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9 5絕對收斂級數(shù)和條件收斂級數(shù)的性質(zhì) 定理1對于級數(shù) 將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0 組成一個級數(shù)記為 將它的所以負(fù)項(xiàng)變號 乘上因子 1 而將正項(xiàng)換為0 也組成一個正項(xiàng)級數(shù)記為亦即那么 i 若級數(shù)絕對收斂 則級數(shù)和級數(shù)都收斂 ii 若級數(shù)條件收斂 則級數(shù)和級數(shù)都發(fā)散 證明 i 若級數(shù)絕對收斂 由于按比較判別法 級數(shù)和級數(shù)都收斂 ii 若為條件收斂 用反證法證明定理的第二結(jié)論 假設(shè)級數(shù)和級數(shù)中至少有一個是收斂的 不妨假設(shè)為收斂級數(shù) 那么 由于于是得知亦必為收斂 又由于 所以得知級數(shù)絕對收斂 此與已知條件矛盾 因此證明了兩個級數(shù)和都發(fā)散 定理2絕對收斂級數(shù)的更序級數(shù)仍為絕對收斂 且其和相同 證明 i 我們先證明當(dāng)為收斂的正項(xiàng)級數(shù)的情形 考慮更序級數(shù)的部分和 因?yàn)樗?取大于所有下標(biāo)后 顯然有又由于正項(xiàng)級數(shù) 于是對一切成立按照正項(xiàng)級數(shù)收斂的基本定理 更序級數(shù)亦收斂 設(shè)其和為 故有 另一方面級數(shù)也可視為級數(shù)的更序級數(shù)故又有 得知 ii 再來證明為任意絕對收斂級數(shù)的情形 仍舊記級數(shù)和分別為的所有正項(xiàng)和所有組成的級數(shù) 由定理1知道 這兩個級數(shù)都收斂 設(shè)它們的和分別是和 則有由 i 中的結(jié)論知道 的更序級數(shù)成立著這就表明了更序級數(shù)是絕對收斂的 再設(shè)和分別為級數(shù)和的更序級數(shù) 由 i 的結(jié)論知道 而 所以這樣就證明了定理 注意 這個定理對條件收斂級數(shù)而言 卻不一定成立 例如萊布尼茲型級數(shù) 定理3 柯西定理 若級數(shù)和都絕對收斂 其和分別為和 則它們各項(xiàng)之積按照任何方法排列所構(gòu)成的級數(shù)絕對收斂 且其和為 證明略 例如 級數(shù) 絕對收

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