【備考】高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 概率 理.DOC

概率k1隨事件的概率16i1，k1，k2，k62013北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天圖16(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)16解：設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，p(ai)，且aiaj(ij)(1)設(shè)b為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由題意可知，x的所有可能取值為0，1，2，且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11)，p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13)，p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列為x012p故x的期望e(x)012.(3)從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大k2古典概型9k22013湖北卷 如圖12所示，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為x，則x的均值e(x)()圖12a. b. c. d.9b解析 x的取值為0，1，2，3且p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，故e(x)0123，選b.7k22013江蘇卷 現(xiàn)有某類病毒記作xmyn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)7.解析 基本事件共有7963種，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇數(shù)共有20種，故所求概率為.16i1，k1，k2，k62013北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天圖16(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)16解：設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，p(ai)，且aiaj(ij)(1)設(shè)b為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由題意可知，x的所有可能取值為0，1，2，且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11)，p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13)，p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列為x012p故x的期望e(x)012.(3)從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大16k2，k62013天津卷 一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為x，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望16解：設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件a，則p(a).所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為.(2)隨機(jī)變量x的所有可能取值為1，2，3，4.p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以隨機(jī)變量x的分布列是x1234p隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)1234.14k2，j22013新課標(biāo)全國(guó)卷 從n個(gè)正整數(shù)1，2，3，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_148解析 和為5的只有兩種情況，14，23，故c28n8.18k2、k4、k5，k82013重慶卷 某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望e(x)18解：設(shè)ai表示摸到i個(gè)紅球，bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則ai(i0，1，2，3)與bj(j0，1)獨(dú)立(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0，10，50，200，且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1)，p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0)，p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1)，p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k3幾何概型11k32013福建卷 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_(kāi)11.解析 a1，概率p.14e4、k32013山東卷 在區(qū)間3，3上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x1|x2|1成立的概率為_(kāi)14.解析 當(dāng)x2時(shí)，不等式化為x1x21，此時(shí)恒成立，|x1|x2|1的解集為.在上使不等式有解的區(qū)間為，由幾何概型的概率公式得p.5k32013陜西卷 如圖11，在矩形區(qū)域abcd的a，c兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ade和扇形區(qū)域cbf(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是()圖11a1 b.1c2 d.5a解析 閱讀題目可知，滿足幾何概型的概率特點(diǎn)，利用幾何概型的概率公式可知：p1.9k32013四川卷 節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是()a. b.c. d.9c解析 設(shè)第一串彩燈在通電后第x秒閃亮，第二串彩燈在通電后第y秒閃亮，由題意滿足條件的關(guān)系式為2xy2.根據(jù)幾何概型可知，事件全體的測(cè)度(面積)為16平方單位，而滿足條件的事件測(cè)度(陰影部分面積)為12平方單位，故概率為.k4互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率19k4，k62013新課標(biāo)全國(guó)卷 一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n4.再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)；若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為x(單位：元)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件a1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件a2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件b1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件b2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件a，依題意有a(a1b1)(a2b2)，且a1b1與 a2b2互斥，所以p(a)p(a1b1)p(a2b2)p(a1)p(b1|a1)p(a2)p(b2|a2).(2)x可能的取值為400，500，800，并且p(x400)1，p(x500)，p(x800).所以x的分布列為x400500800pe(x)400500800506.25.18k2、k4、k5，k82013重慶卷 某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望e(x)18解：設(shè)ai表示摸到i個(gè)紅球，bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則ai(i0，1，2，3)與bj(j0，1)獨(dú)立(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0，10，50，200，且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1)，p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0)，p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1)，p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k5相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率18k2、k4、k5，k82013重慶卷 某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望e(x)18解：設(shè)ai表示摸到i個(gè)紅球，bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則ai(i0，1，2，3)與bj(j0，1)獨(dú)立(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0，10，50，200，且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1)，p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0)，p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1)，p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k6離散型隨機(jī)變量及其分布列19k4，k62013新課標(biāo)全國(guó)卷 一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n4.再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)；若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為x(單位：元)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件a1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件a2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件b1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件b2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件a，依題意有a(a1b1)(a2b2)，且a1b1與 a2b2互斥，所以p(a)p(a1b1)p(a2b2)p(a1)p(b1|a1)p(a2)p(b2|a2).(2)x可能的取值為400，500，800，并且p(x400)1，p(x500)，p(x800).所以x的分布列為x400500800pe(x)400500800506.25.16k6，k82013福建卷 某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為x，求x3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？16解：方法一：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這2人的累計(jì)得分x3”的事件為a，則事件a的對(duì)立事件為“x5”，因?yàn)閜(x5)，所以p(a)1p(x5)，即這兩人的累計(jì)得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為x1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為x2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為e(2x1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為e(3x2)由已知可得，x1b，x2b，所以e(x1)2，e(x2)2，從而e(2x1)2e(x1)，e(3x2)3e(x2).因?yàn)閑(2x1)e(3x2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大方法二：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這兩人的累計(jì)得分x3”的事件為a，則事件a包含有“x0”“x2”“x3”三個(gè)兩兩互斥的事件，因?yàn)閜(x0)，p(x2)，p(x3)，所以p(a)p(x0)p(x2)p(x3)，即這兩人的累計(jì)得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為x1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為x2，則x1，x2的分布列如下：x1024px2036p所以e(x1)024，e(x2)036.因?yàn)閑(x1)e(x2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大4k62013廣東卷 已知離散型隨機(jī)變量x的分布列為x123p則x的數(shù)學(xué)期望e(x)()a. b2c. d34a解析 e(x)123，選a.18k62013江西卷 小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)游戲規(guī)則為：以o為起點(diǎn)，再?gòu)腶1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8(如圖15)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為x.若x0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；(2)求x的分布列和數(shù)學(xué)期望圖15解：(1)從8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有c28種，x0時(shí)，兩向量夾角為直角共有8種情形；所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為p(x0).(2)兩向量數(shù)量積x的所有可能取值為2，1，0，1，x2時(shí)，有2種情形；x1時(shí)，有8種情形；x1時(shí)，有10種情形所以x的分布列為x2101pex(2)(1)01.16i1，k1，k2，k62013北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天圖16(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)16解：設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，p(ai)，且aiaj(ij)(1)設(shè)b為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由題意可知，x的所有可能取值為0，1，2，且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11)，p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13)，p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列為x012p故x的期望e(x)012.(3)從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大19k6、k72013山東卷 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30，31，32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解：(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件a1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件a2，“甲隊(duì)以32勝利”為事件a3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故p(a1)3，p(a2)c21，p(a3)c212.所以，甲隊(duì)以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件a4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以p(a4)c1221，由題意，隨機(jī)變量x的所有可能的取值為0，1，2，3.根據(jù)事件的互斥性得p(x0)p(a1a2)p(a1)p(a2).又p(x1)p(a3).p(x2)p(a4)，p(x3)1p(x0)p(x1)p(x2)，故x的分布列為x0123p所以e(x)0123.19k62013陜西卷 在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)x表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解：(1)設(shè)a表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，b表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手，”則p(a)，p(b).事件a與b相互獨(dú)立，觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為p(ab)p(a)p(b)p(a)1p(b).或p(ab ).(2)設(shè)c表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”則p(c).x可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為p(x0)p(a b c).p(x1)p(ab c)p(abc)p(a bc)，p(x2)p(abc)p(abc)p(abc)，p(x3)p(abc).x的分布列為x0123px的數(shù)學(xué)期望ex0123.18l1，k62013四川卷 某算法的程序框圖如圖16所示，其中輸入的變量x在1，2，3，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生圖16(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率pi(i1，2，3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i1，2，3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當(dāng)n2 100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫(xiě)程序符合算法要求的可能性較大；(3)按程序框圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望18解：(1)變量x是在1，2，3，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能當(dāng)x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為1，故p1；當(dāng)x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為2，故p2；當(dāng)x從6，12，18，24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3，故p3，所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n2 100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3.p(0)c，p(1)c，p(2)c，p(3)c，故的分布列為0123p所以，e01231.即的數(shù)學(xué)期望為1.16k2，k62013天津卷 一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為x，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望16解：設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件a，則p(a).所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為.(2)隨機(jī)變量x的所有可能取值為1，2，3，4.p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以隨機(jī)變量x的分布列是x1234p隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)1234.19b1，i2，k62013新課標(biāo)全國(guó)卷 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖14所示，經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品，以x(單位：t，100x150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，t(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)將t表示為x的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)t不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量x100，110)，則取x105，且x105的概率等于需求量落入100，110)的頻率)，求t的數(shù)學(xué)期望圖1419解：(1)當(dāng)x100，130)時(shí)，t500x300(130x)800x39 000.當(dāng)x130，150時(shí)，t50013065 000.所以t(2)由(1)知利潤(rùn)t不少于57 000元，當(dāng)且僅當(dāng)120x150.由直方圖知需求量x120，150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)t不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得t的分布列為t45 00053 00061 00065 000p0.10.20.30.4所以e(t)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.k7條件概率與事件的獨(dú)立性21k7、k92013安徽卷 某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為x.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；(2)求使p(xm)取得最大值的整數(shù)m.21解：(1)因?yàn)槭录：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件b：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立的事件，所以a與b相互獨(dú)立由于p(a)p(b)，故p(a)p(b)1，因此學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率p112.(2)當(dāng)kn時(shí)，m只能取n，有p(xm)p(xn)1.當(dāng)kn時(shí)，整數(shù)m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(c)2，當(dāng)xm時(shí)，同時(shí)收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為mk，由乘法計(jì)數(shù)原理知事件xm所含基本事件數(shù)為cccccc，此時(shí)p(xm).當(dāng)kmt時(shí)，p(xm)p(xm1)cccc(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立則當(dāng)(k1)2能被n2整除時(shí)，k2k2k1t，故p(xm)在m2k和m2k1處達(dá)最大值；當(dāng)(k1)2不能被n2整除時(shí)，p(xm)在m2k處達(dá)最大值(注：x表示不超過(guò)x的最大整數(shù))下面證明k2kt.因?yàn)?kn，所以2kk0.而2kn0，故2kn，顯然2k2k.因此k2ks，故答案為2.16k72013遼寧卷 為了考察某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_(kāi)1610解析 由已知可設(shè)5個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，則x7，4，故(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，即五個(gè)完全平方數(shù)之和為20，要使其中一個(gè)達(dá)到最大，這五個(gè)數(shù)必須是關(guān)于0對(duì)稱分布的，而9101920，也就是(3)2(1)202123220，所以五個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為4，6，7，8，10，最大數(shù)字為10.20k7、k82013全國(guó)卷 甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)x表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求x的數(shù)學(xué)期望20解：(1)記a1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，a2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”，a表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”則aa1a2.p(a)p(a1a2)p(a1)p(a2).(2)x的可能取值為0，1，2.記a3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，b1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，b2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，b3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”則p(x0)p(b1b2a3)p(b1)p(b2)p(a3)，p(x2)p(b1b3)p(b1)p(b3)，p(x1)1p(x0)p(x2)1，e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2).19k6、k72013山東卷 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30，31，32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解：(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件a1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件a2，“甲隊(duì)以32勝利”為事件a3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故p(a1)3，p(a2)c21，p(a3)c212.所以，甲隊(duì)以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件a4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以p(a4)c1221，由題意，隨機(jī)變量x的所有可能的取值為0，1，2，3.根據(jù)事件的互斥性得p(x0)p(a1a2)p(a1)p(a2).又p(x1)p(a3).p(x2)p(a4)，p(x3)1p(x0)p(x1)p(x2)，故x的分布列為x0123p所以e(x)0123.k8離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征與正態(tài)分布16k6，k82013福建卷 某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為x，求x3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？16解：方法一：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這2人的累計(jì)得分x3”的事件為a，則事件a的對(duì)立事件為“x5”，因?yàn)閜(x5)，所以p(a)1p(x5)，即這兩人的累計(jì)得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為x1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為x2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為e(2x1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為e(3x2)由已知可得，x1b，x2b，所以e(x1)2，e(x2)2，從而e(2x1)2e(x1)，e(3x2)3e(x2).因?yàn)閑(2x1)e(3x2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大方法二：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這兩人的累計(jì)得分x3”的事件為a，則事件a包含有“x0”“x2”“x3”三個(gè)兩兩互斥的事件，因?yàn)閜(x0)，p(x2)，p(x3)，所以p(a)p(x0)p(x2)p(x3)，即這兩人的累計(jì)得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為x1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為x2，則x1，x2的分布列如下：x1024px2036p所以e(x1)024，e(x2)036.因?yàn)閑(x1)e(x2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大19k82013遼寧卷 現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立用x表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望19解： (1)設(shè)事件a“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有a“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”因?yàn)閜(a)，所以p(a)1p(a).(2)x所有的可能取值為0，1，2，3.p(x0)c；p(x1)cc；p(x2)cc；p(x3)c.x的分布列為：x0123p所以e(x)01232.20k7、k82013全國(guó)卷 甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)x表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求x的數(shù)學(xué)期望20解：(1)記a1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，a2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”，a表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”則aa1a2.p(a)p(a1a2)p(a1)p(a2).(2)x的可能取值為0，1，2.記a3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，b1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，b2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，b3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”則p(x0)p(b1b2a3)p(b1)p(b2)p(a3)，p(x2)p(b1b3)p(b1)p(b3)，p(x1)1p(x0)p(x2)1，e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2).18k2、k4、k5，k82013重慶卷 某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望e(x)18解：設(shè)ai表示摸到i個(gè)紅球，bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則ai(i0，1，2，3)與bj(j0，1)獨(dú)立(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0，10，50，200，且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1)，p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0)，p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1)，p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k9單元綜合21k7、k92013安徽卷 某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為x.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；(2)求使p(xm)取得最大值的整數(shù)m.21解：(1)因?yàn)槭录：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件b：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立的事件，所以a與b相互獨(dú)立由于p(a)p(b)，故p(a)p(b)1，因此學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率p112.(2)當(dāng)kn時(shí)，m只能取n，有p(xm)p(xn)1.當(dāng)kn時(shí)，整數(shù)m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(c)2，當(dāng)xm時(shí)，同時(shí)收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為mk，由乘法計(jì)數(shù)原理知事件xm所含基本事件數(shù)為cccccc，此時(shí)p(xm).當(dāng)kmt時(shí)，p(xm)p(xm1)cccc(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立則當(dāng)(k1)2能被n2整除時(shí)，k2k2k1t，故p(xm)在m2k和m2k1處達(dá)最大值；當(dāng)(k1)2不能被n2整除時(shí)，p(xm)在m2k處達(dá)最大值(注：x表示不超過(guò)x的最大整數(shù))下面證明k2kt.因?yàn)?kn，所以2kk0.而2kn0，故2kn，顯然2k2k.因此k2kt.18k92013湖南卷 某人在如圖14所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物，根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)x之間的關(guān)系如下表所示：x1234y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種