高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第4講 直線、平面垂直的判定及性質(zhì)配套課件 理 新人教A版 .ppt

考點(diǎn)梳理 1 定義 如果一條直線和一個(gè)平面相交 并且和這個(gè)平面內(nèi)的 直線都垂直 就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直 2 判定定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條 直線都垂直 那么這條直線垂直于這個(gè)平面 用符號(hào)語言表示為 a b a b p l a l b l 第4講直線 平面垂直的判定及性質(zhì) 1 直線與平面垂直 任意一條 相交 3 性質(zhì)定理 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面 那么這兩條直線平行 用符號(hào)語言表示為 a b a b 4 直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的 所成的銳角 或直角 叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角 射影 1 定義 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作 棱的兩條射線 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 2 二面角的大小是通過其平面角來度量的 而二面角的平面角須具有以下三個(gè)特點(diǎn) 頂點(diǎn)在棱上 兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi) 兩邊與棱都垂直 3 作二面角平面角常用的方法是定義法和垂直面法 2 二面角 垂直于 1 定義 兩個(gè)平面相交 如果所成的二面角是 就說這兩個(gè)平面互相垂直 2 判定定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條 那么這兩個(gè)平面互相垂直 用符號(hào)語言表示為a a 3 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面垂直 那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的 的直線垂直于另一個(gè)平面 用符號(hào)語言表示為 l a a l a 3 面面垂直 直二面角 垂線 交線 高考中始終將直線與平面垂直的性質(zhì)與判定作為考查的重點(diǎn) 尤其是以多面體為載體的線面平行 垂直的證明 更是年年考 并且在難度上以中檔題為主 預(yù)計(jì)高考中本節(jié)內(nèi)容仍為考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn) 助學(xué) 微博 題 若a b b c 則a c 若a b b c 則a c 若a b 則a b 若a b 則a b 其中真命題的序號(hào)是 解析由公理4知 是真命題 在空間內(nèi)a b b c 直線a c的關(guān)系不確定 故 是假命題 由a b 不能判定a b的關(guān)系 故 是假命題 是直線與平面垂直的性質(zhì)定理 答案 考點(diǎn)自測 1 用a b c表示三條不同的直線 表示平面 給出下列命 2 2012 南通第一學(xué)期期末考試 已知直線l 平面 直線m 平面 給出下列命題 l m l l m l m 其中正確的命題是 填序號(hào) 答案 3 2012 無錫市第一學(xué)期期末考試 對(duì)于直線m n和平面 有如下四個(gè)命題 若m m n 則n 若m m n 則n 若 則 若m m n n 則 其中正確命題是 填序號(hào) 答案 4 2012 鹽城調(diào)研 如圖 二面角 l 的大小是60 線段ab b l ab與l所成的角為30 則ab與平面 所成的角的正弦值是 解析如圖 過點(diǎn)a作ao 平面 于點(diǎn)o 作oc l于點(diǎn)c 連接ac 則ac l aco為平面 與平面 所成二面角的平面角 且 aco 60 5 2011 全國卷 已知直二面角 l 點(diǎn)a ac l c為垂足 b bd l d為垂足 則ab 2 ac bd 1 則d到平面abc的距離等于 例1 如圖所示 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中點(diǎn) 證明 1 cd ae 2 pd 平面abe 考向一直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 證明 1 由四棱錐p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中點(diǎn) ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pa ab 又 ab ad且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad ab pd 又 ab ae a pd 平面abe 方法總結(jié) 破解此類問題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì) 注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用 這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ) 由于 線線垂直 線面垂直 面面垂直 之間可以相互轉(zhuǎn)化 因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開 這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在 證明由題意可知 pac為等腰直角三角形 abc為等邊三角形 1 因?yàn)閛為邊ac的中點(diǎn) 所以bo ac 因?yàn)槠矫鎝ac 平面abc 平面pac 平面abc ac bo 平面abc 所以bo 平面pac 因?yàn)閜a 平面pac 所以bo pa 在等腰直角三角形pac內(nèi) o e為所在邊的中點(diǎn) 所以oe pa 又bo oe o 所以pa 平面ebo 例2 如圖所示 abc為正三角形 ec 平面abc bd ce ec ca 2bd m是ea的中點(diǎn) 求證 1 de da 2 平面bdm 平面eca 考向二平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 方法總結(jié) 在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線 若這樣的直線圖中不存在 則可通過作輔助線來解決 如有平面垂直時(shí) 一般要用性質(zhì)定理 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線 使之轉(zhuǎn)化為線面垂直 然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 故熟練掌握 線線垂直 面面垂直 間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵 訓(xùn)練2 2011 江蘇卷 如圖 在四棱錐p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分別是ap ad的中點(diǎn) 求證 1 直線ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 證明 1 如圖 在 pad中 因?yàn)閑 f分別為ap ad的中點(diǎn) 所以ef pd 又因?yàn)閑f 平面pcd pd 平面pcd 所以直線ef 平面pcd 2 連結(jié)bd 因?yàn)閍b ad bad 60 所以 abd為正三角形 因?yàn)閒是ad的中點(diǎn) 所以bf ad 因?yàn)槠矫鎝ad 平面abcd bf 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bf 平面pad 又因?yàn)閎f 平面bef 所以平面bef 平面pad 考向三線面 面面垂直的綜合應(yīng)用 1 證明 ab 平面pad 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad ph ad ph 平面abcd 方法總結(jié) 當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí) 常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線 把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 進(jìn)而可以證明線線垂直 訓(xùn)練3 2012 南通市第一學(xué)期期末考試 在如圖所示的幾何體中 四邊形abcd是正方形 ma 平面abcd pd ma e g f分別為mb pb pc的中點(diǎn) 且ad pd 2ma 1 求證 平面efg 平面pdc 2 求三棱錐p mab與四棱錐p abcd的體積之比 1 證明因?yàn)閙a 平面abcd pd ma 所以pd 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pd bc 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形 所以bc dc 又pd dc d 所以bc 平面pdc 在 pbc中 因?yàn)間 f分別為pb pc的中點(diǎn) 所以gf bc 所以gf 平面pdc 又gf 平面efg 所以平面efg 平面pdc 考向四線面角 二面角的求法 2 證明如圖 過點(diǎn)b作bg cd 交ad于點(diǎn)g 則 bga cda 45 由 bad 45 可得bg ab 從而cd ab 又cd fa fa ab a 所以cd 平面abf 方法總結(jié) 找二面角的平面角常用的方法有 1 定義法 作棱的垂面 得平面角 2 利用等腰三角形 等邊三角形的性質(zhì) 取中點(diǎn)找二面角 訓(xùn)練4 2011 山東卷 在如圖所示的幾何體中 四邊形abcd為平行四邊形 acb 90 ea 平面abcd ef ab fg bc eg ac ab 2ef 1 若m是線段ad的中點(diǎn) 求證 gm 平面abfe 2 若ac bc 2ae 求二面角a bf c的大小 解 1 法一因?yàn)閑f ab fg bc eg ac acb 90 所以 egf 90 abc efg 由于ab 2ef 所以四邊形afgm為平行四邊形 因此gm fa 又fa 平面abfe gm 平面abfe 所以gm 平面abfe 法二因?yàn)閑f ab fg bc eg ac acb 90 所以 egf 90 abc efg 由于ab 2ef 所以bc 2fg 取bc的中點(diǎn)n 連接gn 因此四邊形bngf為平行四邊形 所以gn fb 在 abcd中 m是線段ad的中點(diǎn) 連接mn 則mn ab 因?yàn)閙n gn n ab fb b 所以平面gmn 平面abfe 又gm 平面gmn 所以gm 平面abfe 2 由題意知 平面abfe 平面abcd 取ab的中點(diǎn)h 連接ch 因?yàn)閍c bc 所以ch ab 則ch 平面abfe 過h向bf引垂線交bf于r 連接cr 則cr bf 所以 hrc為二面角a bf c的平面角 由題意 不妨設(shè)ac bc 2ae 2 在直角梯形abfe中 連接fh 高考對(duì)平行 垂直關(guān)系的考查主要以線面平行 線面垂直為核心 以多面體為載體結(jié)合平面幾何知識(shí) 考查判定定理 性質(zhì)定理等內(nèi)容 難度為中低檔題目 規(guī)范解答13求線段的長度問題 示例 2011 浙江卷 如圖 在三棱錐p abc中 ab ac d為bc的中點(diǎn) po 平面abc 垂足o落在線段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 證明 ap bc 2 在線段ap上是否存在點(diǎn)m 使得二面角a mc b為直二面角 若存在 求出am的長 若不存在 請(qǐng)說明理由 審題路線圖 1 證明bc ad bc po即可 2 作bm ap 連cm 根據(jù)已知的長度求ab pb pa長 易求cos bpa 則可求am 解答示范 1 證明 由ab ac d是bc的中點(diǎn) 得ad bc 又po 平面abc 得po bc 因?yàn)閜o ad o 所以bc 平面pad 故bc pa 4分 高考經(jīng)典題組訓(xùn)練 1 證明如圖 取ad的中點(diǎn)o 連接po bo 四邊形abcd是邊長為1的菱形 連接bd abd為等邊三角形 bo ad 3 2012 福建卷 如圖 在長方體abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e為cd的中點(diǎn) 1