巧算氣體做功之“圖像法.doc

巧算氣體做功 之 “圖像法”前面已經(jīng)介紹了對(duì)于包含有特殊熱力學(xué)過(guò)程時(shí)可以用特殊的公式直接計(jì)算氣體對(duì)外界所做的功。但是我們遇到的題目有很多不是發(fā)生特殊的熱力學(xué)過(guò)程，而是一般的變化過(guò)程，沒(méi)有使用現(xiàn)成的公式。也有的題目是選擇性題目，只需判斷做功的正負(fù)而不需要計(jì)算，如果采用公式法計(jì)算較為麻煩。還有一些題目是以氣體狀態(tài)變化圖像出現(xiàn)的，要轉(zhuǎn)化為用公式計(jì)算比較麻煩。那么我們?cè)撛趺崔k呢？別急，這里我們就介紹一種使用氣體狀態(tài)變化圖像進(jìn)行判斷和計(jì)算熱力學(xué)過(guò)程中氣體所做的功的方法，由于采用氣體狀態(tài)變化圖像來(lái)解決問(wèn)題，我們就叫它圖像法。使用圖像法解題，比較直觀，有時(shí)候一眼就能看出氣體是做正功還是負(fù)功。下面我們來(lái)看看這個(gè)方便的招。大思路我們常見(jiàn)的各狀態(tài)變化圖像可以按曲線的形狀分為封閉形曲線和不封閉曲線。處理這兩種圖像時(shí)稍有不同。曲線封閉：一般是循環(huán)過(guò)程，需要根據(jù)題目條件，獲得變化過(guò)程的PV圖。在PV圖像中計(jì)算所圍面積，就是該循環(huán)過(guò)程中氣體所做的功。順時(shí)針循環(huán)，做正功，；逆時(shí)針循環(huán)，做負(fù)功。曲線不封閉：若需要計(jì)算做功大小，也需根據(jù)題目條件獲得PV圖，然后計(jì)算曲線與橫坐標(biāo)軸（即V軸）所圍的面積，這個(gè)面積就是這個(gè)過(guò)程中氣體所做的功。如果狀態(tài)變化方向沿V軸正方向則做功為正，沿V軸反方向則功為負(fù)，如果垂直于V周則為零。如果我們只需判斷氣體是否做功，則可以根據(jù)任何自己熟悉的狀態(tài)變化圖像判斷初始狀態(tài)和末狀態(tài)的體積關(guān)系。體積增加，做正功；體積減小，做負(fù)功；體積不變，不做功。好了，我們就去體驗(yàn)一下怎樣使用圖像法。經(jīng)典體驗(yàn)（一）如圖，1mol理想氣體經(jīng)歷了一個(gè)在TV圖上標(biāo)為1231的循環(huán)過(guò)程。其中,過(guò)程12的方程為，過(guò)程23是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的線段上的一段，過(guò)程31的方程為，為常數(shù)。狀態(tài)和的熱力學(xué)溫度為和。求該氣體在此循環(huán)中對(duì)外所做的功。體驗(yàn)思路： 題目中的循環(huán)過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的熱力學(xué)過(guò)程，不是特殊的熱力學(xué)過(guò)程，所以不能使用公式法解決問(wèn)題。題目給出了一個(gè)圖，我們可以先將其裝換為圖，其PV圖也為封閉曲線。計(jì)算圖形面積即可得到功的大小。體驗(yàn)過(guò)程： 第一步，先按題意畫(huà)出PV圖； 先確定各段曲線形式：12過(guò)程：由理想氣體狀態(tài)方程PV=n RT和已知的有，因此P與V成正比，在PV圖上是直線。23過(guò)程：符合等壓過(guò)程TV曲線，故在PV上是水平線，P=P2。31過(guò)程：由PV=n RT及有，P與V成正比，在PV圖上為直線。 再確定3點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)： 1點(diǎn)：（P1，V1，T1） 2點(diǎn)：當(dāng)T= T1時(shí)由公式有； 當(dāng)時(shí)。再由有，因此2點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)為。 3點(diǎn)：由題目有P3=P2。由有，再由有，結(jié)合兩式有， ，故3點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)為。由此，可以畫(huà)出PV圖如右圖。第二步，標(biāo)出循環(huán)方向，即是圖中1231方向，由于順時(shí)針，故為正功；第三步，計(jì)算圖像所圍面積，轉(zhuǎn)化為功； 該循環(huán)過(guò)程中氣體所做的總功為。小 結(jié)： 這個(gè)例題只是在畫(huà)PV圖時(shí)稍微有些難度，但是能很好的反映使用圖像法的關(guān)鍵畫(huà)出PV圖，求面積。從上可以看出PV圖上任意一條曲線與V軸的面積反映的就是該過(guò)程所做的功。對(duì)于一個(gè)循環(huán)過(guò)程，將各段累加起來(lái)，其所作的功為循環(huán)曲線所圍面積，功的正負(fù)則與循環(huán)的方向有關(guān)。對(duì)于不封閉曲線的處理，則稍微簡(jiǎn)單一些，這里就不給例子了。經(jīng)典體驗(yàn)（二）ABP1P2O V1 V2 VPCD如圖所示，一定質(zhì)量的理想氣體從A經(jīng)ACDB的一個(gè)循環(huán)過(guò)程后到達(dá)B狀態(tài)，求在整個(gè)過(guò)程中氣體所做的功。體驗(yàn)思路： 題目中的循環(huán)過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的熱力學(xué)過(guò)程，其中AC為等壓膨脹過(guò)程，CD為等容過(guò)程，DB為等壓壓縮過(guò)程。這些過(guò)程所做的功都可以用上一專題所介紹的公式法分階段計(jì)算功的大小，然后相加就得到在整個(gè)過(guò)程中氣體所做的功。但是在這里我們可以使用圖像法求解此題。體驗(yàn)過(guò)程： 假設(shè)氣體還繼續(xù)發(fā)生了從B到A的過(guò)程，由于B狀態(tài)下氣體的體積和A狀態(tài)下氣體體積相同，故此過(guò)程氣體不做功。則ACDB過(guò)程和ACDBA過(guò)程氣體所做的功是相等的，故只需計(jì)算ACDBA過(guò)程氣體所做的功。ACDBA過(guò)程氣體P-V圖為封閉曲線，面積大小為（P1-P2）（V2-V1）。同時(shí)由于ACDBA為順時(shí)針循環(huán)，故做正功，因此所求過(guò)程氣體所做功為（P1-P2）（V2-V1）。小 結(jié)： 由此題可以看出，在氣體變化過(guò)程中，氣體經(jīng)過(guò)一系列變化，即經(jīng)過(guò)一個(gè)復(fù)雜變化后，氣體體積最終沒(méi)有發(fā)生變化，但氣體與外界卻有機(jī)械功，而且功的正負(fù)與過(guò)程的方向有關(guān)。故有時(shí)候我們不能僅憑氣體體積變化與否來(lái)判斷氣體是否對(duì)外界做功。提 示： 好了，下面我們來(lái)試試兩道題目，看看是不是真的好用。 試一試（1） 如右圖所示，已知一定質(zhì)量的理想氣體，從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2。問(wèn)：在此過(guò)程中氣體對(duì)外是否做功？（2） 用n mol理想氣體做熱機(jī)的工作物質(zhì)，隨著熱機(jī)做功，氣體狀態(tài)變化完成一個(gè)循環(huán)，如圖所示，過(guò)程12和23在圖中是直線，且23是等容過(guò)程，過(guò)程31可以表達(dá)為，b為常數(shù)。求氣體在一個(gè)循環(huán)中所做的功。（3） 一定質(zhì)量的理想氣體，由平衡狀態(tài)P1 B C P2 A E D O V1 V2 V3 VPA經(jīng)過(guò)一系列變化過(guò)程到達(dá)平衡狀態(tài)B，且有VAVB。如圖，如果氣體變化按AEDCB的變化過(guò)程進(jìn)行，求氣體在這個(gè)變化過(guò)程中所做的總功。試一試答案試一試（1）指點(diǎn)迷津 這是一個(gè)不封閉曲線，只需要判斷是否對(duì)外做功，而不需要計(jì)算，因此只需判斷1、2兩狀態(tài)的體積即可。雖然狀態(tài)1和狀態(tài)2在一條直線上，但并不是說(shuō)pT圖上的所有直線都是等容線，只有延長(zhǎng)線過(guò)原點(diǎn)的直線才表示一個(gè)等容過(guò)程。我們可以判斷等容線斜率來(lái)判斷1、2兩狀態(tài)下氣體體積。實(shí)踐略解 分別做出過(guò)1和2的等容線和，由圖可知，直線的斜率大于直線的斜率，則VV，即V2V1，所以，從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2，氣體膨脹對(duì)外做功了。試一試（2）指點(diǎn)迷津 此題與例題基本相同，畫(huà)出PV圖求面積即可。實(shí)踐略解 畫(huà)出的PV圖如右圖，為順時(shí)針循環(huán)，求得功為 。試一試（3）指點(diǎn)迷津 此題可以分為兩個(gè)部分，其中一部分為AE段，為不封閉曲線，直接根據(jù)其與坐標(biāo)軸所圍面積以及曲線方向求解。另一段為EDCB段，此段與例題2所給的基本相似