shí)軸長(zhǎng) D. 相等的虛軸長(zhǎng)16過(guò)點(diǎn)P(3,4)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)為 （ ）A4 B. 3 C.2 D. 1三、解答題17已知?jiǎng)訄A與圓C1:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。 （2）若動(dòng)圓P與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是 。 若動(dòng)圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是 。 若把圓C1的半徑改為1，那么動(dòng)圓P的軌跡是 。（只需寫(xiě)出圖形形狀）18已知直線與雙曲線交于、點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。解：19(1)橢圓C:(ab0)上的點(diǎn)A(1,)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動(dòng)點(diǎn), F1是左焦點(diǎn), 求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn), 當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時(shí)，那么是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線 寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。：20. 已知雙曲線方程為,（1）求過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。 (2) 過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若P為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；（3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。21、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn) 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 22已知雙曲線,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由。一、填空題 1 k= 2 。2 。 32 4 5.6、-1 。7. 。8。 9 . 10 11 -1，1）12 |PF2|=17。二、選擇題13. ( B )14 （ B ）15（ B ）16C三、解答題XOY5-5217已知?jiǎng)訄A與圓C1:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。 解：（1）從已知條件可以確定圓C1、C2的圓心與半徑。 兩圓外切可得：兩圓半徑和圓心距 動(dòng)圓半徑r,依題意有 7r|PC1|,1r|PC2|，兩式相減得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由雙曲線定義得：點(diǎn)P的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。（x3） （2）若動(dòng)圓P與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是 （雙曲線右支） 若動(dòng)圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是 （雙曲線左支） 若把圓C1的半徑改為1，那么動(dòng)圓P的軌跡是 。（兩定圓連心線的垂直平分線）18已知直線與雙曲線交于、點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。解：（1）由消去，得（1）依題意即且（2）（2）設(shè)，則 以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn) 但 由（3）（4）， 解得且滿足（2）（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使A、B關(guān)于對(duì)稱，則直線與垂直 ，即 直線的方程為將代入（3）得 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 縱坐標(biāo)為 但AB中點(diǎn)不在直線上，即不存在實(shí)數(shù)，使A、B關(guān)于直線對(duì)稱。19(1)橢圓C:(ab0)上的點(diǎn)A(1,)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動(dòng)點(diǎn), F1是左焦點(diǎn), 求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn), 當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時(shí)，那么是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線 寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。解：(1) (2)設(shè)中點(diǎn)為(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 (3)設(shè)M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xox1 則 為定值.20. 已知雙曲線方程為與點(diǎn)P(1,2),（1）求過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。 (2) 過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若P為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；（3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與有交點(diǎn)，所以以P為中點(diǎn)的弦為：.(3)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.21已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn) 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164280,所求直線l不存在 22 已知雙曲線,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由。 錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說(shuō)明所求直線不存在。雙曲線專題練習(xí)二1. 過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程是（ ）A. B. C. D. 2. 已知定點(diǎn)A、B，且|AB|=4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|=3，則|PA|的最小值是（ ）A. B. C. D. 53. 設(shè)雙曲線以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為（ ）A. B. C. D. 4. 設(shè)A為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點(diǎn)，連結(jié)AF交雙曲線于B，過(guò)B作直線BC垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線，垂足為C，則直線AC必過(guò)定點(diǎn)（ ）A. B. C. （4，0）D. 5. 把曲線C1：按向量平移后得曲線，曲線有一條準(zhǔn)線方程為，則的值為（ ）A. B. C. 3D. 6. 在中，若，則方程表示（ ）A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線7. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，若是的等比中項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 8. 設(shè)分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為（ ）A. 1B. C. 2D. 不確定二. 解答題9. 已知雙曲線M過(guò)點(diǎn)，且它的漸近線方程是。（1）求雙曲線M的方程；（2）設(shè)橢圓N的中心在原點(diǎn)，它的短軸是雙曲線M的實(shí)軸，且N中斜率為的弦的中點(diǎn)軌跡恰好是M的一條漸近線在N內(nèi)的部分，試求橢圓N的方程。10. 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線C過(guò)點(diǎn)。（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)雙曲線C的實(shí)軸左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，在第一象限內(nèi)任取雙曲線C上一點(diǎn)P，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？并證明你的結(jié)論。11. 雙曲線的中心是原點(diǎn)O，它的虛軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)A，且，過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程。12、已知點(diǎn)N（1，2），過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且（1）求直線AB的方程；（2）若過(guò)N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？13、如圖，點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，已知，且線段PF的中點(diǎn)在雙曲線的左支上.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍. 【試題答案】一.1. A解析：設(shè)與有公共漸近線的雙曲線方程為，把點(diǎn)代入可求得。2. C解析：P點(diǎn)軌跡是以A（左）、B（右）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（如圖）P與雙曲線右支頂點(diǎn)M重合時(shí)最小，最小值為。3. C解析：橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為（5，0），（4，0），設(shè)雙曲線的方程為，則有， ，故其漸近線為4. A解析：（特殊值法）取，則 直線AC與x軸相交于點(diǎn)，故選A5. C解析：無(wú)論曲線為橢圓還是雙曲線都可得到，且由題意可知曲線中心由（0，0）（1，2）后，曲線的一條準(zhǔn)線為，可判定為的右準(zhǔn)線故，即，故6. C解析：即，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故選C。7. D解析：由題意得由（2）（3）可得，代入（1）得橢圓的離心率，故選D。8. C解析：設(shè)設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，則由此可得即將，代入，選C二. 9. 解析：（1）所求雙曲線的方程為（2）由（1）知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上由于雙曲線M的實(shí)軸長(zhǎng)為 設(shè)橢圓方程為（其中又設(shè)N中斜率為的弦的兩端點(diǎn)為，其中點(diǎn)為則由（1）（2）得 N中斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡是直線在N內(nèi)的部分。根據(jù)題意得 橢圓N的方程為10. 解析：（1）由題意設(shè)雙曲線方程為，把代入得 又拋物線的焦點(diǎn)是（2，0）故 由得所以所求雙曲線方程為（2）假設(shè)存在適合題意的常數(shù)，此時(shí)先來(lái)考慮特殊情形下的值；當(dāng)軸時(shí)，將代入雙曲線方程解得因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，此時(shí)以下證明當(dāng)PF與x軸不垂直時(shí)，恒成立設(shè)，由于點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以直線PA